第二章+扩散的机制、扩散方程及其解.ppt
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材料动力学材料动力学与相变原理与相变原理材料学院刘兴军教授材料学院刘兴军教授2013年年3月月第二章扩散动力第二章扩散动力学学动力学动力学本课程的参考教本课程的参考教材材徐瑞荆天辅徐瑞荆天辅材料热力学与动力学材料热力学与动力学哈尔滨工业大学出版社哈尔滨工业大学出版社孙振岩,刘春明编著孙振岩,刘春明编著合金中的扩散与相变合金中的扩散与相变东北大学出版东北大学出版社,社,200220021.扩散动力学主要内容扩散动力学主要内容
(1)扩散动力学)扩散动力学
(2)相变动力学)相变动力学热力学与动力学热力学与动力学热力学热力学研究的问题是研究的问题是过程的可能性过程的可能性,即预言在给定条,即预言在给定条件下某一过程的方向和限度;件下某一过程的方向和限度;动力学动力学研究的是研究的是过程的现实性过程的现实性,即动力学是解决一个,即动力学是解决一个过程是如何进行的问题。
过程是如何进行的问题。
热力学上可能的过程:
热力学上可能的过程:
通过动力学的研究来解决反应通过动力学的研究来解决反应速度问题;速度问题;热力学上不可能的过程热力学上不可能的过程:
没有动力学研究价值:
没有动力学研究价值热力学研究的目标:
热力学研究的目标:
提高过程的驱动力;提高过程的驱动力;动力学研究的目标:
动力学研究的目标:
如何降低过程的阻力;如何降低过程的阻力;扩散扩散:
大量原子的热运动引起的物质的宏观迁移大量原子的热运动引起的物质的宏观迁移完全混合完全混合部分部分混合混合时间时间加入加入染料染料水溶体中的扩散溶体中的扩散高碳含量区域高碳含量区域低碳含量区域低碳含量区域碳的扩散方向碳的扩散方向Fe-C合金合金非均匀的单相合金试样非均匀的单相合金试样溶体中的扩散溶体中的扩散T=25时,C的浓度分布扩散驱动力扩散驱动力浓度梯度(化学势梯度)浓度梯度(化学势梯度)应力场梯度应力场梯度电场梯度电场梯度体系自由能降低体系自由能降低分子,原子或离子等的定向,宏观迁移分子,原子或离子等的定向,宏观迁移227-steprandomwalkintwodimensions-4-2024681012-10-8-6-4-20246Distance,ynDistance,xnn=227n=0227Distance,xnDistance,ynn=0n=227NetDisplacement=8.2Thisrandomwalkhas360degreesoffreedomperstep!
扩散:
扩散:
无数个原子的无规则热运动的统计结果无数个原子的无规则热运动的统计结果1827年年Brown(英植物学家英植物学家)水面上花粉的无规则运动水面上花粉的无规则运动唯象模型唯象模型微观机制微观机制扩散物质浓度分扩散物质浓度分布与时间的关系布与时间的关系原子无规则运动与原子无规则运动与宏观物质流的关系宏观物质流的关系扩散理论研究的两个方面扩散理论研究的两个方面由德国生理学家菲克(1829-1901)于1855年提出。
2.1扩散基本定律扩散基本定律菲克第一定律菲克第一定律(Ficksfirstlaw)稳态扩散稳态扩散(0)tC=菲克第二定律菲克第二定律(Fickssecondlaw)非稳态扩散非稳态扩散(0)tC扩散过程中各点浓度不随时间改变扩散过程中各点浓度不随时间改变扩散过程中各点浓度随时间而变化扩散过程中各点浓度随时间而变化2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积截面的扩散物质单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积截面的扩散物质量,即所谓的扩散通量量,即所谓的扩散通量J,与扩散物质的浓度梯度成正比。
