八年级数学下册 第19章全等三角形复习教案 华东师大版.docx
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八年级数学下册第19章全等三角形复习教案华东师大版
2019-2020年八年级数学下册第19章全等三角形复习教案华东师大版
一、命题与定理
1、定义:
一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义。
例如:
(1)有一个角是直角的三角形,叫做直角三角形.
(2)有六条边的多边形,叫做六边形.
2、判断一件事情的语句叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题。
如:
(1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;(真命题)
(2)三角形的内角和是180°;(真命题)
(3)同位角相等;(假命题)
(4)平行四边形的对角线相等;(假命题)
(5)菱形的对角线相互垂直(真命题)
3、把一个命题改写成“如果……那么……”的形式.其中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论.
4、从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断是正确的命题,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
二、全等三角形
1、全等三角形的概念及其性质
1)全等三角形的定义:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2).全等三角形性质:
(1)对应边相等
(2)对应角相等(3)周长相等(4)面积相等
例1.已知如图
(1),≌,其中的对应边:
____与____,____与____,____与____,
对应角:
______与_______,______与_______,______与_______.
例2.如图
(2),若≌.指出这两个全等三角形的对应边;
若≌,指出这两个三角形的对应角。
(图1)(图2)(图3)
例3.如图(3),≌,BC的延长线交DA于F,交DE于G,,
求、的度数.
2.全等三角形的判定方法
1)、两边和夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
例1.已知:
如图,在中,BE、CF分别是AC、AB两条边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG。
求证:
AG=AD.
例2.如图,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证:
例3.如图,在中,AB=AC,,点D为BC上任一点,DFAB于F,DEAC于E,M是BC中点,试判断是什么形状的三角形,并证明你的结论.
例4.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,延长CB至E,使EB=AD,连接AE。
求证:
AE=AC。
例5.如图,C为AB上一点,、是等边三角形.直线AN、MC交于点E,直线BM、CN交于点F.
(1)求证:
AN=BM。
(2)求证:
是等边三角形
(3)将ACM绕点C逆时针方向旋转90,其他条件不变,在右图中补出符合要求的图形
并判断
(1)、
(2)两小题结论是否仍然成立(不要求证明)
例6.如图,在中,AB=AC,。
O是BC中点.
(1)写出点O到的三个顶点A、B、C的距离关系.
(2)
如果点M、N分别在AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断的形状,并证明你的结论.
例7.如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接BE、DG。
(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论。
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?
如果存在,请你说明旋转过程;如果不存在,请说明理由。
2)、两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
例1.如图,AD是的平分线,M是BC中点,FM//AD,交AB于E。
求证:
BE=CF。
例2.如图,梯形ABCD中,AB//CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于F
(1)
求证:
≌
(2)若BCAB,BC=10,AB=12,求AF.
例3.如图,在矩形ABCD中,F是BC上的一点,AF的延长线交DC的延长线于G,DEAG于E,且DE=DC.根据以上条件,请你在图中找出一对全等三角形,并证明你的结论.
(3)、两角和夹边对应相等的两个三角形全等(AAS)
例1.如图,在中,,,分别以AB、AC为边在的外侧作正三角形ABE与正三角形ACD。
DE与AB交于F。
求证:
EF=FD。
例2.如图,在中,AB=AC,D、E分别在BC、AC边上。
且,AD=DE
求证:
≌.
例3.如图,在中,延长BC到D,延长AC到E,AD与BE交于F,∠ABC=45˚,试将下列假设中的两个作为题设,另一个作为结论组成一个正确的命题,并加以证明。
(1)AD⊥BD,
(2)AE⊥BF(3)AC=BF.
4)、三边对应相等的两个三角形全等(SSS)
例1.如图,AB=AC,BE和CD相交于P,PB=PC,求证:
PD=PE.
例2.如图,在中,,D、E分别为AC、AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证:
DE⊥AB。
例4.如图,在中,M在BC上,D在AM上,AB=AC,DB=DC。
求证:
MB=MC
5)、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
例1.如图,在中,,沿过点B的一条直线BE
折叠,使点C恰好落在AB变的中点D处,则∠A的度
数=。
例2.如图,,M是BC中点,DM平分。
求证:
AM平分
例3.如图,AD为的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且BF=AC,FD=CD.
