34 实际问题与一元一次方程学年七年级数学上册高频易错题汇编人教版.docx
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34实际问题与一元一次方程学年七年级数学上册高频易错题汇编人教版
3.4实际问题与一元一次方程高频易错题集
一.选择题(共10小题)
1.某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务,实际上该班组每天比计划多生产了6个零件,结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件,若设该班组要完成的零件任务为x个,则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
2.把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本,设这个班有学生x人,下列方程正确的是( )
A.3x+20=4x﹣25B.3x﹣25=4x+20
C.4x﹣3x=25﹣20D.3x﹣20=4x+25
3.某车间28名工人生产螺栓和螺母,螺栓与螺母个数比为1:
2刚好配套,每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个,求多少人生产螺栓?
设:
有x名工人生产螺栓,其余人生产螺母.依题意列方程应为( )
A.12x=18(28﹣x)B.2×12x=18(28﹣x)
C.12×18x=18(28﹣x)D.12x=2×18(28﹣x)
4.在一个笼子里面放着几只鸡与几只兔,数了数一共有14个头,44只脚.问鸡兔各有几只设鸡为x只,得方程( )
A.2x+4(14﹣x)=44B.4x+2(14﹣x)=44
C.4x+2(x﹣14)=44D.2x+4(x﹣14)=44
5.某班把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生,其中一等奖每人200元,二等奖每人50元,设获得一等奖的学生人数为x人,其中列方程不正确的是( )
A.200x+50(22﹣x)=1400B.1400﹣200x=50(22﹣x)
C.
=22﹣xD.50x+200(22﹣x)=1400
6.一商家进行促销活动,某商品的优惠措施是“第二件商品半价”.现购买2件该商品,相当于这2件商品共打了( )
A.5折B.5.5折C.7折D.7.5折
7.A、B两地相距900km,一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地,到达B地后立刻原路返回A地,一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地.两车同时出发,截止到它们都到达终点时,两车恰好相距200km的次数是( )
A.5B.4C.3D.2
8.小明在某月的日历上圈出了三个数a、b、c,并求出了它们的和为39,则这三个数在日历中的排位位置不可能的是( )
A.
B.
C.
D.
9.中央电视台2套“开心辞典”栏目中,有一期的题目如图所示,两个天平都平衡,则三个球体的重量等于( )个正方体的重量.
A.2B.3C.4D.5
10.在一张挂历上,任意圈出同一列上的三个数的和不可能是( )
A.14B.72C.33D.69
二.填空题(共5小题)
11.一家商店将某种衣服按成本价加价40%作为标价,又以8折卖出,结果每件服装仍可获利15元,如设这种服装每件的成本价为x元,则根据题意可列方程为 .
12.京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通保障设施.京张高铁设计时速350公里,建成后,乘高铁从北京到张家口的时间将缩短至1小时.如图,京张高铁起自北京北站,途经昌平、八达岭长城、怀来等站,终点站为河北张家口南,全长174公里.如果按此设计时速运行,设每站(不计起始站和终点站)停靠的平均时间是x分钟,那么依题意,可列方程为 .
13.为了倡导居民节约用水,自来水公司规定:
居民每户用水量在8立方米以内,每立方米收费0.8元;超过规定用量的部分,每立方米收费1.2元.小明家12月份水费为18元,求小明家12月份的用水量,设小明家12月份用水量为x立方米,根据题意,可列方程为 .
14.轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时,若船速为26千米/小时,水速为2千米/时,则A港和B港相距 千米.
15.一件工作,甲单独做需6天完成,乙单独做需12天完成,若甲,乙一起做,则需 天完成.
三.解答题(共5小题)
16.如图为一梯级平面图,一只老鼠沿长方形的两边A﹣B﹣C的路线逃跑,一只猫同时沿梯级(折线)A﹣C﹣D的路线追,结果在距离C点0.6m的D点处,猫捉住了老鼠,已知老鼠的速度是猫的
,求梯级(折线)A﹣C的长度,
(1)请将下表中每一句话“译成”数学语言(在表格中写出对应的代数式):
设梯级(折线)A→C的长度为
xm
AB+BC的长度为
A→C→D的长度为
A→B→D的长度为
设猫捉住老鼠所用时间为
ts
猫的速度是
老鼠的速度是
(2)根据表格中代数式列出一个你认为正确的方程(不要求解):
.
