北京市西城区学探诊 人教版八年级数学上册第12章轴对称.docx
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北京市西城区学探诊人教版八年级数学上册第12章轴对称
北京市西城区学探诊人教版八年级数学上册第12章轴对称
测试1轴对称
学习要求
1.理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念;弄清它们之间的区别与联系;能识别轴对称图形.
2.理解图形成轴对称的性质;会画一些简单的关于某直线对称的图形.
一、填空题
1.如果一个图形沿着一条直线_____;直线两旁的部分能够_____;那么这个图形叫做_____;这条直线叫做它的_____;这时;我们也就说这个图形关于这条直线(或轴)_____.
2.把一个图形沿着某一条直线折叠;如果它能够与_____重合;那么这两图形叫做关于_____;这条直线叫做_____;折后重合的点是_____;又叫做_____.
3.成轴对称的两个图形的主要性质是
(1)成轴对称的两个图形是_____;
(2)如果两个图形关于某条直线对称;那么对称轴是任何一对_____的垂直平分线.
4.轴对称图形的对称轴是_____.
5.
(1)角是轴对称图形;它的对称轴是_____;
(2)线段是轴对称图形;它的对称轴是_____;
(3)圆是轴对称图形;它的对称轴是_____.
二、选择题
6.在图1-1中;是轴对称图形的是()
图1-1
7.在图1-2的几何图形中;一定是轴对称图形的有()
图1-2
A.2个B.3个C.4个D.5个
8.如图1-3;ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称;则∠B的度数为()
图1-3
A.30°B.50°C.90°D.100°
9.将一个正方形纸片依次按图1-4a;b的方式对折;然后沿图c中的虚线裁剪;成图d样式;将纸展开铺平;所得到的图形是图1-5中的()
图1-4
图1-5
10.如图1-6;将矩形纸片ABCD(图①)按如下步骤操作:
(1)以过点A的直线为折痕折叠纸片;使点B恰好落在AD边上;折痕与BC边交于点E(如图②);
(2)以过点E的直线为折痕折叠纸片;使点A落在BC边上;折痕EF交AD边于点F(如图③);(3)将纸片收展平;那么∠AFE的度数为()
图1-6
A.60°B.67.5°C.72°D.75°
综合、运用、诊断
一、解答题
11.请分别画出图1-7中各图的对称轴.
(1)正方形
(2)正三角形(3)相交的两个圆
图1-7
12.如图1-8;ΔABC中;AB=BC;ΔABC沿DE折叠后;点A落在BC边上的A'处;若点D为AB边的中点;∠A=70°;求∠BDA'的度数.
图1-8
13.在图1-9中你能否将已知的正方形按如下要求分割成四部分;
(1)分割后的图形是轴对称图形;
(2)这四个部分图形的形状和大小都相同.
请至少给出四种不同分割的设计方案;并画出示意图.
图1-9
14.在图1-10这一组图中找出它们所蕴含的内在规律;然后在横线的空白处设计一个恰当的图形.
图1-10
拓展、探究、思考
15.已知;如图1-11;在直角坐标系中;点A在y轴上;BC⊥x轴于点C;点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上;点E与点O关于直线BC对称;∠OBC=35°;求∠OED的度数.
图1-11
测试2线段的垂直平分线
学习要求
1.理解线段的垂直平分线的概念;掌握线段的垂直平分线的性质及判定;会画已知线段的垂直平分线.
2.能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题.
课堂学习检测
一、填空题
1.经过_____并且_____的_____叫做线段的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线有如下性质:
线段的垂直平分线上的_____与这条线段_____的_____相等.
3.线段的垂直平分线的判定;由于与一条线段两个端点距离相等的点在_____;并且两点确定_____;所以;如果两点M、N分别与线段AB两个端点的距离相等;那么直线MN是_____.
4.完成下列各命题:
(1)线段垂直平分线上的点;与这条线段的_____;
(2)与一条线段两个端点距离相等的点;在_____;
(3)不在线段垂直平分线上的点;与这条线段的_____;
(4)与一条线段两个端点距离不相等的点;_____;
(5)综上所述;线段的垂直平分线是_____的集合.
5.如图2-1;若P是线段AB的垂直平分线上的任意一点;则
(1)ΔPAC≌_____;
(2)PA=_____;
(3)∠APC=_____;(4)∠A=_____.