,与扩散物质的浓度梯度成正比。
CJDx=-三维表达式三维表达式CCCJDDCjikxyz骣抖=-+=-琪抖桫适用范围:
适用范围:
稳态扩散稳态扩散(0)tC=扩散沿扩散沿x方向方向体系各向异性体系各向异性xyzCCCJDDDjikxyz骣抖=-+琪抖桫体系各向同性体系各向同性其中,负号表示扩散方向与浓度梯度增长方向相反;J为扩散物质通量,D为扩散率或称扩散系为扩散率或称扩散系数数近似稳态扩散条件下近似稳态扩散条件下可以用菲克第一定律作定量或半定量的解析可以用菲克第一定律作定量或半定量的解析1.估算扩散型相变传质过程中扩散组元估算扩散型相变传质过程中扩散组元的扩散通量的扩散通量2.估算由扩散控制的相界移动速度估算由扩散控制的相界移动速度稳态扩散稳态扩散:
经过一定时间后,扩散组元经过一定时间后,扩散组元B离开某离开某一体积一体积单元的速率等于进入该体积单元的速率等于进入该体积单元的速率。
单元的速率。
J为一恒定值。
为一恒定值。
2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用单相系统中的稳态扩散单相系统中的稳态扩散1一维稳态扩散一维稳态扩散2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用x1x2C1C2A1dmdCJDAdtdx=-设想一种最简单的扩散:
物质沿一个方向扩散且浓度不变,那设想一种最简单的扩散:
物质沿一个方向扩散且浓度不变,那么此时的扩散方程是怎样的呢?
么此时的扩散方程是怎样的呢?
扩散过程中通过与周围环境进行有效的物质交换,使物体长度两端扩散过程中通过与周围环境进行有效的物质交换,使物体长度两端X1与与X2处的浓度处的浓度C1和和C2保持不变。
这样就建立起一种沿物体长度上每一点保持不变。
这样就建立起一种沿物体长度上每一点浓度都保持不变的稳态扩散。
由于在此种扩散条件下扩散通量为常数,因浓度都保持不变的稳态扩散。
由于在此种扩散条件下扩散通量为常数,因此可以通过对菲克此可以通过对菲克(Fick)扩散第一定律积分求得扩散物质的流量。
扩散第一定律积分求得扩散物质的流量。
m为扩散组元通过截面为扩散组元通过截面A的量的量1.dmdtA单位时间,单位面积上的流量单位时间,单位面积上的流量(kg/m2.s)单相系统中的稳态扩散单相系统中的稳态扩散1一维稳态扩散一维稳态扩散2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用x1x2C1C2A1dmdCJDAdtdx=-dmdxDAdCdt=-2211xCxCdmdxDAdCdt=-蝌()()2121dmxxDACCdt-=-()()()212121CCCCdmDADAdtxxl-=-=-l:
x1与与x2两点间距离两点间距离扩散物质的流量扩散物质的流量例例8.1推导欧姆定律推导欧姆定律CUKDD=电子浓度差电子浓度差导线材料单位体积的电容导线材料单位体积的电容C引起的电位差引起的电位差dQdCCDAKDADAUdtdxxlD=-=-=-DD一维电子稳流状态一维电子稳流状态电流强度电流强度dQIdt=-DAKVIVlR=欧姆定律欧姆定律电压电压V=UlRDAK=1DK其中其中2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用电阻率电阻率()()()212121CCCCdmDADAdtxxl-=-=-在实际的生产在实际的生产应用中,我们需要解决的不仅仅是一维系统中的应用中,我们需要解决的不仅仅是一维系统中的稳态扩散,更多的是多维系统的情况,那么在多维系统中稳态稳态扩散,更多的是多维系统的情况,那么在多维系统中稳态扩散是个什么样的形式呢?
扩散是个什么样的形式呢?
