弹簧类问题专题.docx
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弹簧类问题专题.docx
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弹簧类问题专题
弹簧类专题
轻弹簧是一种理想化的物理模型,以轻质弹簧为载体,设置复杂的物理情景,考查力的概念,物体的平衡,牛顿定律的应用及能的转化与守恒,是高考命题的重点,此类命题几乎每年高考卷面均有所见.应引起足够重视.
下面就按平衡、动力学、振动、功和能、动量和能量、综合应用等中常见的弹簧问题进行分析。
一、弹簧中的平衡问题
这类题常涉及胡克定律,一般用f=kx或△f=k•△x来求解。
练习:
如图示,两木块的质量分别为m1和m2,两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2,上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接),整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为()C
A.m1g/k1
B.m2g/k2
C.m1g/k2
D.m2g/k2
练习:
S1和S2表示劲度系数分别为k1,和k2两根轻质弹簧,k1>k2;A和B表示质量分别为mA和mB的两个小物块,mA>mB,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来.现要求两根弹簧的总长度最大则应使()D
A.S1在上,A在上
B.S1在上,B在上
C.S2在上,A在上
D.S2在上,B在上
二、弹簧中的动力学问题
这类题常涉及牛顿运动定律,一般要用到弹簧弹力不突变这一重要结论。
练习:
如图所示,轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板,在薄板上放重物,用手将重物向下压缩到一定程度后,突然将手撤去,则重物将被弹簧弹射出去,则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是()C
A.一直加速运动
B.匀加速运动
C.先加速运动后减速运动
D.先减速运动后加速运动
练习:
如图所示,一轻质弹簧竖直放在水平地面上,小球A由弹簧正上方某高度自由落下,与弹簧接触后,开始压缩弹簧,设此过程中弹簧始终服从胡克定律,那么在小球压缩弹簧的过程中,以下说法中正确的是()C
A.小球加速度方向始终向上
B.小球加速度方向始终向下
C.小球加速度方向先向下后向上
D.小球加速度方向先向上后向下
练习:
如图所示,一轻质弹簧一端系在墙上的O点,自由伸长到B点.今用一小物体m把弹簧压缩到A点,然后释放,小物体能运动到C点静止,物体与水平地面间的动摩擦因数恒定,试判断下列说法正确的是()C
A.物体从A到B速度越来越大,从B到C速度越来越小
B.物体从A到B速度越来越小,从B到C加速度不变
C.物体从A到B先加速后减速,从B一直减速运动
D.物体在B点受到的合外力为零
习题:
如图14所示,A、B两滑环分别套在间距为1m的光滑细杆上,A和B的质量之比为1∶3,用一自然长度为1m的轻弹簧将两环相连,在A环上作用一沿杆方向的、大小为20N的拉力F,当两环都沿杆以相同的加速度a运动时,弹簧与杆夹角为53°。
(cos53°=0.6)
求:
(1)弹簧的劲度系数为多少?
(2)若突然撤去拉力F,在撤去拉力F的瞬间,A的加速度为a/,a/
与a之间比为多少?
解:
(1)先取A+B和弹簧整体为研究对象,弹簧弹力为内力,杆对A、B支持力与加速度方向垂直,在沿F方向应用牛顿第二定律F=(mA+mB)a①
再取B为研究对象F弹cos53°=mBa②
①②联立求解得,F弹=25N
由几何关系得,弹簧的伸长量⊿x=
(1/sin53°-1)=0.25m
所以弹簧的劲度系数k=100N/m
(2)撤去F力瞬间,弹簧弹力不变,A的加速度a/=F弹cos53°/mA
所以a/:
a=3∶1。
习题:
一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。
如图7所示。
现让木板由静止开始以加速度a(a<g=匀加速向下移动。
求经过多长时间木板开始与物体分离。
分析与解:
设物体与平板一起向下运动的距离为x时,物体受重力mg,弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。
据牛顿第二定律有:
mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma
当N=0时,物体与平板分离,所以此时
因为
,所以
。
习题:
如图8所示,一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计,盘内放一个物体P处于静止,P的质量m=12kg,弹簧的劲度系数k=300N/m。
现在给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在t=0.2s内F是变力,在0.2s以后F是恒力,g=10m/s2,则F的最小值是,F的最大值是。
.分析与解:
因为在t=0.2s内F是变力,在t=0.2s以后F是恒力,所以在t=0.2s时,P离开秤盘。
此时P受到盘的支持力为零,由于盘和弹簧的质量都不计,所以此时弹簧处于原长。
在0_____0.2s这段时间内P向上运动的距离:
x=mg/k=0.4m
因为
,所以P在这段时间的加速度
当P开始运动时拉力最小,此时对物体P有N-mg+Fmin=ma,又因此时N=mg,所以有Fmin=ma=240N.