图2-1
6.ΔABC中;若AB-AC=2cm;BC的垂直平分线交AB于D点;且ΔACD的周长为14cm;则AB=_____;AC_____.
7.如图2-2;ΔABC中;AB=AC;AB的垂直平分线交AC于P点.
(1)若∠A=35°;则∠BPC=_____;
(2)若AB=5cm;BC=3cm;则ΔPBC的周长=_____.
图2-2
综合、运用、诊断
一、解答题
8.已知:
如图2-3;线段AB.
求作:
线段AB的垂直平分线MN.
作法:
图2-3
9.已知:
如图2-4;∠ABC及两点M、N.
求作:
点P;使得PM=PN;且P点到∠ABC两边的距离相等.
作法:
图2-4
拓展、探究、思考
10.已知点A在直线l外;点P为直线l上的一个动点;探究是否存在一个定点B;当点P在直线l上运动时;点P与A、B两点的距离总相等.如果存在;请作出定点B;若不存在;请说明理由.
图2-5
11.如图2-6;AD为∠BAC的平分线;DE⊥AB于E;DF⊥AC于F;那么点E、F是否关于AD对称?
若对称;请说明理由.
图2-6
测试3轴对称变换
学习要求
1.理解轴对称变换;能作出已知图形关于某条直线的对称图形.
2.能利用轴对称变换;设计一些图案;解决简单的实际问题.
一、填空题
1.由一个_____得到它的_____叫做轴对称变换.
2.如果由一个平面图形得到它关于某一条直线l的对称图形;那么;
(1)这个图形与原图形的_____完全一样;
(2)新图形上的每一点;都是_____;
(3)连接任意一对对应点的线段被_____.
3.由于几何图形都可以看成是由点组成的;因此;要作一个平面图形的轴对称图形;可归结为作该图形上的这些点关于对称轴的______.
二、解答题
4.试分别作出已知图形关于给定直线l的对称图形.
(1)
图3-1
(2)
图3-2
(3)
图3-3
5.如图3-4所示;已知平行四边形ABCD及对角线BD;求作ΔBCD关于直线BD的对称图形.(不要求写作法)
图3-4
6.如图3-5所示;已知长方形纸片ABCD中;沿着直线EF折叠;求作四边形EFCD关于直线EF的对称图形.(不要求写作法)
图3-5
7.为了美化环境;在一块正方形空地上分别种植不同的花草;现将这块空地按下列要求分成四块:
(1)分割后的整个图形必须是轴对称图形;
(2)四块图形形状相同;
(3)四块图形面积相等;现已有两种不同的分法:
①分别作两条对角线(图①);②过一条边的四等分点作该边的垂线段(图②);(图②中的两个图形的分割看作同一种方法).请你按照上述三个要求;分别在图③的三个正方形中;给出另外三种不同的分割方法.(只画图;不写作法)
图3-6
综合、运用、诊断
8.已知:
如图3-7;A、B两点在直线l的同侧;点A'与A关于直线l对称;连接A'B交l于P点;若A'B=a.
(1)求AP+PB;
(2)若点M是直线l上异于P点的任意一点;求证:
AM+MB>AP+PB.
图3-7
9.已知:
A、B两点在直线l的同侧;试分别画出符合条件的点M.
(1)如图3-8;在l上求作一点M;使得|AM-BM|最小;
作法:
图3-8
(2)如图3-9;在l上求作一点M;使得|AM-BM|最大;
作法:
图3-9
(3)如图3-10;在l上求作一点M;使得AM+BM最小.
图3-10
拓展、探究、思考
10.
(1)如图3-11;点A、B、C在直线l的同侧;在直线l上;求作一点P;使得四边形APBC的周长最小;
图3-11
(2)如图3-12;已知线段a;点A、B在直线l的同侧;在直线l上;求作两点P、Q(点P在点Q的左侧)且PQ=a;四边形APQB的周长最小.
图3-12
11.
(1)已知:
如图3-13;点M在锐角∠AOB的内部;在OA边上求作一点P;在OB边上求作一点Q;使得ΔPMQ的周长最小;
图3-13
(2)已知:
如图3-14;点M在锐角∠AOB的内部;在OB边上求作一点P;使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小.
图3-14
测试4用坐标表示轴对称
学习要求
1.运用所学的轴对称知识;认识和掌握在平面直角坐标系中;与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律;进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形.