2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用单相系统中的稳态扩散单相系统中的稳态扩散2多维系统中的扩散多维系统中的扩散多维多维系统系统中的中的稳态稳态扩散扩散一般较为复杂一般较为复杂两种简单的情况两种简单的情况空心圆柱体空心圆柱体空心球体空心球体rldtdmJ21lDdCrdrdtdm21212/ln2rrCClDdtdm2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2多维系统中的扩散(空心圆柱体情况)多维系统中的扩散(空心圆柱体情况)一段时间后,一段时间后,CC原子原子扩散达到稳定,扩散达到稳定,若圆柱体长度为若圆柱体长度为l,Cl,C原子经过半径为原子经过半径为r,r,由由内向外扩散通量为:
内向外扩散通量为:
0/tC纯铁制成的空心圆柱置于恒温炉中纯铁制成的空心圆柱置于恒温炉中由菲克第一定律得:
由菲克第一定律得:
或或12122lnCClDrrdtdm考虑到考虑到r=r1时时,C=C1;r=r2时时,C=C2将上式积分得:
将上式积分得:
2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2多维系统中的扩散(空心圆柱体情况)多维系统中的扩散(空心圆柱体情况)1212/ln2rrCClDdtdm或或2多维系统中的扩散(空心球体情况)多维系统中的扩散(空心球体情况)稳态扩散的空心球体稳态扩散的空心球体扩散通量为:
扩散通量为:
241rdtdmJ由菲克第一定律得:
由菲克第一定律得:
drdCrDdtdm24212142CCrrDdCrdrdtdm1212214rrCCDrrdtdmlCCDrrdtdm122142.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用2多维系统中的扩散(空心球体情况)多维系统中的扩散(空心球体情况)稳态扩散的空心球体稳态扩散的空心球体根据已知的边界条件有:
根据已知的边界条件有:
若若D为常数有:
为常数有:
将球壳厚度将球壳厚度l=r1-r2代入上面代入上面的式子可得:
的式子可得:
对于多相系统来说,用计算的方法来描述扩散是很困难的,所对于多相系统来说,用计算的方法来描述扩散是很困难的,所以我们仅讨论两相系统中的一维扩散。
以我们仅讨论两相系统中的一维扩散。
两相的扩散层厚度与扩散两相的扩散层厚度与扩散物质的关系是怎样的呢?
物质的关系是怎样的呢?
2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用两相系统中的稳态扩散两相系统中的稳态扩散下图所示的扩散墙分别为下图所示的扩散墙分别为和和相,扩散系数分别为相,扩散系数分别为D和和D扩散墙扩散墙两相层两相层厚度与厚度与扩散物扩散物质无关质无关两相层两相层厚度与厚度与扩散物扩散物质有关质有关2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用浓度分布浓度分布活度分布活度分布两相层厚度与扩散物质无关两相层厚度与扩散物质无关两相层的厚度两相层的厚度相的厚度为相的厚度为相的厚度为相的厚度为设扩散物质为氢设扩散物质为氢(H),由于它在由于它在相与相与相中具有相中具有一定的溶解度一定的溶解度例例氢在氢在、两相区中的扩散(两相系统中的一维扩散)两相区中的扩散(两相系统中的一维扩散)例如一层可以是纯铁,另一层可以是奥氏体不锈钢例如一层可以是纯铁,另一层可以是奥氏体不锈钢lgla1afCaa=2afCgg=aaa2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用agaa设是设是相层外面维持的活度相层外面维持的活度;是是相层外面维持的活度相层外面维持的活度;是是相界面上的活度相界面上的活度;在稳态扩散建立起来之后,活度在稳态扩散建立起来之后,活度分布如图所示分布如图所示aaagia由稳态扩散条件由稳态扩散条件HHJJga=两相层厚度与扩散物质无关两相层厚度与扩散物质无关2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用由稳态扩散条件由稳态扩散条件HHJJga=11HHHiCCaaDJDllffaagaaaaaaa-骣=-=-琪桫2HHHiCCaaDJDllffgggaggggggg-骣=-=-琪桫氢在氢在、两相区中的扩散两相区中的扩散分别为H在两相中的浓度;分别为H在两相中的活度;分别为H在两相中的活度系数;1C2Cagaafgfaagaa双相层厚度与扩散物质无关双相层厚度与扩散物质无关1HHHHiiaaaaDDlfflffaggaaaggg骣骣-=-琪琪桫桫2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用1H2HHHialfalflflfaDDDDggaaggaagaga骣骣=+琪琪桫桫1HHHdmdCJJJDAdtdxga=-一维稳态扩散一维稳态扩散1H2HHHialfalflflfaDDDDggaaggaagaga骣骣=+琪琪桫桫化简上式化简上式12HH1HaadmJlflfAdtDDggaaga-=+iaHJ代入代入组合因子组合因子扩散的阻力扩散的阻力1212HH=HaaaaJDlflfDgggggg-=HHDDag?