当P与盘分离时拉力F最大,Fmax=m(a+g)=360N.
三、弹簧中的振动问题
练习:
如图所示,在重力场中,将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上,下端连接一个质量为M的木板,木板下面再挂一个质量为m的物体.当剪掉m后发现:
当木板的速率再次为零时,弹簧恰好能恢复到原长,(不考虑剪断后m、M间的相互作用)则M与m之间的关系必定为()B
A.M>m
B.M=m
C.M D.不能确定 习题: 如图,两木块A和B叠放在光滑水平面上,质量分别为m和M,A与B之间的最大静摩擦力为f,B与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成弹簧振子。 为使A和B在振动过程中不发生相对滑动,则()B A.它们的振幅不能大于 B.它们的振幅不能大于 C.它们的最大加速度不能大于 D.它们的最大加速度不能大于 习题: 如图5所示,轻弹簧的一端固定在地面上,另一端与木块B相连,木块A放在木块B上,两木块质量均为m,在木块A上施有竖直向下的力F,整个装置处于静止状态. (1)突然将力F撤去,若运动中A、B不分离,则A、B共同运动到最高点时,B对A的弹力有多大? (2)要使A、B不分离,力F应满足什么条件? 【点拨解疑】力F撤去后,系统作简谐运动,该运动具有明显的对称性,该题利用最高点与最低点的对称性来求解,会简单的多. (1)最高点与最低点有相同大小的回复力,只有方向相反,这里回复力是合外力.在最低点,即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间,受到的合外力应为F/2,方向竖直向上;当到达最高点时,A受到的合外力也为F/2,但方向向下,考虑到重力的存在,所以B对A的弹力为 . (2)力F越大越容易分离,讨论临界情况,也利用最高点与最低点回复力的对称性.最高点时,A、B间虽接触但无弹力,A只受重力,故此时恢复力向下,大小位mg.那么,在最低点时,即刚撤去力F时,A受的回复力也应等于mg,但根据前一小题的分析,此时回复力为F/2,这就是说F/2=mg.则F=2mg.因此,使A、B不分离的条件是F≤2mg. 5.两块质量分别为m1和m2的木块,用一根劲度系数为k的轻弹簧连在一起,现在m1上施加压力F,如图14所示.为了使撤去F后m1跳起时能带起m2,则所加压力F应多大? (对称法) 四、弹簧中的功和能问题 练习: 如图所示,一轻质弹簧一端与墙相连,另一端与一物体接触,当弹簧在O点位置时弹簧没有形变,现用力将物体压缩至A点,然后放手。 物体向右运动至C点而静止,AC距离为L。 第二次将物体与弹簧相连,仍将它压缩至A点,则第二次物体在停止运动前经过的总路程s可能为: ()AC A.s=LB.s>L C.s 习题: A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上,如图所示,已知木块A、B质量分别为0.42kg和0.40kg, 弹簧的劲度系数k=100N/m,若在木块A上作用一个竖直向上的力F,使A由静止开始以0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动(g=10m/s2). (1)使木块A竖直做匀加速运动的过程中,力F的最大值; (2)若木块由静止开始做匀加速运动,直到A、B分离的过程中,弹簧的弹性势能减少了0.248J,求这一过程F对木块做的功. 即Fm=mA(g+a)=4.41N 可知,WF=9.64×10-2J 习题: 如图9所示,一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。 物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上,现要加一竖直向上的力F在上面物体A上,使物体A开始向上做匀加速运动,经0.4s物体B刚要离开地面,设整个过程中弹簧都处于弹性限度内,取g=10m/s2,求: (1)此过程中所加外力F的最大值和最小值。 (2)此过程中外力F所做的功。 解: (1)A原来静止时: kx1=mg① 当物体A开始做匀加速运动时,拉力F最小,设为F1,对物体A有: F1+kx1-mg=ma② 当物体B刚要离开地面时,拉力F最大,设为F2,对物体A有: F2-kx2-mg=ma③ 对物体B有: kx2=mg④ 对物体A有: x1+x2= ⑤ 由①、④两式解得a=3.75m/s2,分别由②、③得F1=45N,F2=285N (2)在力F作用的0.4s内,初末状态的弹性势能相等,由功能关系得: WF=mg(x1+x2)+ 49.5J 习题: 在光滑水平面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,振子质量为M,振动的量大速度为v0.如图所示,当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放在其上,则 (1)要保持物体和振子一起振动,二者间动摩擦因数至少多大? (2)一起振动时,二者经过平衡位置的速度多大? 习题: 如图所示,一弹簧振子.