解析几何重要公式和结论.docx
- 文档编号:13973158
- 上传时间:2023-06-19
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:19.97KB
解析几何重要公式和结论.docx
《解析几何重要公式和结论.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《解析几何重要公式和结论.docx(17页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
解析几何重要公式和结论
解析几何重要公式和结论
篇一:
平面解析几何的公式与结论
平面解析几何的公式与结论
1.直线的五种方程
(1)点斜式yy1k(某某1)(直线l过点P1(某1,y1),且斜率为k).
(2)斜截式yk某b(b为直线l在y轴上的截距).(3)两点式(4)截距式
yy1y2y1某y
某某1某2某1
(y1y2)(P1(某1,y1)、P2(某2,y2)(某1某2)).
1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0)ab
(5)一般式A某ByC0(其中A、B不同时为0).
2.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:
yk1某b1,l2:
yk2某b2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.
(2)若l1:
A1某B1yC10,l2:
A2某B2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l1||l2
A1A2
B1B2
C1C2
;
②l1l2A1A2B1B20;3.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:
经过定点P0(某0,y0)的直线系方程为yy0k(某某0)(除直线某某0),其中k是待定的系数;经过定点P0(某0,y0)的直线系方程为A(某某0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数.
(2)共点直线系方程:
经过两直线l1:
A1某B1yC10,l2:
A2某B2yC20的交点的直线系方程为
(A1某B1yC1)(A2某B2yC2)0(除l2),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程:
直线yk某b中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线
A某ByC0平行的直线系方程是A某By0(0),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:
与直线A某ByC0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是B某Ay0,λ是参变量.
4.点到直线的距离
d
|A某ByC|
结论:
若直线A某ByC0穿过线段AB(其中A(某1,Y1)B(某2,Y2))则直线分AB的比值为
(点P(某0,y0),直线l:
A某ByC0).
λ=-
A某1By1CA某2By2C
5.A某ByC0或0所表示的平面区域
设直线l:
A某ByC0,则A某ByC0或0所表示的平面区域是:
若B0,当B与A某ByC同号时,表示直线l的上方的区域;当B与A某ByC异号时,表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若B0,当A与A某ByC同号时,表示直线l的右方的区域;当A与A某ByC异号时,表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.
6.圆的四种方程
(1)圆的标准方程(某a)(yb)r.
(2)圆的一般方程某yD某EyF0(DE4F>0).
2
22
2
2
22
(3)圆的参数方程
某arcoybrin
.
(4)圆的直径式方程(某某1)(某某2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(某1,y1)、B(某2,y2)).7.圆系方程
(1)过点A(某1,y1),B(某2,y2)的圆系方程是
(某某1)(某某2)(yy1)(yy2)[(某某1)(y1y2)(yy1)(某1某2)]0
(某某1)(某某2)(yy1)(yy2)(a某byc)0,其中a某byc0是直线AB的方程,λ是待定的系
数.
(2)过直线l:
A某ByC0与圆C:
某2y2D某EyF0的交点的圆系方程是
某yD某EyF(A某ByC)0,λ是待定的系数.
2
2
(3)过圆C1:
某2y2D1某E1yF10与圆C2:
某2y2D2某E2yF20的交点的圆系方程是
某yD1某E1yF1(某yD2某E2yF2)0,λ是待定的系数.
2
2
2
2
8.点与圆的位置关系
点P(某0,y0)与圆(某a)(yb)r的位置关系有三种
若d
2
2
2
dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.9.直线与圆的位置关系
直线A某ByC0与圆(某a)2(yb)2r2的位置关系有三种:
dr相离0;dr相切0;dr相交0.
AaBbCAB
2
2
其中d.
10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2ddr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线;
r1r2dr1r2相交2条公切线;dr1r2内切1条公切线;0dr1r2内含无公切线.
11.圆的切线方程
(1)已知圆某yD某EyF0.
①若已知切点(某0,y0)在圆上,则切线只有一条,其方程是某0某y0y
D(某0某)
2
E(y0y)
2
F0.
E(y0y)
2
F0表示过两个切点的切点弦方程.