2.能运用轴对称的性质;解决简单的数学问题或实际问题;提高分析问题和解决问题的能力.
课堂学习检测
一、解答题
1.按要求分别写出各对应点的坐标:
已知点
A(2;4)
B(-1;5)
C(-3;-7)
D(6;-8)
E(9;0)
F(0;-2)
关于y轴的对称点
A'()
B'()
C'()
D'()
E'()
F'()
关于x轴的对称点
A''()
B''()
C''()
D''()
E''()
F''()
2.已知:
线段AB;并且A、B两点的坐标分别为(-2;1)和(2;3).
(1)在图4-1中分别画出线段AB关于x轴和y轴的对称线段A1B1及A2B2;并写出相应端点的坐标.
图4-1
(2)在图4-2中分别画出线段AB关于直线x=-1和直线y=4的对称线段A3B3及A4B4;并写出相应端点的坐标.
图4-2
3.如图4-3;已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1;1);B(5;1);C(5;4);D(2;4);分别写出四边形ABCD关于x轴、y轴对称的四边形A1B1C1D1和A2B2C2D2的顶点坐标.
图4-3
综合、运用、诊断
4.如图4-4;ΔABC中;点A的坐标为(0;1);点C的坐标为(4;3);点B的坐标为(3;1);如果要使ΔABD与ΔABC全等;求点D的坐标.
图4-4
拓展、探究、思考
5.如图4-5;在平面直角坐标系中;直线l是第一、三象限的角平分线.
图4-5
实验与探究:
(1)由图观察易知A(0;2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2;0);请在图中分别标明B(5;3)、C(-2;5)关于直线l的对称点B'、C'的位置;并写出它们的坐标:
B'_____、C'_____;
归纳与发现:
(2)结合图形观察以上三组点的坐标;你会发现:
坐标平面内任一点P(a;b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为_____(不必证明);
运用与拓广:
(3)已知两点D(1;-3)、E(-1;-4);试在直线l上确定一点Q;使点Q到D、E两点的距离之和最小;并求出Q点坐标.
测试5等腰三角形的性质
学习要求
掌握等腰三角形的性质;并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.
课堂学习检测
一、填空题
1._____的_____叫做等腰三角形.
2.
(1)等腰三角形的性质1是______________________________________________.
(2)等腰三角形的性质2是______________________________________________.
(3)等腰三角形的对称性是_____;它的对称轴是_____.
图5-1
3.如图5-1;根据已知条件;填写由此得出的结论和理由.
(1)∵ΔABC中;AB=AC;
∴∠B=______.()
(2)∵ΔABC中;AB=AC;∠1=∠2;
∴AD垂直平分______.()
(3)∵ΔABC中;AB=AC;AD⊥BC;
∴BD=______.()
(4)∵ΔABC中;AB=AC;BD=DC;
∴AD⊥______.()
4.等腰三角形中;若底角是65°;则顶角的度数是_____.
5.等腰三角形的周长为10cm;一边长为3cm;则其他两边长分别为_____.
6.等腰三角形一个角为70°;则其他两个角分别是_____.
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°;则等腰三角形的底角等于_____.
二、选择题
8.等腰直角三角形的底边长为5cm;则它的面积是()
A.25cm2B.12.5cm2
C.10cm2D.6.25cm2
9.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm;则它的周长是()
A.63cmB.51cm
C.63cm和51cmD.以上都不正确
10.△ABC中;AB=AC;D是AC上一点;且AD=BD=BC;则∠A等于()
A.45°B.36°C.90°D.135°
综合、运用、诊断
一、解答题
11.已知:
如图5-2;ΔABC中;AB=AC;D、E在BC边上;且AD=AE.
求证:
BD=CE.
图5-2
12.已知:
如图5-3;D、E分别为AB、AC上的点;AC=BC=BD;AD=AE;DE=CE;
求∠B的度数.
图5-3
13.已知:
如图5-4;ΔABC中;AB=AC;D是AB上一点;延长CA至E;使AE=AD.
试确定ED与BC的位置关系;并证明你的结论.
图5-4
拓展、探究、思考
14.已知:
如图5-5;RtΔABC中;∠BAC=90°;AB=AC;D是BC的中点;AE=BF.
求证:
(1)DE=DF;
(2)ΔDEF为等腰直角三角形.
图5-5
15.在平面直角坐标系中;点P(2;3);Q(3;2);请在x轴和y轴上分别找到M点和N点;使四边形PQMN周长最小.