物块质量为m,它与水平桌面动摩擦因数为μ,开始用手按住物块,弹簧处于伸状态,然后放手,当弹簧回到原长时物块速度为v1,当弹簧再次回到原长时物块速度为v2,求这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能. 习题: 如图,水平弹簧一端固定,另一端系一质量为m的小球,弹簧的劲度系数为k,小球与水平面之间的摩擦系数为μ,当弹簧为原长时小球位于O点,开始时小球位于O点右方的A点,O与A之间的距离为 ,从静止释放小球。 (已知弹簧的弹性势能的表达式为 ) (1)为使小球能通过O点,而且只能通过O点一次,试问μ值应在什么范围? (2)在上述条件下,小球在O点左方的停住点B点与O点的最大距离 是多少? 五、弹簧中的动量和能量问题 习题: 某宇航员在太空站内做丁如下实验: 选取两个质量分别为mA=0.1kg、mB=0.20kg的小球A、B和一根轻质短弹簧,弹簧的一端与小球A粘连,另一端与小球B接触而不粘连.现使小球A和B之间夹着被压缩的轻质弹簧,处于锁定状态,一起以速度v0=0.10m/s做匀速直线运动,如图所示.过一段时间,突然解除锁定(解除锁定没有机械能损失),两球仍沿原直线运动.从弹簧与小球B刚刚分离开始计时,经时间t=3.0s两球之间的距离增加了s=2.7m,求弹簧被锁定时的弹性势能E0? 取A、B为系统,由动量守恒得: (mA+mB)v0=mAvA+mBv;VAt+VBt=s 又A、B和弹簧构成系统,又动量守恒 解得: 习题: 在原子物理中,研究核子与核子关联的最有效途经是“双电荷交换反应”。 这类反应的前半部分过程和下面力学模型类似。 两个小球A和B用轻质弹簧相连,在光滑的水平直轨道上处于静止状态。 在它们左边有一垂直轨道的固定档板P,右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球,如图7所示,C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。 在它们继续向左运动的过程中,当弹簧长度变到最短时,长度突然被锁定,不再改变。 然后,A球与档板P发生碰撞,碰后A、D静止不动,A与P接触而不粘连。 过一段时间,突然解除销定(锁定及解除锁定均无机械能损失),已知A、B、C三球的质量均为m。 (1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。 (2)求在A球离开档板P之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能。 解: 整个过程可分为四个阶段来处理. (1)设C球与B球粘结成D时,D的速度为v1,由动量守恒定律,得 mv0=2mv1, ① 当弹簧压至最短时,D与A的速度相等,设此速度为v2,由动量守恒定律,得 2mv1=3mv2, ② 联立①、②式得 v1=(1/3)v0. ③ 此问也可直接用动量守恒一次求出(从接触到相对静止)mv0=3mv2,v2=(1/3)v0. (2)设弹簧长度被锁定后,贮存在弹簧中的势能为Ep,由能量守恒定律,得 (2m)v12= (3m)v22+Ep, ④ 撞击P后,A与D的动能都为零,解除锁定后,当弹簧刚恢复到自然长度时,弹性势能全部转变成D的动能,设D的速度为v3,有 Ep= (2m)v32, ⑤ 以后弹簧伸长,A球离开挡板P,并获得速度.设此时的速度为v4,由动量守恒定律,得 2mv3=3mv4, ⑥ 当弹簧伸到最长时,其弹性势能最大,设此势能为Ep′,由能量守恒定律,得 (2m)v32= (3m)v42+Ep′, ⑦ 联立③~⑦式得 Ep′= mv02. ⑧ 习题: 图中,轻弹簧的一端固定,另一端与滑块B相连,B静止在水平直导轨上,弹簧处在原长状态.另一质量与B相同的滑块A,从导轨上的P点以某一初速度向B滑行.当A滑过距离L1时,与B相碰,碰撞时间极短,碰后A、B紧贴在一起运动,但互不粘连.已知最后A恰好返回到出发点P并停止.滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ,运动过程中弹簧最大形变量为L2,重力加速度为g。 求A从P点出发时的初速度v0. 习题: 如图所示,质量M=3.5kg的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处,其上表面与水平桌面相平,小车长L=1.2m,其左端放有一质量为0.5kg的滑块Q。 水平放置的轻弹簧左端固定,质量为1kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触。 此时弹簧处于原长,现用水平向左的推力将P缓慢推至B点(弹簧仍在弹性限度内)时,推力做的功为WF=6J,撤去推力后,P沿桌面滑到小车上并与Q相碰,最后Q停在小车的右端,P停在距小车左端0.5m处。 已知AB间距L1=5cm,A点离桌子边沿C点距离L2=90cm,P与桌面间动摩擦因数 ,P、Q与小车表面间动摩擦因数 。 (g=10m/s2)求: (1)P到达C点时的速度VC。 (2)P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小。 解: (1)对P由A→B→C应用动能定理,得 (2)设P、Q碰后速度分别为v1、v2,小车最后速度为v,由动量守恒定律得, 由能量守恒得, 解得, 当 时, 不合题意,舍去。 