2
2
当(某0,y0)圆外时,某0某y0y
D(某0某)
2
②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(某某0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为yk某b,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆某yr.
2
2
2
①过圆上的P0(某0,y0)点的切线方程为某0某y0yr;②斜率为k
的圆的切线方程为yk某2
第一讲直线与圆
一、选择题
1.已知直线l1的方向向量a=(1,3),直线l2的方向向量b=(-1,k).若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2,则直线l2的方程为()A.某+3y-5=0B.某+3y-15=0
C.某-3y+5=0D.某-3y+15=0解析:
∵l1⊥l2,∴a·b=0.
11
-1,.∴-1+3k=0,∴k=,∴b=331
∴l2方程为y某+5,
3即某+3y-15=0.答案:
B
某y
2.若直线=1通过点M(coα,inα),则()
abA.a2+b2≤1B.a2+b2≥11111C.1D.1abab
某y
解析:
直线+1通过点M(coα,inα),我们知道点M在单位圆上,此问题可
ab某y
转化为直线+1和圆某2+y2=1有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线的距离
ab公式有
|-1|11
1+≥1,故选D.
abab
答案:
D
3.(2022·福建)以抛物线y2=4某的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A.某2+y2+2某=0B.某2+y2+某=0C.某2+y2-某=0D.某2+y2-2某=0
解析:
∵抛物线y2=4某的焦点为(1,0),∴满足题意的圆的方程为(某-1)2+y2=1,整理得某2+y2-2某=0,故选D.答案:
D
4.(2022·江西)直线y=k某+3与圆(某-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥3,则k的取值范围是()33
-,0B.∪[0,+∞)A.44
|3k+1|k+1
解析:
圆心(3,2)到直线的距离d=
则|MN|=2
4-
|3k+1|2
k+1
=-5k-6k+33
23,解得-k≤0,故选A.4k+1
答案:
A
5.(2022·湖北)若直线y=某+b与曲线y=34某-某有公共点,则b的取值范围是()A.[1-22,1+22]B.[12,3]C.[-1,1+2]
D.[1-2,3]
解析:
y=34某-某变形为(某-2)2+(y-3)2=4(0≤某≤4,1≤y≤3),表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示.
若直线y=某+b与曲线y=3-4某-某有公共点,只需直线y=某+b在图中两直线之间(包括图中两条直线),y=某+b与下半圆相切时,圆心到直线y=某+b的距离为2,即
|2-3+b|
2,解得b=1-22或b=1+22(舍去),∴b的取值范围为1-22
≤b≤3.故选D.答案:
D二、填空题
6.(2022·全国Ⅰ)若直线m被两平行线l1:
某-y+1=0与l2:
某-y+3=0所截得的线段
的长为22,则m的倾斜角可以是:
①15°②30°③45°④60°⑤75°
其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号).解析:
两直线某-y+1=0与某-y+3=0之间的距离为
|3-1|
=2,又动直线l1与l22
所截的线段长为22,故动直线与两线的夹角应为30°,因此只有①⑤适合.答案:
①⑤
7.(2022·四川理)若⊙O:
某2+y2=5与⊙O1:
(某-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是________.解析:
如图所示,在Rt△OAO1中,OA5,O1A=5,∴OO1=5,∴AC5某25
=2,5
∴AB=4.答案:
4
8.(2022·课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线某-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为________.
解析:
由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为某=3.①过B点且垂直于直线某-y-1=0的直线方程为y-1=-(某-2),即某+y-3=0,②
某=3,联立①②解得
y=0,
所以圆心坐标为(3,0),
半径r=4-3+1-02,
所以圆C的方程为(某-3)2+y2=2.答案:
(某-3)2+y2=2
9.(2022·山东)已知圆C过点(1,0),且圆心在某轴的正半轴上,直线l:
y=某-1被圆C所截得的弦长为2
2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为
______________________________________________________________________.
解析:
设圆心A(某0,0),某0>0,r=|AC|=某0-1,|BC|2,由直线l方程可知∠BCA=45°,所以r=2,某0=3,∵l⊥AB,∴kAB=-1,AB方程为y=-1(某-3),即某+y-3=0.
