《理论力学》第七章点的合成运动习题解.docx
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《理论力学》第七章点的合成运动习题解
40km/h,方向如图所示。
宽1000m,流速为0.5m/s,小船自南岸某点出发渡至北岸,设小船
Vr
第七章点的合成运动习题解析
[习题7-1]汽车A以Vi40km/h沿直线道路行驶,汽车B以V24O.._2km/h沿另一叉道行驶。
求在B车上观察到的A车的速度。
解:
动点:
A车。
动系:
固连于B车的坐标系。
静系:
固连地面的坐标系。
绝对运动:
动点A相对于地面的运动。
相对运动:
动点A相对于B车的运动。
牵连运动:
在动系中,动点与动系的重合点,即牵连点相对于静系(地面)的运动。
当A、
E两车相遇时,即它们之间的距离趋近于0时,
A、E相重合,E车相对于地面的速度就是
牵连速度。
VeV2。
由速度合成定理得:
VVeVr。
用作图法求得:
vrvab40km/h(f)
故,E车上的人观察到A车的速度为VrVAB
[习题7-2]由西向东流的河,相对于水流的划速为1m/s。
问:
(1)若划速保持与河岸垂直,船在北岸的何处靠岸?
渡河时间需多久?
(2)若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸,划船时应取什么方向?
渡河时间需多久?
解:
(1)
动点:
船。
动系:
固连在流水上。
静系:
固连在岸上。
绝对运动:
岸上的人看到的船的运动。
相对运动:
船上的有看到的船的运动。
牵连运动:
与船相重合的水体的运动。
绝对速度:
未知待求,如图所示的V。
相对速度:
Vr1m/s,方向如图所示。
牵连速度:
Ve0.5m/s,方向如图所示。
由速度合成定理得:
VVeVr
63.435°
arctan土
Ve
1
arctan——
0.5
AC10001000500(m),即,船将在北岸下流500
tan2
n处靠岸。
如图所示,A为出
渡河所花的时间:
t11000m1000(s)16分40秒
1m/s
发点,E为靠岸点。
(2)
•Ve.0.5
arcsinarcsin
vr1
v.v;v;120.52
即船头对准方向为北偏西300
渡河所花的时间:
t21000m1155(s)19分15秒
0.866m/s
300
0.866(m/s)
[习题7-3]播种机以匀速率w1m/s直线前进。
种子脱离输种管时具有相对于输种管的速度
v;2m/s。
求此时种子相对于地面的速度,及落至地面上的位置与离开输种管时的位置之间水平距离。
解:
动点:
种子。
动系:
固连于输种管的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
种子相对于地面的速度,未知待求。
相对速度:
vrv22m/s
牵连速度:
vev11m/s
vve5
v1222212cos120°2.65(m/s)
2.65
sin(60°)sin120°
0
60°arcsin——19.07°
2.65
40.930
即v与Vi之间的夹角为40.930。
种子走过的水平距离为:
svxtvcost
Vyt
2gt
vsint
0.252.65sin40.930t0.59.8t2
4.9t21.736t0.250
1.7362.813
9.8
0.11(s)
0.464(s)(不合舍去)
:
2
1.736pi.73644.9(0.25)
24.9
s2.65cos40.9300.110.22(m)
[习题7-4]砂石料从传送带A落到另一传送带E的绝对速度为v14m/s,其方向与铅直线成
300角。
设传送带E与水平面成150角,其速度为V22m/s,求此时砂石料对于传送带E的
相对速度。
又当传送带E的速度多大时,砂石料的相对速度才能与B带垂直。
解:
动点:
砂石料。
动系:
固连于传送带E的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
砂石料相对于地面的速度,vv14m/s。
相对速度:
砂石料相对于传送带E的速度,待求。
牵连速度:
传送带E相对于地面的速度:
vev22m/svavevr
vr2242224cos7503.98(m/s)
当vrVB时,传送带E的速度为:
vBvasin15°4sin15°1.04(m/s)
[习题7-5]三角形凸轮沿水平方向运动,其斜边与水平线成置在斜面上,另一端E在气缸内滑动,如某瞬时凸轮以速度
角。
杆AE的A端搁
V向右运动,求活塞E
的速度。
解:
动点:
A。
动系:
固连于凸轮上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
A相对于地面的速度,待求。
相对速度:
A相对于凸轮的速度。
牵连速度:
凸轮相对于地面的速度。
VaVeVr
vAvtan
因为杆AE作上下平动,故活塞E的速度为:
VaVa
VeV
vBVavtan
[习题7-6]图示一曲柄滑道机构,长OAr的曲柄,以匀角速度
绕O轴转动。
装在水平杆
CE上的滑槽DE与水平线成600角。
求当曲柄与水平线的夹角
分别为00、300、600时,
杆EC的速度。
解:
动点:
A。
动系:
固连于CEDE上的坐标系。
