高中数学 《空间点 直线 平面之间的位置关系》教案5 新人教A版必修2.docx
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高中数学《空间点直线平面之间的位置关系》教案5新人教A版必修2
2019-2020年高中数学《空间点直线平面之间的位置关系》教案5新人教A版必修2
一、教学目标
(一)知识教学点
掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判断两直线是否平行或垂直,能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数.
(二)能力训练点
通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论,培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力.
(三)学科渗透点
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,激发学生学习的兴趣.
二、教材分析
1.重点:
两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点,要求学生能熟练掌握,灵活运用.
2.难点:
启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题.
3.疑点:
对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑,上课时要注意解决好这个问题.
三、活动设计
提问、讨论、解答.
四、教学过程
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
这一节课,我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直.
当两条直线中有一条直线没有斜率时:
(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角为90°,互相平行;
(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.
(二)斜率存在时两直线的平行与垂直
设直线l1和l2的斜率为k1和k2,它们的方程分别是
l1:
y=k1x+b1; l2:
y=k2x+b2.
两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的,两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的,所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征.
我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形.如果l1∥l2(图1-29),那么它们的倾斜角相等:
α1=α2.
∴tgα1=tgα2.
即 k1=k2.
反过来,如果两条直线的斜率相等,k1=k2,那么tgα1=tgα2.
由于0°≤α1<180°, 0°≤α<180°,
∴α1=α2.
∵两直线不重合,
∴l1∥l2.
两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即
eq\x()
要注意,上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不存立.
现在研究两条直线垂直的情形.
如果l1⊥l2,这时α1≠α2,否则两直线平行.
设α2<α1(图1-30),甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方;乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方;丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有
α1=90°+α2.
因为l1、l2的斜率是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°.
可以推出 α1=90°+α2.
l1⊥l2.
两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,则它们互相垂直,即
eq\x(
)
(三)例题
例1 已知两条直线
l1:
2x-4y+7=0, L2:
x-2y+5=0.
求证:
l1∥l2.
证明两直线平行,需说明两个要点:
(1)两直线斜率相等;
(2)两直线不重合.
证明:
把l1、l2的方程写成斜截式:
∴两直线不相交.
∵两直线不重合,
∴l1∥l2.
例2求过点 A(1,-4),且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程.
即 2x+3y+10= 0.
解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行,可设所求直线方程为2x+3y+m=0,将A(1,-4)代入有m=10,故所求直线方程为
2x+3y+10=0.
例3 已知两条直线
l1:
2x-4y+7=0, l2:
2x+y-5=0.
求证:
l1⊥l2.
∴l1⊥l2.
例4 求过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程.
解法1 已知直线的斜率k1=-2.
∵所求直线与已知直线垂直,
根据点斜式得所求直线的方程是
就是 x-2y=0.
解法2 因所求直线与已知直线垂直,所以可设所求直线方程是x-2y+m=0,将点A(2,1)代入方程得m=0,所求直线的方程是
x-2y=0.
(四)课后小结
(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件;
(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件;
(3)与已知直线平行的直线的设法;
(4)与已知直线垂直的直线的设法.
五、布置作业
1.(1.7练习第1题)判断下列各对直线是否平行或垂直:
(1)y=3x+4和2x-6y+1=0;
(2)y=x与3x十3y-10=0;
(3)3x+4y=5与6x-8y=7;
解:
(1)平行;
(2)垂直;(3)不平行也不垂直;(4)垂直.
2.(1.7练习第2题)求过点A(2,3),且分别适合下列条件的直线方程:
(1)平行于直线2x+5-5=0;
(2)垂直于直线x-y-2=0;
解:
(1)2x+y-7=0;
(2)x+y-5=0.
3.(1.7练习第3题)已知两条直线l1、l2,其中一条没有斜率,这两条直线什么时候:
(1)平行;
(2)垂直.分别写出逆命题并判断逆命题是否成立.
解:
(1)另一条也没有斜率.逆命题:
两条直线,其中一条没有斜率,如果这两条直线平行,那么另一条直线也没有斜率;逆命题成立.
(2)另一条斜率为零.逆命题:
两条直线,其中一条没有斜率,如果另一条直线和这一条直线垂直,那么另一条直线的斜率为零;逆命题成立.
4.(习题三第3题)已知三角形三个顶点是A(4,0)、B(6,7)、C(0,3),求这个三角形的三条高所在的直线方程.
也就是 2x+7y-21=0.
同理可得BC边上的高所在直线方程为
3x+2y-12=0.
AC边上的高所在的直线方程为
4x-3y-3=0.
六、板书设计
2019-2020年高中数学《空间点直线平面之间的位置关系》教案6新人教A版必修2
一、教学目标:
(一)知识目标:
1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”
2.理解平面的无限延展性
3.理解公理1、2、3
(二)能力目标:
1.正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系
2初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化
3.初步应用公理1、2、3解决简单的点、线共线共面问题
(三)情感目标:
1.提高空间想像能力
2.通过图形、符号、语言的转换体会数学的美,激发学习兴趣
二、教学重点、难点
(一)重点:
平面基本性质的三个公理
(二)难点:
1.三种语言的转化
2.三个公理的简单应用
三、教具:
多媒体、实物投影仪
四、教学过程
(一)课题导入
在初中,我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形,空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形这节课我们就来认识够构成这些空间图形的基本元素及它们之间的关系和简单性质
(二)新知探研
1.平面的两个特征:
①无限延展②平的(没有厚度)
平面是没有厚薄的,可以无限延伸,这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分,一条直线把平面分成两部分
2.平面的画法及其表示方法:
①在立体几何中,常用平行四边形表示平面当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画
②一般用一个希腊字母、、……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面,平面等
③两个相交平面:
画两个相交平面时,若一个平面的一部分被另一个平面遮住,应把被遮住部分的线段画成虚线或不画(如图2)
4空间图形是由点、线、面组成的
空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示
点、线、面的基本位置关系如下表所示:
集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系,“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用几何语言(平面外的直线)表示(平面外的直线)表示或
5_平面的基本性质
立体几何中有一些公理,构成一个公理体系.人们经过长期的观察和实践,把平面的三条基本性质归纳成三条公理.
公理1如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在此这个平面内
推理模式:
.如图示:
或者:
∵,∴
应用:
这条公理是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是否是平面,如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆.
①判定直线在平面内;②判定点在平面内模式:
.
公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.
公理2经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
推理模式:
与重合
或者:
∵不共线,∴存在唯一的平面,使得.
应用:
①确定平面;②证明两个平面重合
“有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.
实例:
(1)门:
两个合页,一把锁;
(2)摄像机的三角支架;(3)自行车的撑脚
公理2及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径,而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件,这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决,是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有这些公共点的集合是一条过该点的公共直线
推理模式:
如图示:
或者:
∵,∴
应用:
①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上
公理3揭示了两个平面相交的主要特征,是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.
6_典例及练习
例题课本P47例1
练习课本P48练习
(三)课堂总结
1、点、线、面的位置关系
2、平面的基本性质(公理1、2、3)及作用
(四)课外练习及作业
课本P56习题2、1A组1、2
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