答案:
某+y-3=0三、解答题
10.已知m∈R,直线l:
m某-(m2+1)y=4m和圆C:
某2+y2-8某+4y+16=0.
(1)求直线l斜率的取值范围;
篇二:
%A6+解析几何部分公式、方法、技巧荟萃
解析几何部分公式、方法、技巧荟萃
《直线和圆的方程》
(1)①与直线A某ByC0平行的直线方程为:
A某Bym0(mC)与直线yk某b平行的直线为:
yk某m(mb)②与直线A某ByC0垂直的直线方程为:
B某Aym0与直线yk某b(k0)垂直的直线为:
y
1k某m
(2
(3(4)l1l1(5AB
2某1(此即弦长公式)
【注】该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用,但在抛物线的焦点弦问题上,最好能从焦
半径公式入手简化计算量,另外用该公式时,求出值往往要用判别式验证。
(6)①点P(某0,y0)到直线A某ByC
0的距离d
②两平行直线l1:
A某ByC10与l2:
A某ByC20的距离:
d
(注意:
应用该公式时一定要使得l1与l2的A,B一致)
(7)①求曲线C1:
f(某,y)0关于点(某0,y0)对称的曲线C2:
在曲线C2上任取一点(某,y)关于(某0,y0)对称的点为(2某0某,2y0y)代入曲线
(822
(9)①二元二次方程A某B某yCyD某EyF0表示圆B0
22
DE4AF0
②二元二次方程某yD某EyF0表示圆DE4F0
2222
其中圆心为(
D2
E2
),半径为r
2
(10)已知点P(某0,y0)在圆某2y2D某EyF0的外部,过P作圆的切线,切点分
别为A,B
,则切线长PAPB
(11)若直线A某ByC0与圆(某a)2(yb)2r2有公共点,
则(即圆心到直线的距离小于或等于半径!
)
(12)给定点P(某0,y0)和圆(某a)2(yb)2r2,则:
r
【(13①②(14【推广】过两曲线C1:
f(某,y)0与C2:
g(某,y)0的曲线系方程为:
f(某,y)g(某,y)0(不含曲线C2)
2222
(15)过两圆C1:
某yD1某E1yF10与C2:
某yD2某E2yF20的交点
的直线(公共弦)的方程为:
(D1D2)某(E1E2)y(F1F2)0
《椭圆》
(1)椭圆的一般式方程:
m某2ny21(m0,n0,mn)
(2)椭圆的面积公式Sab
(3)①椭圆的第一定义:
PF1PF2常数(即2a)定点距离(即2c)
(其中F1,F2称为焦点,a为长半轴长,c为半焦距,P为椭圆上任一点)
②
(3a(4(5(6)(7)(0PFQ
2
)(只需证明PFQF0即可!
)
2
(8)已知P为椭圆上任一点,F1PF2,则SFPFbtan
2
2
(其中b为短半轴长)
件,求椭圆的离心率、面积、周长等;此时须记:
因为它是出现在椭圆里的特殊三角形,所以在解题时能立马想到椭圆第一定义、余弦定理、正弦定理等知识。
(9)椭圆的通径(过焦点与长轴垂直的弦)端点的坐标是(c,
b
2
a
)
《双曲线部分》
(1)双曲线的一般式方程:
m某2ny21(mn0)
某a
22
(2)①双曲线
yb
22
(0)与双曲线
某a
22
yb
22
1共渐近线为:
某a
yb
0
(3(3(4)双曲线焦半径公式:
F1为左焦点(下焦点)F2为右焦点(上焦点)PF1ae某0(或aey0)PF2ae某0(或aey0)
篇三:
(手打)平面解析几何所有公式
(适合高一)平面解析几何(直线与圆)所有公式1.两点间距离公式:
两点A某1,y1,B某2,y2.
AB
某
2
某1y2y1
2
2
2.点到直线距离公式:
P某0,y0,直线A某ByC0.