动系平动,VAVCBDEVBC
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
A相对于地面的速度。
相对速度:
A相对于DE的速度。
牵连速度:
CEDE相对于地面的速度。
VaVeVr
Var
Vbc
sin(180°120090°)
sin120°
vbcr
sin(300)sin1200
VBC
sin(300)
sin1200
..3
r
3
VBC1300
sin(300300)
sin1200
此时往复运动改变方向。
Vbc|60°
sin(600300)
0
sin120
23r
[习题7-7]
摇杆OC带动齿条AE上下移动,
齿条又带动直径为100mm的齿轮绕O
1轴摆动。
在图所示瞬时,OC之角速度30=0.5
ad/s,求这时齿轮的角速度。
0
VBC10
sin(030)
sin1200
负号表示此时速度方向与图示方向相反,即向左。
解:
动点:
Co
动系:
固连于OC杆上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
C相对于地面的速度。
相对速度:
C相对于OC杆的速度。
牵连速度:
OC杆相对于地面的速度。
Ve
OC
0.400.50.231(m/s)
cos30
Va
VeVr
Va
Ve
0.2
0.267(m/s)
cos30°
2cc°
cos30
Va
Vabr
10.2/0.75
0.267/r1
0.2/0.75
5.33(rad/s)
1
0.05
以匀角速度3。
绕O轴转动。
已知在图所示位置
牵连速度:
OQ
杆相对于地面的速度。
Va
VeV
Ve
Vasin
300
丄I0
2
Ve
O1A
O]D
20
2l
O1D
10
O1D
1
0
4
动点:
Bo
即齿轮的角速度为15.33rad/s
[习题7-8]摇杆滑道机构的曲柄OA长I,
OAXOO-AB2I,求该瞬时EC杆的速度。
解:
动点:
A。
动系:
固连于O1D杆上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
A相对于地面的速度,vaI0。
相对速度:
A相对于OiD杆的速度。
动系:
固连于OjD杆上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
B
绝对速度:
E相对于地面的速度。
相对速度:
E相对于O1D杆的速度。
牵连速度:
OjD杆相对于地面的速度。
Va
VeVr
v-
O1BOiD
41
1l
10
4
Va
Ve
l0
1.15510
cos300
0.866
BC乍平动,故
vBCva1.15510
[习题7-9]—外形为半圆弧的凸轮A,半径r=300mm,沿水平方向向右作匀加速运动,
2
其加速度aA=800mm/s。
凸轮推动直杆EC沿铅直导槽上下运动。
设在图所示瞬时,
VA=600mm/s,求杆EC的速度及加速度。
解:
动点:
E。
动系:
固连于凸轮A上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
E相对于地面的速度。
相对速度:
E相对于凸轮的速度。
牵连速度:
E相对于凸轮的速度。
VaVeVr
凸轮在水平面上作平动,EC在铅垂方向上作平动。
VeVa
VbcVbVaVeCOt30°Vacot30°60031039.23(mm/s)
x
Vr-02Ve26001200(mm/s)
sin30
n
aaaearaearar
上式在x轴上的投影为:
aacos60°
aecos300
n
ar
2ar3ae
2
Vr
aa1.732
r
2
(1200)
8002-
300
2
8214.4(mm/s),负号表示方向向下。
[习题7-10]
铰接四边形机构中的O1A=O2E=100mm,O1O2=AE,杆O1A以等角
速度w=2r
ad/s绕Oi轴转动。
AE杆上有一套筒C,此筒与CD杆相铰接,机构各部件
都在同一铅直面内。
求当0=60°时0。
杆的速度和加速度。
解:
动点:
c。
动系:
固连于AE杆上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
C相对于地面的速度。
相对速度:
C相对于AE杆的速度。
牵连速度:
AE杆相对于地面的速度。
Va
Ve
Vr
Ve
vAO1A
1002200(mm/s)
Va
0
vecos60
2000.5100(mm/s)
e
aa
ae
ar
ae
aA
ae
100(mm/s)
ae
n
ae
2
V
O1A
O1A210022400(mm/s2)
aa
0
aesin60
4000.866346.4(mm/s2)
aCD
aCaa
346.4(mm/s)
[习题7-11]具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构,用来使滑道CD获得间歇往复运动。
若已知曲柄
OA作匀速转动,其转速为w=4nrad/s,又R=OA=100mm,求当曲柄与水平轴成角0=30°时滑道CD的速度及加速度。
解:
动点:
A。
动系:
固连于滑道CD上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