求证:
BE⊥AC
例4.如图,在中,∠ACB=90˚,D是AC上一点,AE⊥BD,交BD的延长线于点E,又AE=BD,求证:
BD是∠ABC的平分线。
三、尺规作图
1、尺规作图是指限定用无刻度的直尺而圓規能以一給定點為圓心,過另一個給定點畫出一個圓(當然,這兩種工具都是理想化的。
試問哪把尺子能有無限長?
)。
和圆规作为工具的作图。
2、尺规作图举例
例1.如图,已知和射线,用尺规作图法作(要求保留作图痕迹).
例2已知:
(如图).
求作:
的外接圆(要求:
用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).
例3.尺规作图:
已知直线和外一点,求作,使与直线相切.(保留作图痕迹,不必写作法和证明)
例4.如图,已知。
(1)边的垂直平分线
(2)作AC上的高(3)作的平分线(不写作法,保留作图痕迹).
例5.如图,内宜高速公路和自雅路在我市相交于点,在内部有五宝和正紫两个镇,若要修一个大型农贸市场,使到的距离相等,且使,用尺规作出市场的位置(不写作法,保留作图痕迹).
四、逆命题与逆定理
1、原命题和逆命题的关系:
每一个命题都有逆命题,只要将原命题的题设改成结论,并将结论改成题设,使可得到原命题的逆命题。
例如:
条件结论
原命题:
两直线平行,同位角相等。
逆命题:
同位角相等,两直线平行。
2.定理、逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
例如:
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(1)
勾股定理的逆命题:
如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形。
(真命题)
(2)
∴
(1)与
(2)互为逆定理
例1.(05桂林)下列命题中,真命题是( )
A.一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形
B.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形
C.等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
例2.已知下列命题
1半圆是弧②若,则③若,则
2④垂直于弦的直径平分这条弦
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
例3.某超级市场失窃,大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走.三个嫌疑犯被警察局传讯,警察局已经掌握了以下事实:
(1)罪犯不在A,B,C三人之外;
(2)C作案时总得有A作从犯;(3)B不会开车.在此案中能肯定的作案对象是()
A.嫌疑犯AB.嫌疑犯BC.嫌疑犯CD.嫌疑犯A和C
3..等腰三角形的判定
1)。
等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么,这个三角形是等腰三角形。
(简单地说:
“等角对等边”)
2)。
勾股定理的逆定理:
如果一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和,那么这个三角形是等边三角形。
例1.(xx湖南常德)如图7,是等边三角形内的一点,连结,以为边作,且,连结.
(1)观察并猜想与之间的大小关系,并证明你的结论.(4分)
(2)若,连结,试判断的形状,
并说明理由.(4分)
例2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20°,且AE=AD,则∠CDE=。
例3.如图在6×6的网格(小正方形的边长为1)中有一个△ABC,则△ABC的周长是。
例3.请作一条直线,将下面的三角形分成两个三角形,是每个三角形都是
等腰三角形,并标出相关的数据。
4.角平分线、线段的垂直平分
1)。
角平分线性质定理:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理:
到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
2)。
垂直平分线定理:
线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
逆定理:
到一条线段两端点的距离相等的点,在线段的垂直平分线上。
例1.如图,在中,,
平分,,那么点
到直线的距离是 cm.
例2.如图,在△ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,
交AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长等于()
(A)6cm(B)8cm
(C)10cm(D)12cm
例3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=30°,用圆规和直尺作图,用两种方法把它分成两个三角形,且其中一个是等腰三角形.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明).
例4.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D.
(1)若∠BAC=30°,则AD与BD之间有何数量关系,说明你的理由;
(2)若AP平分∠BAC,交BD于P,求∠BPA的度数.
例5.如图,△ABC中,AB与AC的垂直平分线相交于F,且分别交AB于D,交AC于E。
求证:
BF=FC.
例6.如图,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,按下列要求画图并回答:
(1)画∠MAB、∠NBA的平分线交于E,∠AEB是什么角?
(2)过点E作一直线交AM于D,交BN于C,观察线段DE、CE,你有何发现?
(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动,只要DC经过点E,AD+BC的值是否有变化?
并说明理由。
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