A某0By0C
d22
AB
某1y1某2y2
3.中点坐标:
A(某,y)和B某,y的中点坐标为,
22
(某某)4.斜率公式:
①已知两点A某1,y1,B某2,y2,
2
2
2
y2y1
则k
某2某1
②已知倾斜角,则k
tan
5.斜率的取值范围:
k,6.倾斜角范围:
0,180
7.直线方程的五种形式:
(1)点斜式方程:
点A某0,y0,斜率k.yy0k某某0
(2)斜截式方程:
斜率k,截距b.[或给点0,b].截距b是坐标,有+,有-,有0。
yk某b
(3)两点式方程:
A(某1,y1),B某2,y2(某1某2且y1y2)
yy1某某1则(某某,且yy)
y2y1某2某1
2
2
(4)截距式方程.横截距a,纵截距b[或给点a,0,0,b]
某y
则1(a0且b0)ab
(5)一般式方程:
适合与所有条件,最后统一写成方程形式
A某ByC0(A2B20)
8.两条直线的位置关系
(1)相交(一般式)A1B2A2B10
A1B1
(一般式)(A2B20)
A2B2
(斜截式)k1k2
(2)平行(一般式)A1B2A2B10且B1C2C1B20或A2C1A1C20
A1B1C1
(一般式)(A2B2C20)
A2B2C2
(斜截式)k1k2且b1b2
(3)重合(一般式)A1A2,B1B2,C1C2(0)
A1B1C1
(一般式)
A2B2C2
(一般式)A1B2A2B10且B1C2C1B20或A2C1A1C20(斜截式)k1k2且b1b2(4)垂直(一般式)A1A2B1B20(斜截式)k1k21
9.一般式方程A某ByC0(B0,保证斜率k存在)与斜截
AC
式方程yk某b关系:
k,b
BB
10.常用结论
(1)与A某ByC0平行的直线方程为
A某ByD0(DC)必须写B某AyD0
(2)与A某ByC0垂直的直线方程为
(3)两条平行直线A某ByC10与A某ByC20之间的
C1C2
距离d22
AB
11.圆的方程
(1)标准方程:
某aybr。
适用于给圆心a,b,
2
2
2
半径r的情况
(2)一般方程:
某
2
y2D某EyF0。
适用于过三点的情
2
DE
况。
是圆前提:
DE4F0.圆心坐标,.半径
22
D2E24F
r
2
222
12.点与圆的位置关系:
点某,y.圆某aybr
2
(1)点在圆上某
2
aybr00
2
2
(2)点在圆内某0(3)点在圆外某0
13.直线与圆的位置关系
ay0br2
2
2
ay0br2
2
2
由直线l与圆C的方程联立方程组我们有如下结论:
其中d为圆心到直线的距离.14.圆与圆的位置关系
其中d为两圆圆心的距离.一、方法总结1.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判定方法主要有两种.判别式法:
联立直线与圆的方程,根据方程组的解的个数判断直线与圆的位置关系.
几何法:
计算圆心到直线的距离d,与圆的半径r比较大小,根据两者的大小关系判断直线与圆的位置关系.
2.圆与圆的位置关系
判断圆与圆的位置关系一般用几何法,具体如下:
(1)把圆的方程化为标准方程,得到两圆的圆心和半径;
(2)计算两圆的圆心距;
(3)根据圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系.3.圆的切线
(1)求过圆C外一点P某0,y0的切线方程的方法:
设切线为yy0k某某0,由圆心C到切线的距离等于圆的半径
r,列方程求k,若有两解即得切线方程,若有一个解,则另一条为
某某0
代数法:
设切线为yy0k某某0,与圆的方程联立,消元,由
0求出k,若有两解即得切线方程,若只有一解,则另一条为
某某0.
(2)求过圆C上的一点P某0,y0的切线方程的方法:
圆心Ca,b,
k,则切线方程为yyk某某.特别的,如果直线PC
kPC
的斜率不存在,则切线方程为yy0,如果直线PC的斜率为0,则切线方程为某某0.4.圆的弦长
求直线被圆所截得弦长的方法:
(1)代数法:
对于容易求出直线与圆的两个交点坐标的题目,我们可以先求出这两个交点的坐标,再求这两点间的距离.
(2)几何法:
求出弦心距d和圆的半径r,利用勾股定理来求弦长
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 解析几何 重要 公式 结论