17.为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息:
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价:
元/吨
单价:
元/吨
17吨及以下
a
0.90
超过17吨但不超过30吨的部分
b
0.90
超过30吨的部分
6.00
0.90
(说明:
①每户生产的污水量等于该户自来水用量;②水费=自来水费用+污水处理费)
已知小王家2018年7月用水16吨,交水费43.2元.8月份用水25吨,交水费75.5元.
(1)求a、b的值;
(2)如果小王家9月份上交水费156.1元,则小王家这个月用水多少吨?
(3)小王家10月份忘记了去交水费,当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨,其中10月份用水超过30吨,一共交水费215.8元,其中包含30元滞纳金,求小王家11月份用水多少吨?
(滞纳金:
因未能按期缴纳水费,逾期要缴纳的“罚款金额”)
18.下表是某网约车公司的专车计价规则:
计费项目
起租价
里程费
时长费
远途费
单价
15元
2.5元/公里
1.5元/分
1元/公里
注:
车费由起租价、里程费、时长费、远途费四部分构成,其中起租价15元含10分钟时长费和5公里里程费,远途费的收取方式为:
行车里程10公里以内(含10公里)不收远途费,超过10公里的,超出部分每公里收1元.
(1)若小李乘坐专车,行车里程为20公里,行车时间为30分,则需付车费 元;
(2)若小李乘坐专车,行车里程为x(7<x≤10)公里,平均时速为40km/h,则小李应付车费多少元?
(用含x的代数式表示)
(3)小李与小王各自乘坐专车,行车车费之和为76元,里程之和为15公里(其中小王的行车里程不超过5公里).如果行驶时间均为20分钟,那么这两辆专车此次的行驶路程各为多少公里?
19.数轴是学习有理数的一种重要工具,任何有理数都可以用数轴上的点表示,这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.
如图,将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10,点B表示10,点C表示18,我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P从点A出发,以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动,从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;同时,动点Q从点C出发,以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动,从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.当点P到达点C时,两点都停止运动.设运动的时间为t秒.问:
(1)t=2秒时,点P在“折线数轴”上所对应的数是 ;点P到点Q的距离是 个单位长度;
(2)动点P从点A运动至C点需要 秒;
(3)P、Q两点相遇时,t= 秒;此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是 ;
(4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等,直接写出t的值.
20.如图,已知A、B、C是数轴上的三点,点C表示的数是6,点B与点C之间的距离是4,点B与点A的距离是12,点P为数轴上一动点.
(1)数轴上点A表示的数为 .点B表示的数为 ;
(2)数轴上是否存在一点P,使点P到点A、点B的距离和为16,若存在,请求出此时点P所表示的数;若不存在,请说明理由;
(3)点P以每秒1个单位长度的速度从C点向左运动,点Q以每秒2个单位长度从点B出发向左运动,点R从点A以每秒5个单位长度的速度向右运动,它们同时出发,运动的时间为t秒,请求点P与点Q,点R的距离相等时t的值.
试题解析
一.选择题(共10小题)
1.某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务,实际上该班组每天比计划多生产了6个零件,结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件,若设该班组要完成的零件任务为x个,则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】关系式为:
零件任务÷原计划每天生产的零件个数﹣(零件任务+120)÷实际每天生产的零件个数=3,把相关数值代入即可求解.
【解答】解:
实际完成的零件的个数为x+120,实际每天生产的零件个数为50+6,
所以根据时间列的方程为:
=3,
故选:
C.
2.把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本,设这个班有学生x人,下列方程正确的是( )
A.3x+20=4x﹣25B.3x﹣25=4x+20
C.4x﹣3x=25﹣20D.3x﹣20=4x+25
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】设这个班有学生x人,等量关系为图书的数量是定值,据此列方程.
【解答】解:
设这个班有学生x人,
由题意得3x+20=4x﹣25.
故选:
A.
3.某车间28名工人生产螺栓和螺母,螺栓与螺母个数比为1:
2刚好配套,每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个,求多少人生产螺栓?