(约大于100)2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用扩散物质的扩散流量主要取决于组合因子组合因子具有最大值的那个相,该相对扩散具有最大的阻力。
这种情况与一栋房子墙壁进行的热传导极为相似,房子通过墙所损失的热量就主要取决于最好的绝热层。
同一温度下,扩散型相变中新相相界移动长大速度扩散型相变中新相相界移动长大速度dlC/新相相界的迁移速度受原子扩散控制新相相界的迁移速度受原子扩散控制例例8.3AB合金中,若合金中,若DDADB可用可用菲克第一定律估算菲克第一定律估算新相相界的迁移速度新相相界的迁移速度即新相长大动力学问题。
下面分析新相即新相长大动力学问题。
下面分析新相依靠母相依靠母相消耗而长大过程。
消耗而长大过程。
8.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用相相长大方向长大方向设:
设:
相向左侧相向左侧相内长大距离为相内长大距离为相界平衡浓度为相界平衡浓度为并令并令及及相的摩尔体积相等相的摩尔体积相等()dldldlab=/CabmmVVab=扩散型相变中新相相界移动长大速度扩散型相变中新相相界移动长大速度dlC/新相相界的迁移速度受原子扩散控制新相相界的迁移速度受原子扩散控制()BBBmSdldmxxVbbab=-相变后相变后B元素增量元素增量BBBdmdmdmab=-增量由扩散引起增量由扩散引起2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用相相长大方向长大方向BdmaBdmb相中相中B原子扩散到原子扩散到相界数量相界数量相中相中B原子通过扩散离开原子通过扩散离开相界数量相界数量如截面面积为如截面面积为SS,相增加的体积为。
相增加的体积为。
BB原原子在新相内增量子在新相内增量mol,在该体积相变前,在该体积相变前后原子总数相等,但后原子总数相等,但B元素的摩尔分数却由元素的摩尔分数却由变为变为Sdlb/mSdlVbbBxaBxb菲克第一定律菲克第一定律11,BBBBmmdmdxdmdxDDSdtVdySdtVdyaabbabab=-=-mmVVab当()mBBBBmdlVdxdxDDxxdydyVdtbbbababaa骣=-琪桫若只若只在在相中发生扩散,可得简单的长大速度公式相中发生扩散,可得简单的长大速度公式mBBBmVdxdlDdtxxdyVbababaa=-BBxxba与可由相图确定2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用浓度梯度浓度梯度相界长大速度相界长大速度两相层厚度与扩散物质有关两相层厚度与扩散物质有关BBBB0CCCCCll2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用例例8.4B组元通过组元通过A-B合金墙所进合金墙所进行的扩散便属于这种情况行的扩散便属于这种情况在墙的一侧,在墙的一侧,B的活度保持极低的的活度保持极低的数值,在墙的另一侧与纯数值,在墙的另一侧与纯B的气相的气相保持平衡。
现假定整个墙的厚度为保持平衡。
现假定整个墙的厚度为l,则,则,与分别为与分别为相与相与相厚度相厚度。
在实际问题中,通常给出墙中。
在实际问题中,通常给出墙中A的总量,其墙的厚度便决定于的总量,其墙的厚度便决定于B组组元溶解的多少。
元溶解的多少。
lllab=+lalb两相层厚度与扩散物质有两相层厚度与扩散物质有关关BBBB0CCCCCll1CCCdmDDDAdtllllbbaabbabaDDD=-=-=-扩散达到稳态,扩散达到稳态,Fick第一定律第一定律DCllDCDCaaaaabbD=D+D1DCDCdmAdtlaabbD+D=-扩散组元的流量主要取决于具有最扩散组元的流量主要取决于具有最大的大的DC相,即对扩散具有最小相,即对扩散具有最小阻力的相阻力的相2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用CaDCbD可由相图给出我们已经知道,除马氏体相变和其他少数相变外,大多数的相我们已经知道,除马氏体相变和其他少数相变外,大多数的相变都是由扩散控制的,如:
脱溶沉淀、调幅分解、共析分解等变都是由扩散控制的,如:
脱溶沉淀、调幅分解、共析分解等等。
那么菲克第一定律在扩散性相变中的应用是怎样的呢?