A相对于地面的速度。
相对速度:
A相对于滑道CD的速度。
牵连速度:
滑道CD相对于地面的速度。
VaVeVr
VeVaOA
10041256(mm/s)1.26m/s
n
aearar
aaOA
22
0.1(4)15.775(m/s)
n
ar
22
v1.256
R0.1
2
15.775(m/s)
加速度在方向的投影:
aacos60°aecos30°a;
15.7750.5ae0.86615.775
2
ae27.32(m/s)
2
aCDae27.32(m/s)
[习题7-12]销钉M可同时在槽AB,CD内滑动。
已知某瞬时杆AE沿水平方向移动的速度
V]=80mm/s,加速度a1=10mm/s2;杆CD沿铅直方向移动的速度v2=60m
m/s,加速度a2=20mm/s2。
求该瞬时销钉M的速度及加速度。
解:
动点:
M。
动系:
固连于AB上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
M相对于地面的速度。
相对速度:
M相对于AE的速度。
牵连速度:
AE相对于地面的速度。
Va
VeVr
Va
.V:
VV2
v;802
602
i00(mm/s)
aa
aear
aa
222:
aearai
a;i02
202
22.36(mm/s2)
[习题7-13]水力采煤用的水枪可绕铅直轴转动。
在某瞬时角速度为3,角加速度为零。
设与转
动轴相距:
T处的水点该瞬时具有相对于水枪的速度V对加速度。
解:
动点:
水点。
动系:
固连于水枪上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
水点相对于地面的速度。
相对速度:
水点相对于水枪的速度。
牵连速度:
水枪上与水点相重点相对于地面的速度。
i及加速度ai,求该水点的绝对速度及绝
VaVeVr
aaaearaC
W
n
ae
ar
aerr00
n2
aer
ac2Vrsin2Visin90°2Vi
aa、佝r2)2(2Vi)2
:
2~22
aa、(air)(2Vi)
[习题7-14]半径为f的圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心O的铅直轴z转动。
一小球M悬挂于盘
边缘的上方。
设在图示瞬时圆盘的角速度及角加速度分别为3及a,若以圆盘为动参考系,试
求该瞬时小球的科氏加速度及相对加速度。
解:
动点:
小球M。
动系:
固连于圆盘上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
小球M相对于地面的速度。
相对速度:
小球M相对于圆盘的速度。
牵连速度:
圆盘上与小球M相重点相对于地面的速度。
ae
r
ae
r
ac
2Vrsin2
.02
rsin902r,方向如图所示。
n
2
ar
r
ar
r
ar
(a:
)2(a」2
242242
.rrr、
n2
ac
n
ar
44—
[习题7-15]一半径f=200mm的圆盘,
绕通过A点垂直于图平面的轴转动。
率vr=400mm/s沿圆盘边缘运动。
ar
ae
物块M以匀速
在图示位置,圆盘的角速度3=2fad/s,角加
2
速度a=4rad/s,求物块M的绝对速度和绝对加速度。
解:
动点:
物块M。
动系:
固连于圆盘上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
物块M相对于地面的速度。
相对速度:
物块M相对于圆盘的速度。
牵连速度:
圆盘上与物块M相重点相对于地面的速度。
VaVeVr
Ve(2r)22002400、2(mm/s)
VeVa
VaV;V2VeVrCOSl35°
(4002)240022400-2400
(1)
J2
400、.5894.43(mm/s)
aa
aearac
ae
(2r
2004800(2
2应
ae
n
ae
<2r
2002280^2X
M
ae>4J
ae
辰
运
800J21600(mm/s2)"/
,n
ar
n1
r
ar
0
ae
1
F
2
ac
n
Vr
4002
2
ar
r
200
800(mm/s)
ac
2Vr
sin
02
22400sin901600(mm/s)
a
n
ar
..af(acar1)2
.16002(1600800)22884.44(mm/s2)
arctan240056.310
1600
[习题7-16]大圆环固定不动,其半径R=0.5叫小圆环M套在杆AE及大圆环上,如图所
示。
当0=30°时,AE杆转动的角速度3=2fad/s,角加速度a=2rad/s
试求该瞬时:
(1)M沿大圆环滑动的速度;
(2)M沿AE杆滑动的速度;(3)M的绝对
加速度。
解:
动点:
小圆环M。
动系:
固连于AE杆上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
小圆环M相对于地面的速度。
相对速度:
小圆环M相对于AE杆的速度。
牵连速度:
AE杆上与小圆环M相重点相对于地面的速度。
VaVeVr
AMR2R22R2cos1200
3R1.7320.50.866(m)
VeAM0.86621.732(m/s)
Va
Ve