设:
有x名工人生产螺栓,其余人生产螺母.依题意列方程应为( )
A.12x=18(28﹣x)B.2×12x=18(28﹣x)
C.12×18x=18(28﹣x)D.12x=2×18(28﹣x)
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】螺栓与螺母个数比为1:
2刚好配套,那么螺母的个数较多,要想让螺栓的个数和螺母的个数相等,等量关系为:
2×生产的螺栓的个数=螺母的个数,把相关数值代入即可.
【解答】解:
∵有x名工人生产螺栓,
∴有(28﹣x)名工人生产螺母,
∵每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个,
∴螺栓有12x,螺母有18×(28﹣x)个,
故方程为2×12x=18(28﹣x),
故选:
B.
4.在一个笼子里面放着几只鸡与几只兔,数了数一共有14个头,44只脚.问鸡兔各有几只设鸡为x只,得方程( )
A.2x+4(14﹣x)=44B.4x+2(14﹣x)=44
C.4x+2(x﹣14)=44D.2x+4(x﹣14)=44
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】由常识可知鸡有一个头两只脚,兔有一个头四只脚,则由题意可得到鸡和兔共有14只,其等量关系为:
鸡的脚数+兔的脚数=44只,根据此等式列方程即可.
【解答】解:
设鸡为x只,则要鸡有2x只脚,兔有4(14﹣x)只脚,
根据等量关系列方程为
2x+4(14﹣x)=44,
故选:
A.
5.某班把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生,其中一等奖每人200元,二等奖每人50元,设获得一等奖的学生人数为x人,其中列方程不正确的是( )
A.200x+50(22﹣x)=1400B.1400﹣200x=50(22﹣x)
C.
=22﹣xD.50x+200(22﹣x)=1400
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】等量关系可以为:
200×一等奖人数+50×二等奖人数=1400.
【解答】解:
A、符合200×一等奖人数+50×二等奖人数=1400,正确;
B、符合1400﹣200×一等奖人数=50×二等奖人数,正确;
C、符合(1400﹣200×一等奖人数)÷50=二等奖人数,正确;
D、50应乘(22﹣x),错误.
故选:
D.
6.一商家进行促销活动,某商品的优惠措施是“第二件商品半价”.现购买2件该商品,相当于这2件商品共打了( )
A.5折B.5.5折C.7折D.7.5折
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】根据题意设第一件商品x元,买两件商品共打y折,利用价格列出方程即可求解.
【解答】解:
设第一件商品x元,买两件商品共打了y折,根据题意可得:
x+0.5x=2x•
,
解得:
y=7.5
即相当于这两件商品共打了7.5折.
故选:
D.
7.A、B两地相距900km,一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地,到达B地后立刻原路返回A地,一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地.两车同时出发,截止到它们都到达终点时,两车恰好相距200km的次数是( )
A.5B.4C.3D.2
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】相距200km要从相遇前和相遇后;追及前和追及后,快车已到终点几个方面考虑,共计5种情况,经计算检验数据是否符合题意.
【解答】解:
设两车相距200km时,行驶的时间为t小时,依题意得:
①当快车从A地开往B地,慢车从B地开往A地,相距200km时,则有:
200t+75t+200=900,
解得:
t=
;
②当快车继续开往B地,慢车继续开往A地,相遇后背离而行,相距200km时,
200t+75t﹣200=900,
解得:
t=4;
③快车从A地到B地全程需要4.5小时,此时慢车从B地到A地行驶4.5×75=337.5km,
∵337.5>200
∴快车又从B地返回A地是追慢车,追上前相距200km,则有:
75t=200+200(t﹣4.5),
解得:
t=
;
④快车追上慢车后并超过慢车相距200km,则有:
200(t﹣4.5)﹣75t=200
解得:
t=8.8
⑤快车返回A地终点所需时间是9小时,此刻慢车行驶了9×75=675km,
距终点还需行驶225km,则有:
75t=900﹣200
解得:
t=
.
综合所述两车恰好相距200km的次数为5次.
故选:
A.
8.小明在某月的日历上圈出了三个数a、b、c,并求出了它们的和为39,则这三个数在日历中的排位位置不可能的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7,左右相邻差1,根据题意列方程可解.