等。
那么菲克第一定律在扩散性相变中的应用是怎样的呢?
让我们讨论下面几种比较简单的情况:
让我们讨论下面几种比较简单的情况:
低过饱和固溶体中球形析出相的长大低过饱和固溶体中球形析出相的长大晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大在已存在的两相之间新相的长大在已存在的两相之间新相的长大一相转变成片层排列的两个新相一相转变成片层排列的两个新相2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用菲克第一定律在扩散性相变中的应用菲克第一定律在扩散性相变中的应用扩扩散散性性相相变变低过饱和固溶体中球形析出相的长大低过饱和固溶体中球形析出相的长大参照空心球参照空心球dm/dt的式子,可以得到某一时刻物质流量为的式子,可以得到某一时刻物质流量为:
1212214rrCCDrrdtdmr1、r2随随相的长大不断变相的长大不断变化化考虑到固溶体开始就是饱和的,因此考虑到固溶体开始就是饱和的,因此有有r2r1,r2r2-r1,上式可写为,上式可写为:
112211221122144rCCDrrrrrCCDrdtdm2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用低过饱和固溶体中球形析出相的长大低过饱和固溶体中球形析出相的长大对于正在生长的树枝状晶体顶端的扩散过程对于正在生长的树枝状晶体顶端的扩散过程,达到顶端表面的扩散通量也可表示为:
,达到顶端表面的扩散通量也可表示为:
rCCDJ12C1溶液与枝晶顶端接触处的浓度溶液与枝晶顶端接触处的浓度C2溶液起始浓度溶液起始浓度r枝晶顶端曲率半径(有效扩散距离)枝晶顶端曲率半径(有效扩散距离)对于片状边缘长大,考虑到枝晶顶端生长时,物质可以从四个对于片状边缘长大,考虑到枝晶顶端生长时,物质可以从四个方向扩散到枝晶端部,而片状枝晶边缘长大时,物质只能从两方向扩散到枝晶端部,而片状枝晶边缘长大时,物质只能从两个方向流入。
扩散通量应为枝晶情况时的一半,即:
个方向流入。
扩散通量应为枝晶情况时的一半,即:
rCCDJ212左式也适用于共析组织片层边缘的长大。
对于珠光左式也适用于共析组织片层边缘的长大。
对于珠光体中渗碳片层边缘的长大,扩散通量可以写为:
体中渗碳片层边缘的长大,扩散通量可以写为:
cemSCCDdtdmAJ121Scem渗碳体片的渗碳体片的厚度,厚度,Scem2r2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大那那么么薄薄膜膜是是怎怎么么增增厚厚的的呢呢?
