9连续系统的振动之集中质量法、假设模态法、模态综合法.pptx
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9连续系统的振动之集中质量法、假设模态法、模态综合法.pptx
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教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法各种近似解法的共同特点:
用有限自由度的系统对无限自各种近似解法的共同特点:
用有限自由度的系统对无限自由度的系统进行近似由度的系统进行近似集中质量法集中质量法假设模态法假设模态法有限元法有限元法集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解有限元法兼有以上两种方法的特点有限元法兼有以上两种方法的特点连续系统的振动连续系统的振动/集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法工程系统的物理参数常常分布不均匀工程系统的物理参数常常分布不均匀惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧,它们的质量惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧,它们的质量可以不计或折合到集中质量上可以不计或折合到集中质量上物理参数分布均匀的系统,也可近似地分解为有限个集中质量物理参数分布均匀的系统,也可近似地分解为有限个集中质量集中质量的数量取决于所要求的计算精度集中质量的数量取决于所要求的计算精度连续系统离散为有限自由度系统后,可以采用多自由度系统的连续系统离散为有限自由度系统后,可以采用多自由度系统的分析方法进行分析分析方法进行分析连续系统的振动连续系统的振动/集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法以等截面梁为例以等截面梁为例材料密度材料密度长度长度l抗弯刚度抗弯刚度EI将梁均分为四段将梁均分为四段并将每段的质量平均分到该段的两端并将每段的质量平均分到该段的两端支座处的集中质量不影响梁的弯曲支座处的集中质量不影响梁的弯曲连续梁可用三个集中质量代替:
连续梁可用三个集中质量代替:
质量矩阵:
质量矩阵:
梁质量:
梁质量:
横截面积度横截面积度S连续系统的振动连续系统的振动/集中质量法集中质量法l4/l4/l4/l4/l4/m4/m4/m4321mmmm1000100014mMSlm三个质点之间的梁段具有相同三个质点之间的梁段具有相同的弹性性质的弹性性质由材料力学,得柔度影响系数:
由材料力学,得柔度影响系数:
质量矩阵:
质量矩阵:
柔度矩阵:
柔度矩阵:
可以求解系统可以求解系统固有频率固有频率连续系统的振动连续系统的振动/集中质量法集中质量法l4/l4/l4/l4/l4/m4/m4/mEIlff7689333111000100014mMEIlffff76811332232112EIlf76816322EIlff768733113911711161171197683EIlF也可将连续梁离散为两自由度也可将连续梁离散为两自由度或单自由度系统或单自由度系统在求得质量矩阵和柔度矩阵在求得质量矩阵和柔度矩阵后,可以计算出相应的系统固后,可以计算出相应的系统固有频率有频率连续系统的振动连续系统的振动/集中质量法集中质量法l4/l4/l4/l4/l4/m4/m4/m3/l3/m3/m3/l3/l2/l2/m2/l连续梁三自由度系统两自由度系统单自由度系统固有频率精确解近似解误差近似解误差近似解误差0.03%0.73%6.3%0.1%3.3%0.7%
(1)随着自由度数目的增加,计算精度提高;()随着自由度数目的增加,计算精度提高;
(2)基频精度较)基频精度较高;(高;(3)频率阶数增高,误差增大)频率阶数增高,误差增大注:
在采用集中质量法时,计算精度与边界条件有关,例如将同一模型用于注:
在采用集中质量法时,计算精度与边界条件有关,例如将同一模型用于悬臂梁系统,计算精度明显下降悬臂梁系统,计算精度明显下降连续系统的振动连续系统的振动/集中质量法集中质量法SEIl2870.9123SEIl248.39SEIl283.88SEIl2867.9SEIl2859.9SEIl2798.9SEIl219.39SEIl218.38SEIl221.83教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法假设模态法假设模态法利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时,是将连续系统的在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时,是将连续系统的解写作全部模态函数的线性组合:
解写作全部模态函数的线性组合:
模态函数:
模态函数:
模态坐标:
模态坐标若取前若取前n个有限项作为近似解,则有:
个有限项作为近似解,则有:
应该是系统的模态函数,但实际中由于无法得到等原:
应该是系统的模态函数,但实际中由于无法得到等原因而代以假设模态,即满足部分或全部边界条件,但因而代以假设模态,即满足部分或全部边界条件,但不一定满足动力学方程的试函数族不一定满足动力学方程的试函数族:
与假设模态所对应的广义坐标:
与假设模态所对应的广义坐标动力学方程动力学方程瑞利法瑞利法里兹法里兹法连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法1)()(),(iiitqxtxy)(xi)(tqiniiitqxtxy1)()(),()(xi)(tqi假定模态函数已经假定模态函数已经确定确定梁的近似解可写为:
梁的近似解可写为:
以均质梁的横向振动为例以均质梁的横向振动为例动能:
动能:
质量阵质量阵质量阵为对称阵质量阵为对称阵连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法)(xiqniiitqxtxy1)()(),(nnR121,121,nTnRqqqqldxttxyST02),(21lTTdxS0)(21qqqMqT21nnlTRdxS0Myxl0ljijiijdxxxSmm0)()(假定模态函数已经假定模态函数已经确定确定梁的近似解可写为:
梁的近似解可写为:
以均质梁的横向振动为例以均质梁的横向振动为例势能:
势能:
刚度阵刚度阵刚度阵为对称阵刚度阵为对称阵连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法)(xiqniiitqxtxy1)()(),(nnR121,121,nTnRqqqqyxl0ldxxtxyEIV0222),(21lTTdxEI0)(21qqKqqT21nnlTRdxEI0KljijiijdxxxEIkk0)()(有激励存在的拉格朗日方程:
有激励存在的拉格朗日方程:
或或拉氏函数拉氏函数:
对应于广义坐标的广义:
对应于广义坐标的广义力力设沿梁作用有分布力设沿梁作用有分布力p(x,t)当梁有虚位移当梁有虚位移时,时,分布力的虚功:
分布力的虚功:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法qMqTT21nnlTRdxS0MKqqTV21nnlTRdxEI0KiiiiQqVqTqTdtdiiiQqLqLdtdVTLiQiqniiiqy1lydxtxptW0),()(lniiidxqtxp01),(niiliqdxxtxp10)(),(有激励存在的拉格朗日方程:
有激励存在的拉格朗日方程:
或或分布力的虚功:
分布力的虚功:
按照广义力的定义:
按照广义力的定义:
比较,得:
比较,得:
矩阵形式:
矩阵形式:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法qMqTT21nnlTRdxS0MKqqTV21nnlTRdxEI0KiiiiQqVqTqTdtdiiiQqLqLdtdVTLniiliqdxxtxptW10)(),()(niiiqQtW1)(liidxxtxptQ0)(),()(121)(,),(),()(nTnRtQtQtQtQ有激励存在的拉格朗日方程:
有激励存在的拉格朗日方程:
或或T、V、Q代入拉格朗日方程:
代入拉格朗日方程:
广义力:
广义力:
拉格朗日方程的矩阵形式:
拉格朗日方程的矩阵形式:
弹性体的受迫振动转换成了弹性体的受迫振动转换成了n自由度系统的强迫振动问自由度系统的强迫振动问题题连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法qMqTT21nnlTRdxS0MKqqTV21nnlTRdxEI0KiiiiQqVqTqTdtdiiiQqLqLdtdVTL121)(,),(),()(nTnRtQtQtQtQliidxxtxptQ0)(),()(QqqqVTTdtd)(tQKqqM梁的近似解:
梁的近似解:
动能:
动能:
质量阵质量阵系统的动能:
系统的动能:
质量阵:
质量阵:
如果梁上有集中质量如果梁上有集中质量m,对称阵对称阵连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法yxl0axmqniiitqxtxy1)()(),(ldxttxyST02),(21qMqT21nnlTRdxS0M202),(21),(21ttxymdxttxySTalqMMq)(2110TnnlTRdxS00MnnaTaRxxm)()(1M10MMM)()()()(0ajailjijiijxxmdxxxSmm系统的势能:
系统的势能:
如果梁上有卷簧如果梁上有卷簧k1和弹簧和弹簧k2,势能:
势能:
刚度阵刚度阵梁的近似解:
梁的近似解:
刚度阵:
刚度阵:
对称阵对称阵连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法ldxxtxyEIV0222),(21KqqT21nnlTRdxEI0Kqniiitqxtxy1)()(),(yxl0cx2kbx1k),(21),(21),(2122210222txykxtxykdxxtxyEIVcblqKKKq)(21210TnnlTRdxEI00KnnbbTRxxk)()(11KnnccTRxxk)()(22K210KKKK)()()()()()(210cjcibjbiljijiijxxkxxkdxxxEIkk例:
等截面简支梁例:
等截面简支梁梁中部有一集中质量梁中部有一集中质量Ma,大小等于梁的质量,大小等于梁的质量采用假设模态法,求:
采用假设模态法,求:
(1)梁的前三阶固有频率)梁的前三阶固有频率
(2)梁的稳态横向强迫振动)梁的稳态横向强迫振动Ma集中质量上有外力集中质量上有外力假设模态取为:
假设模态取为:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法yx2/l2/l0tPsin0tPsin0450SlEI),2,1(,sin)(ilxixi解:
解:
若对第三阶固有频率的精若对第三阶固有频率的精度要求不高,取度要求不高,取n3质量阵:
质量阵:
Ma模态函数阵:
模态函数阵:
刚度阵:
刚度阵:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法nnlTRdxS00MnnaTaRxxm)()(1M3020102032SlMyx2/l2/l0tPsin03sin,2sin,sin)(),(),(321lxlxlxxxxnnlTRdxEI00K81000160001234lEIK特征值问题:
特征值问题:
固有频率:
固有频率:
正则化特征向量:
正则化特征向量:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法3020102032SlM81000160001234lEIK0MK)(2416825.5SlEI424784.39SlEI439944.68SlEI0048.005742.02)1(Sl0102)2(Sl7746.005199.02)3(Sl梁的稳态响应:
梁的稳态响应:
外力写成分布力形式:
外力写成分布力形式:
Ma强迫振动方程:
强迫振动方程:
广义力:
广义力:
广义力列阵:
广义力列阵:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法3131sin)()()(),(iiiiilxitqtqxtxyyx2/l2/l0tPsin0)2()sin(),(0lxtPtxpliidxxtxptQ0)(),()()3,2,1(,2sinsinsin)2(sin)(000iitPdxlxilxtPtQli)(tQKqqMTtPt1,0,1sin)(0Q离散化强迫振动方程:
离散化强迫振动方程:
令:
令:
坐标变换:
坐标变换:
梁的稳态响应:
梁的稳态响应:
求得求得得得代入梁的稳态响应方程中得解代入梁的稳态响应方程中得解连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法)(tQKqqM101sin)(0tPtQ3020102032SlM81000160001234lEIK0048.005742.02)1(Sl0102)2(Sl7746.005199.02)3(Sl416825.5SlEI424784.39SlEI439944.68SlEI),(321diag,)3()2()1(q)(tTQ31sin)(),(iilxitqtxyq假设模态法假设模态法动力学方程动力学方程瑞利法瑞利法里兹法里兹法连续系统的瑞利法是基于能量法的假设模态法,是多自由度系连续系统的瑞利法是基于能量法的假设模态法,是多自由度系统的瑞利法的推广统的瑞利法的推广以梁的弯曲振动为例以梁的弯曲振动为例假设梁以某阶模态函数作频率为的自由振动:
假设梁以某阶模态函数作频率为的自由振动:
设系统为保守系统,机械能守恒设系统为保守系统,机械能守恒即即引入系统的参考动能:
引入系统的参考动能:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法txtxysin)(),(maxmaxVTldxttxyST02),(21ldxxST022max)(21ldxxtxyEIV0222),(21ldxxEIV02max)(21ldxxSTT022max*)(21定义瑞利商:
定义瑞利商:
参考动能:
参考动能:
当为准确的第当为准确的第i阶模态函数时,瑞利商即为相应的特阶模态函数时,瑞利商即为相应的特征值,即第征值,即第i阶固有频率阶固有频率若是试函数,它满足梁的几何边界条件,但不满足动若是试函数,它满足梁的几何边界条件,但不满足动力学方程,则瑞利商是一个依赖于的标量力学方程,则瑞利商是一个依赖于的标量试函数越接近某阶真实模态,瑞利商越接近该阶固有试函数越接近某阶真实模态,瑞利商越接近该阶固有频率频率与多自由度系统相同,瑞利商大于基频与多自由度系统相同,瑞利商大于基频实际计算时可选择梁的静变形函数,或选择条件相近的梁的实际计算时可选择梁的静变形函数,或选择条件相近的梁的精确解作为试函数精确解作为试函数连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法maxmaxVTldxxST022max)(21ldxxEIV02max)(21ldxxSTT022max*)(212*max)(TVR)(x2i)(x)(x20)(R)(x若梁上存在集中质量和弹性支撑若梁上存在集中质量和弹性支撑则最大势能和参考动能相应改为:
则最大势能和参考动能相应改为:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法maxmaxVTldxxST022max)(21ldxxEIV02max)(21ldxxSTT022max*)(21*max)(TVRyxl0cx2kbx1kaxm222102max)()()(21cblxkxkdxxEIV)()(212022max*alxmdxxSTT例:
等截面悬臂梁例:
等截面悬臂梁端部有一集中质量端部有一集中质量用瑞利法估计基频用瑞利法估计基频解:
解:
选择等截面悬臂梁在均布载荷下的静挠度曲线作为试函数:
选择等截面悬臂梁在均布载荷下的静挠度曲线作为试函数:
选择端部集中质量作用下的静挠度曲线作为试函数:
选择端部集中质量作用下的静挠度曲线作为试函数:
因集中质量大于梁的分布质量,选用后一种试函数好因集中质量大于梁的分布质量,选用后一种试函数好连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法yx0lm)64()(22341xllxxAxSlm2)()(21202*alxmdxxST*max)(TVR411908.1SlEI)3()(322xlxAx411584.1SlEI假设模态法假设模态法动力学方程动力学方程瑞利法瑞利法里兹法里兹法里兹法是瑞利法的改进里兹法是瑞利法的改进瑞利法使用单个试函数,而里兹法使用若干个独立的试函数瑞利法使用单个试函数,而里兹法使用若干个独立的试函数的线性组合:
的线性组合:
满足几何边界条件满足几何边界条件里兹基函数里兹基函数待定系数待定系数都是都是ai的函数的函数瑞利商:
瑞利商:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法niiixax1)()()1(niildxxST022max)(21ldxxEIV02max)(21ldxxSTT022max*)(21*max)(TVR)1(niai),(21maxnaaaT),(21maxnaaaVRTVT、*maxmax),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR瑞利商:
瑞利商:
选择系数选择系数ai(i1,2,n),使得瑞利商取驻值:
),使得瑞利商取驻值:
得到得到ai的齐次代数方程组,其非零解条件可用来计算系统的齐次代数方程组,其非零解条件可用来计算系统的固有频率的固有频率考虑梁的弯曲振动,其参考动能为:
考虑梁的弯曲振动,其参考动能为:
定义:
定义:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法ldxxST02*)(21lnjjjniiidxxaxaS011)()(21),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR),2,1(,0)(niaRininjjiijaam1121),2,1,(,)()(210njidxxxSmljiijnnijRmM1niRaaaMa21T梁的弯曲振动的参考动能:
梁的弯曲振动的参考动能:
若梁上存在集中质量若梁上存在集中质量连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法ldxxST02*)(21),2,1,(,)()(210njidxxxSmljiijnnijRmM1niRaaaMa21Tyxl0cx2kbx1kaxm)()(21202*alxmdxxSTaMMa)(2110TaMa21T),2,1,(),()()()(210njixxmdxxxSmmajailjijiij梁的弯曲振动,其最大势能:
梁的弯曲振动,其最大势能:
定义:
定义:
固有频率的近似值固有频率的近似值连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR),2,1(,0)(niaRininjjiijaamT11*21),2,1,(,)()(210njidxxxSmljiijldxxEIV02max)(21lnjjjniiidxxaxaEI011)()(21ninjjiijaak1121),2,1,(,)()(210njidxxxEIkljiijnnijRkKaKa21TaMaaKa)(TTR2梁的弯曲振动最大势能:
梁的弯曲振动最大势能:
若梁上存在弹性支撑若梁上存在弹性支撑连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法ldxxEIV02max)(21),2,1,(,)()(210njidxxxEIkljiijnnijRkKaKa21Tyxl0cx2kbx1kaxm222102max)()()(21cblxkxkdxxEIVaKKKa)(21210TaKa21T)()()()()()(210cjcibjbiljijiijxxkxxkdxxxEIkk得特征值问题:
得特征值问题:
可求得可求得n个特征值和个特征值和n特征向量特征向量里兹法改善了瑞利法对基频的估计,还可计算高阶固有频率里兹法改善了瑞利法对基频的估计,还可计算高阶固有频率n愈大,计算精度愈高愈大,计算精度愈高计算精度也与基函数的选择有关,通常采计算精度也与基函数的选择有关,通常采用幂函数、三角函数、贝塞尔函数或条件相近的有精确用幂函数、三角函数、贝塞尔函数或条件相近的有精确解的梁的模态函数作为基函数解的梁的模态函数作为基函数第第i阶模态函阶模态函数:
数:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法aMaaKa)(TTR2),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR),2,1(,0)(niaRi0aMK)(22i)(ia),2,1(niiTiniiiaaa,)()
(2)
(1)(anjjijixax1)()()()(例:
等截面简支梁例:
等截面简支梁梁中部有一集中质量梁中部有一集中质量Ma,大小等于梁的质量,大小等于梁的质量采用里兹法,求:
梁的模态采用里兹法,求:
梁的模态函数近似解函数近似解Ma选取无集中质量时的梁的模态函数作为里兹基函数:
选取无集中质量时的梁的模态函数作为里兹基函数:
解:
解:
基函数满足自然边界条件(两端挠度和弯矩为零)基函数满足自然边界条件(两端挠度和弯矩为零)连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法yx2/l2/l0),2,1(,sin)(ilxixi)0(0)(,0)(lorxxxii离散化强迫振动方程:
离散化强迫振动方程:
模态试函数:
模态试函数:
若对第三阶固有频率的精度要求不高,取若对第三阶固有频率的精度要求不高,取n3连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法)(tQKqqM101sin)(0tPtQ3020102032SlM81000160001234lEIK0048.005742.02)1(Sla0102)2(Sla7746.005199.02)3(Sla416825.5SlEI424784.39SlEI439944.68SlEI3131sin)()(iiiiilxiatax模态试函数:
模态试函数:
梁的模态函数近似解:
梁的模态函数近似解:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法0048.005742.02)1(Sla0102)2(Sla7746.005199.02)3(Sla3131sin)()(iiiiilxiatax)3sin0048.0sin5742.0
(2)()1(lxlxSlxlxSlx2sin2)()2()3sin7746.0sin5199.0
(2)()3(lxlxSlx例:
楔形悬臂梁例:
楔形悬臂梁单位厚度单位厚度截面变化截面变化为根部截面积为根部截面积用里兹法求基频用里兹法求基频解:
解:
截面对中性轴的惯性矩:
截面对中性轴的惯性矩:
根部截面对中性轴的惯性矩根部截面对中性轴的惯性矩取基函数:
取基函数:
可以验证,基函数满足所有位移边界条件和力边界条件可以验证,基函数满足所有位移边界条件和力边界条件连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法lxAxA0)(bA20lxbby03303)2(121)(lxIlbxxI30)2(121bI),2,1(,)()1()(12nilxlxxii单位厚度单位厚度截面变化截面变化为根部截面积为根部截面积截面对中性轴的惯性矩:
截面对中性轴的惯性矩:
根部截面对中性轴的惯性矩根部截面对中性轴的惯性矩基函数:
基函数:
取取n2质量阵:
质量阵:
刚度阵:
刚度阵:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法lxAxA0)(bA20lxbby03303)2(121)(lxIlbxxI30)2(121bI),2,1(,)()1()(12nilxlxxiiljiijdxxxEIk0)()(21ljiijdxxxSm0)()(212801105110513010lAM52525210lAK由:
由:
若取若取n1:
精确解精确解:
连续系统的振动连续系统的振动/假设模态法假设模态法2801105110513010lAM52525210lAK02MK4001319.5lAEI4001477.5lAEI4001315.5lAEI教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态
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- 连续 系统 振动 集中 质量法 假设 模态法 综合法
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