【解答】解;A:
设最小的数是x,则x+(x+1)+(x+2)=39,解得:
x=12,故本选项不符合题意;
B:
设最小的数是x,则x+(x+1)+(x+8)=39,解得
x=10,故本选项不符合题意;
C:
设最小的数是x,则x+(x+8)+(x+16)=39,解得
x=5,故本选项不符合题意;
D:
设最小的数是x,则x+(x+8)+(x+14)=39,解得
x=
,故本选项符合题意.
故选:
D.
9.中央电视台2套“开心辞典”栏目中,有一期的题目如图所示,两个天平都平衡,则三个球体的重量等于( )个正方体的重量.
A.2B.3C.4D.5
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】由图可知:
2球体的重量=5圆柱体的重量,2正方体的重量=3圆柱体的重量.可设一个球体重x,圆柱重y,正方体重z.根据等量关系列方程即可得出答案.
【解答】解:
设一个球体重x,圆柱重y,正方体重z.
根据等量关系列方程2x=5y;2z=3y,消去y可得:
x=
z,
则3x=5z,即三个球体的重量等于五个正方体的重量.
故选:
D.
10.在一张挂历上,任意圈出同一列上的三个数的和不可能是( )
A.14B.72C.33D.69
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】因为挂历上同一列的数都相对于前一个数相差7,所以设第一个数为x,则第二个数、第三个数分别为x+7、x+14,求出三数之和,发现其和为3的倍数,对照四选项即可求解.
【解答】解:
设圈出的第一个数为x,则第二数为x+7,第三个数为x+14,
∴三个数的和为:
x+(x+7)+(x+14)=3(x+7),
∴三个数的和为3的倍数,
由四个选项可知只有A不是3的倍数,
故选:
A.
二.填空题(共5小题)
11.一家商店将某种衣服按成本价加价40%作为标价,又以8折卖出,结果每件服装仍可获利15元,如设这种服装每件的成本价为x元,则根据题意可列方程为 (1+40%)x×80%﹣x=15 .
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】根据题意知,标价是以成本价为单位“1”的,所以用(1+40%)x表示,以8折卖出时是以标价为单位“1”的,所以在标价的基础上乘80%,然后减去成本价就是利润,由此可以进行列式.
【解答】解:
由题意知,标价是以成本价为单位“1”的,所以用(1+40%)x表示,以8折卖出时是以标价为单位“1”的,所以在标价的基础上乘80%,然后减去成本价就是利润15元,所以列式为:
(1+40%)x×80%﹣x=15,
故答案为:
(1+40%)x×80%﹣x=15.
12.京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通保障设施.京张高铁设计时速350公里,建成后,乘高铁从北京到张家口的时间将缩短至1小时.如图,京张高铁起自北京北站,途经昌平、八达岭长城、怀来等站,终点站为河北张家口南,全长174公里.如果按此设计时速运行,设每站(不计起始站和终点站)停靠的平均时间是x分钟,那么依题意,可列方程为
.
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】设每站(不计起始站和终点站)停靠的平均时间是x分钟,根据所行驶的时间差为1小时列出方程.
【解答】解:
设每站(不计起始站和终点站)停靠的平均时间是x分钟,
依题意得:
.
故答案是:
.
13.为了倡导居民节约用水,自来水公司规定:
居民每户用水量在8立方米以内,每立方米收费0.8元;超过规定用量的部分,每立方米收费1.2元.小明家12月份水费为18元,求小明家12月份的用水量,设小明家12月份用水量为x立方米,根据题意,可列方程为 8×0.8+1.2(x﹣8)=18 .
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】先计算8立方米时的水费:
8×0.8=6.4,与18对比,说明小明家12月份的水量x>8,可列方程即可.
【解答】解:
∵8×0.8=6.4<18,
∴x>8,
根据题意,可列方程为:
8×0.8+1.2(x﹣8)=18,
故答案为:
8×0.8+1.2(x﹣8)=18.
14.轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时,若船速为26千米/小时,水速为2千米/时,则A港和B港相距 504 千米.
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】轮船航行问题中的基本关系为:
(1)船的顺水速度=船的静水速度+水流速度;
(2)船的逆水速度=船的静水速度一水流速度.若设A港和B港相距x千米,则从A港顺流行驶到B港所用时间为
小时,从B港返回A港用
小时,根据题意列方程求解.