T1急急冷到冷到T2形成形成薄膜薄膜薄膜薄膜增厚增厚析出析出相相2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大由右图可以看到由右图可以看到,相中存在原相中存在原子贫化区(越靠子贫化区(越靠近近相,相,相中相中溶质原子(组溶质原子(组元)的浓度越低元)的浓度越低)。
)。
相中溶质相中溶质原子的这种分布原子的这种分布导致导致B原子在原子在相中朝相中朝相薄膜相薄膜方向扩散,使方向扩散,使相增厚。
相增厚。
设设dt内增厚内增厚dl,则则中增加的中增加的B原子数为原子数为:
/XXVAdlCCAdldmBA-界面面积;界面面积;V相摩尔体积;相摩尔体积;X相摩尔浓度;相摩尔浓度;X/界面处界面处相的摩尔浓度。
相的摩尔浓度。
2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用相界析出相界析出相薄膜时的浓度分布示意图相薄膜时的浓度分布示意图晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大dt时间内朝向薄膜的扩散流量为时间内朝向薄膜的扩散流量为:
dtdxdXVADdmB此方程和上一方程意义相同,则此方程和上一方程意义相同,则有:
有:
/XXVAdldtdxdXVADdX/dx为图中虚为图中虚线的斜率,近似线的斜率,近似有:
有:
SXdxdXX=X0-X/为过饱为过饱和度。
和度。
2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大取图中三角形面积近似代替取图中三角形面积近似代替相中影线面积,则有:
相中影线面积,则有:
0XVSA21XXVAl浓度梯度为:
浓度梯度为:
VVXXXlSXdx0221dX上式代入上式代入式得:
式得:
2/022VVXXXXlXDdtdl2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用t=0时,时,l=0,t=t时,时,l=l,将上式积分得:
将上式积分得:
晶界薄膜析出相的长大晶界薄膜析出相的长大2/022VVXXXXlXDdtdltVVXXXXXDl2/022上式表明,晶界析出相上式表明,晶界析出相薄膜的厚度随时间增长按抛物线规律薄膜的厚度随时间增长按抛物线规律增加,而其厚度的速率将随时间的增长而减小。
其厚度速率随增加,而其厚度的速率将随时间的增长而减小。
其厚度速率随时间的增长而减小的原因是,随着析出相的长大,薄膜周围溶时间的增长而减小的原因是,随着析出相的长大,薄膜周围溶质贫化区增大,因而溶质原子所需要的扩散距离增加了。
质贫化区增大,因而溶质原子所需要的扩散距离增加了。
2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用在已存在的两相之间新相的长大在已存在的两相之间新相的长大左图是形成中间相左图是形成中间相的的A-B二元系相图。
二元系相图。
图中:
图中:
/XXX其中其中X/与与X/分别为与分别为与和和相的摩尔浓度,利用相的摩尔浓度,利用稳态扩散的近似方法可估算出稳态扩散的近似方法可估算出相中的浓度梯度相中的浓度梯度lXdxdX2.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用a)含有中间相含有中间相的二元相图的二元相图b)T1温度下温度下A-B扩散系统的浓度扩散系统的浓度分布分布ab在已存在的两相之间新相的长大在已存在的两相之间新相的长大由于浓度梯度的存在,在由于浓度梯度的存在,在相中将发生原子由相中将发生原子由界面向界面向界面迁移。
根据菲克扩散第一定律,原子的扩散流量为:
界面迁移。
根据菲克扩散第一定律,原子的扩散流量为:
lXVADdxdXVADdxdCADdtdmB原子在原子在相中的迁移将导致相中的迁移将导致/,/界面处浓度平衡的破坏,为维持界面处浓度平衡的破坏,为维持两界面处浓度的平衡,将在两个相界面发生相变,从而导致两界面处浓度的平衡,将在两个相界面发生相变,从而导致相层不相层不断增厚。
假设在断增厚。
假设在dt时间内,在时间内,在/相界面上相界面上相的厚度增加相的厚度增加,在,在/界面上界面上相厚度增加,根据质量平衡有:
相厚度增加,根据质量平衡有:
1dl2dllVXADXXdtVAdllVXADXXdtVAdl/2/12.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用在已存在的两相之间新相的长大在已存在的两相之间新相的长大上式可以得到上式可以得到相总得长大速度为:
相总得长大速度为:
XXXXXXXXlDXXXXlXDdtdldldtdl/2111考虑到考虑到XX-X,t=0时,时,l=0,t=t时,时,l=l,上式,上式积分得:
积分得:
tXXXXXXXDl/222.1.1菲克第一定律及其应用菲克第一定律及其应用在已存在的两相之间新相的长大在已存在的两
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- 第二 扩散 机制 方程 及其