即P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小为 习题: 质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压缩量为x0,如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的 A处自由落下,打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m时,它们恰能回到O点.若物块质量为2m,仍从A处自由落下,则物块与钢板回到O点时,还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离. 解: 物块与钢板碰撞时的速度 ① 设v1表示质量为m的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度,因碰撞时间极短,动量守恒mv0=2mv1 ② 刚碰完时弹簧的弹性势能为EP。 当它们一起回到O点时,弹簧无形变,弹性势能为零,根据题给条件,这时物块与钢板的速度为零,由机械能守恒, ③ 设v2表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度, 则有2mv0=3mv2 ④仍继续向上运动,设此时速度为v,则有 ⑤ 在以上两种情况中,弹簧的初始压缩量都是x0,故有 ⑥ 当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时,弹簧的弹力为零,物块与钢板只受到重力作用,加速度为g。 一过O点,钢板受到弹簧向下的拉力作用,加速度大于g。 由于物块与钢板不粘连,物块不可能受到钢板的拉力,其加速度仍为g。 故在O点物块与钢板分离,分离后,物块以速度v竖直上升,则由以上各式解得,物块向上运动所到最高点与O点的距离为 l=v2/(2g)=(1/2)x0 六、弹簧中的综合应用问题 练习: 如图所示,在光滑的水平面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,开始时,振子被拉到平衡位置O的右侧某处,此时拉力为F,然后轻轻释放振子,振子从初速度为零的状态开始向左运动,经过时间t后到达平衡位置O处,此时振子的速度为v,则在这过程中,振子的平均速度为() A.v/2B.F/(2kt) C.vD.F/(kt) 习题: 如图1-4-8所示,离心机的光滑水平杆上穿着两个小球A、B,质量分别为2m和m,两球用劲度系数为k的轻弹簧相连,弹簧的自然长度为l.当两球随着离心机以角速度ω转动时,两球都能够相对于杆静止而又不碰两壁.求A、B的旋转半径rA和rB. 习题: “加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器,已被广泛地应用于飞机,潜艇、航天器等装置的制导系统中,如图所示是“应变式加速度计”的原理图,支架A、B固定在待测系统上,滑块穿在A、B间的水平光滑杆上,并用轻弹簧固定于支架A上,随着系统沿水平方向做变速运动,滑块相对于支架发生位移,滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地自由滑动,并通过电路转换为电信号从1,2两接线柱输出. 巳知: 滑块质量为m,弹簧劲度系数为k,电源电动势为E,内阻为r、滑动变阻器的电阻随长度均匀变化,其总电阻R=4r,有效总长度L,当待测系统静止时,1、2两接线柱输出的电压U0=0.4E,取A到B的方向为正方向, (1)确定“加速度计”的测量范围. (2)设在1、2两接线柱间接入内阻很大的电压表,其读数为u,导出加速度的计算式。 (3)试在1、2两接线柱间接入内阻不计的电流表,其读数为I,导出加速度的计算式。 解: (1)当待测系统静上时,1、2接线柱输出的电压u0=E·R12/(R+r) 由已知条件U0=0.4E可推知,R12=2r,此时滑片P位于变阻器中点,待测系统沿水平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况,弹簧最大压缩与最大伸长时刻,P点只能滑至变阻器的最左端和最右端,故有: a1=kL/2m,a2=-kL/2m 所以“加速度计”的测量范围为[-k·L/2m,·L/2m], (2)当1、2两接线柱接电压表时,设P由中点向左偏移x,则与电压表并联部分 的电阻R1=(L/2-x)·4r/L 由闭合电路欧姆定律得: I=E/(R+r) 故电压表的读数为: U=I·R1 根据牛顿第二定律得: k·x=m·a 建立以上四式得: a=kL/2m-5kLU/(4·E·m), (3)当1、2两接线柱接电流表时,滑线变阻器接在1,2间的电阻被短路.设P由中点向左偏x,变阻器接入电路的电阻为: R2=(L/2+x)·4r/L 由闭合电路欧姆定律得: E=I(R2+r) 根据牛顿第二定律得: k·x=m·a 联立上述三式得: a=k·L(E-3I·r)/(4I·m·r)
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