cos30°
1732
08662(m/s)(M沿大圆环滑动的速度)
Vr
vasin300
20.51(m/s)(M沿AE杆滑动的速度)
aa
ae
a
n
aa
2
Va
22
0.5
2
8(m/s)
ae
AM
0.86621.732(m/s2)
ac
2vr
sin
1sin90°4(m/s2)
如图所示,
aa
ac在ac方向上的投影为:
n
aa
0
cos60aa
0
cos30
acae
0.50.866aa4
1.732
a
aa
2
2(m/s)
aa
(a;)2(aa)2
.82228.25(m/s2)(M的绝对加速度)。
aaarctan—n
aa
,如图所示。
20
arctan14.04
8
[习题1-17]曲柄OA,长为2
r,绕固定轴o转动;圆盘半径为r,绕A轴转动。
已知
100mm,
在图示位置,曲柄OA的角速度
速度26rad/s,角加速度
2
14rad/s,角加速度13rad/s,圆盘相对于OA的角
24rad/s2。
求圆盘上M点和N点的绝对速度和绝对加速度。
解:
动点:
M、N。
动系:
固连于OA杆上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
M、N相对于地面的速度。
相对速度:
M、N相对于OA杆的速度。
牵连速度:
OA杆(包括其延长线)上与M、N相重点相对于地面的速度。
VaVeVr
M点的速度:
Ve(OAr)i3ri310041200(mm/s)
vrr21006600(mm/s)
vavevr1200600600(mm/s)(方向与ve相同)
vMva600(mm/s)
O
ae
3r1
3
100
3
900(mm/s)
n
ae
3r12
3
100
42
2
4800(mm/s)
ar
r2
100
4
2
400(mm/s)
aaaearaC
n
ar
e
222r210063600(mm/s)
aC21vrsin
24600sin90°4800(m/s2)
aM
araC)(aear)
aM.(480036004800)2(900400)23634.56(mm/s2)
吶最82.090
N点的速度:
、5r151004894.43(mm/s)
Vr
r21006600(mm/s)
A
2r
va
r——0
arccos63.43
<5r
22
一vevr2vevrcos
M点的加速度:
va
(400-5)260022400、.56001824.62(mm/s)
N点的加速度:
ae
5r
15
2
1003670.82(mm/s)
n
ae
5r
1-5
100423577.71(mm/s2)
ar
r2
1004
2
400(mm/s)
n
ar
2
r2
1006
22
3600(mm/s)
ac
21v
rsin
02
24600sin904800(m/s)
aax
arccos—
y
ae
n
ar
n
ae
O
y
N
X
73.140
n0n0
aaxaraecos26.57aecos63.43ac
3600670.82cos26.5703577.71cos63.43°4800
2
1000.25(mm/s)
aayara;cos26.57°aesin26.57°
4003577.71cos26.57°670.82sin26.57°
2
3299.81(mm/s)
aNaa
222
1000.25(3299.81)3448.08(mm/s)
1000.25arccos—
3448.08
[习题1-18]在图示机构中,已知AAz=BBz=r=0.25m,且AE=A'E'。
连
杆AA'以匀角速度co=2rad/s绕A'转动,当0=60°时,槽杆CE位置铅直。
求此时CE的角速度及角加速度。
解:
动点:
D。
动系:
固连CE上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
D相对于地面的速度。
相对速度:
D相对于CE杆的速度。
牵连速度:
CE杆上与D相重点相对于地面的速度。
e
D
VaVeVr
vavDvAr0.2520.5(m/s)
veCDCEvacos30°
0.5CE0.5cos30°
CE0.866(rad/s)
aaaearaC
ac2cEv「sin
20.866(0.50.5)sin90°0.433(m/s2)
aeCDCE0.5CE
aarCE0.500
a:
r20.25221(m/s2)
aaaearac在ac方向的投影为:
a:
cos600acae
10.50.4330.5ce
CE0.134(rad/s)
[习题1-19]销钉M可同时在AE、CD两滑道内运动,CD为一圆弧形滑槽,随同板以匀角速
01rad/s绕o转动;在图示瞬时,T字杆平移的速度v100mm/s,加速度
2
a120mm/s。
试求该瞬时销钉M对板的速度与加速度。
解:
动点:
M。
动系:
固连于T形板上的坐标系。
静系:
固连于地面的坐标系。
绝对速度:
M相对于地面的速度。
相对速度:
M相对于T形板的速度。
牵连速度:
T形板上与M相重点相对于地面的速度。
Va
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- 理论力学 理论 力学 第七 合成 运动 习题