【解答】解:
设A港和B港相距x千米.
根据题意,得
,
解之得x=504.
故填504.
15.一件工作,甲单独做需6天完成,乙单独做需12天完成,若甲,乙一起做,则需 4 天完成.
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】本题就是把总的工作看成整体1.甲单独做需6天完成即甲一天完成工作的
,同理乙一天完成工作的
,设甲,乙一起做,则需x天完成,题目中的相等关系是:
甲,乙一起做x天的工作=总工作1.就可以列方程.
【解答】解:
设需x天完成,
则x(
+
)=1,
解得x=4,
故需4天完成.
三.解答题(共5小题)
16.如图为一梯级平面图,一只老鼠沿长方形的两边A﹣B﹣C的路线逃跑,一只猫同时沿梯级(折线)A﹣C﹣D的路线追,结果在距离C点0.6m的D点处,猫捉住了老鼠,已知老鼠的速度是猫的
,求梯级(折线)A﹣C的长度,
(1)请将下表中每一句话“译成”数学语言(在表格中写出对应的代数式):
设梯级(折线)A→C的长度为
xm
AB+BC的长度为
x
A→C→D的长度为
x+0.6
A→B→D的长度为
x﹣0.6
设猫捉住老鼠所用时间为
ts
猫的速度是
老鼠的速度是
(2)根据表格中代数式列出一个你认为正确的方程(不要求解):
×
=
.
【考点】列代数式;由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】
(1)把楼梯的各条线段进行平移,可得AB+BC=楼梯A→C的总长;猫捉鼠的路程之和为楼梯A→C的总长+线段CD长;老鼠逃窜的路程为AB+BC﹣线段CD长;猫的速度=猫的路程÷猫用的时间;老鼠的速度=老鼠走的路程÷老鼠逃跑的时间,把相关数值代入即可求解;
(2)根据“老鼠的速度是猫的
”可得方程.
【解答】解:
(1)如题中表格所示
设梯级(折线)A→C的长度为
xm
AB+BC的长度为
x
A→C→D的长度为
x+0.6
A→B→D的长度为
x﹣0.6
设猫捉住老鼠所用时间为
ts
猫的速度是
老鼠的速度是
(2)
×
=
,
故答案为:
×
=
.
17.为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息:
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价:
元/吨
单价:
元/吨
17吨及以下
a
0.90
超过17吨但不超过30吨的部分
b
0.90
超过30吨的部分
6.00
0.90
(说明:
①每户生产的污水量等于该户自来水用量;②水费=自来水费用+污水处理费)
已知小王家2018年7月用水16吨,交水费43.2元.8月份用水25吨,交水费75.5元.
(1)求a、b的值;
(2)如果小王家9月份上交水费156.1元,则小王家这个月用水多少吨?
(3)小王家10月份忘记了去交水费,当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨,其中10月份用水超过30吨,一共交水费215.8元,其中包含30元滞纳金,求小王家11月份用水多少吨?
(滞纳金:
因未能按期缴纳水费,逾期要缴纳的“罚款金额”)
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】
(1)16吨小于17吨,用16乘以自来水每吨的销售价格与污水处理单价之和,等于432元,得方程①;25=17+8,按照两段的价格计算,得出方程②,解方程组即可求得a和b;
(2)设小王家这个月用水x吨,分17吨以下、17~30吨、30吨以上三部分相加计算,让其等于156.1,解方程即可;
(3)设小王家11月份用水y吨,由于两个月一共用水50吨,其中10月份用水超过30吨,则分y≤17和17<y<20,分别列方程求解,再结合问题的实际意义可得本题答案.
【解答】解:
(1)由题意得:
解①,得a=1.8,
将a=1.8代入②,解得b=2.8
∴a=1.8,b=2.8.
(2)1.8+0.9=2.7,2.8+0.9=3.7,6.00+0.9=6.9
设小王家这个月用水x吨,由题意得:
2.7×17+3.7×13+(x﹣30)×6.9=156.1
解得:
x=39
∴小王家这个月用水39吨.
(3)设小王家11月份用水y吨,
当y≤17时,2.7y+2.7×17+3.7×13+(50﹣30﹣y)×6.9=215.8﹣30
解得y=11
当17<y<20时,17×2.7+(
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