(1)作出M点和N点.
(2)求出M点和N点的坐标.
图5-6
测试6等腰三角形的判定
学习要求
掌握等腰三角形的判定定理.
课堂学习检测
一、填空题
1.等腰三角形的判定定理是_________________________________________________.
2.ΔABC中;∠B=50°;∠A=80°;AB=5cm;则AC=______.
3.如图6-1;AE∥BC;∠1=∠2;若AB=4cm;则AC=____________.
4.如图6-2;∠A=∠B;∠C+∠CDE=180°;若DE=2cm;则AD=____________.
图6-1图6-2图6-3图6-4
5.如图6-3;四边形ABCD中;AB=AD;∠B=∠D;若CD=1.8cm;则BC=______.
6.如图6-4;△ABC中;BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB;OM∥AB;ON∥AC;BC=10cm;则ΔOMN的周长=______.
7.ΔABC中;CD平分∠ACB;DE∥BC交AC于E;DE=7cm;AE=5cm;则AC=______.
8.ΔABC中;AB=AC;BD是角平分线;若∠A=36°;则图中有______个等腰三角形.
9.判断下列命题的真假:
(1)有两个内角分别是70°、40°的三角形是等腰三角形.()
(2)平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形.()
(3)有两个内角不等的三角形不是等腰三角形.()
(4)如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等;那么这个三角形是等腰三角形.()
综合、运用、诊断
一、解答题
10.已知:
如图6-5;ΔABC中;BC边上有D、E两点;∠1=∠2;∠3=∠4.
求证:
△ABC是等腰三角形.
图6-5
11.已知:
如图6-6;ΔABC中;AB=AC;E在CA的延长线上;ED⊥BC.
求证:
AE=AF.
图6-6
12.已知:
如图6-7;ΔABC中;∠ACB=90°;CD⊥AB于D;BF平分∠ABC交CD于E;交AC于F.
求证:
CE=CF.
图6-7
13.如图6-8;在△ABC中;∠BAC=60°;∠ACB=40°;P、Q分别在BC、CA上;并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线;
求证:
BQ+AQ=AB+BP.
图6-8
拓展、探究、思考
14.如图6-9;若A、B是平面上的定点;在平面上找一点C;使ΔABC构成等腰直角三角形;问这样的C点有几个?
并在图6-9中画出C点的位置.
图6-9
15.如图6-10;对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC;请设计出三种不同的分法;将ΔABC分割为三个三角形;并且使每个三角形都是等腰三角形.
图6-10
测试7等腰三角形的判定与性质
学习要求
熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.
课堂学习检测
一、填空题
1.如果一个三角形的两条高线相等(如图7-1);那么这个三角形一定是______.
图7-1
2.如图7-2;在ΔABC中;高AD、BE交于H点;若BH=AC;则∠ABC=______.
图7-2
3.如图7-3;ΔABC中;AB=AC;AD=BD;AC=CD;则∠BAC=______.
图7-3
4.如图7-4;在ΔABC中;∠ABC=120°;点D、E分别在AC和AB上;且AE=ED=DB=BC;则∠A的度数为______°.
图7-4
5.如图7-5;ΔABC是等腰直角三角形;BD平分∠ABC;DE⊥BC于点E;且BC=10cm;则△DCE的周长为______cm.
图7-5
二、选择题
6.△ABC中三边为a、b、c;满足关系式(a-b)(b-c)(c-a)=______图7-50;则这个三角形一定为()
A.等边三角形B.等腰三角形
C.等腰钝角三角形D.等腰直角三角形
7.若一个三角形是轴对称图形;则这个三角形一定是()
A.等边三角形B.不等边三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
8.如图7-6;ΔABC中;AB=AC;∠BAC=108°;若AD、AE三等分∠BAC;则图中等腰三角形有()
A.4个B.5个C.6个D.7个
图7-6图7-7
9.等腰三角形两边a、b满足|a-b+2|+(2a+3b-11)2=0;则此三角形的周长是()
A.7B.5C.8D.7或5
10.如图7-7;ΔABC中;AB=AC;BE=CD;BD=CF;则∠EDF=()
A.2∠AB.90°-2∠A
C.90°-∠AD.
三、解答题
11.已知:
如图7-8;AD是∠BAC的平分线;∠B=∠EAC;EF⊥AD于F.
求证:
EF平分∠AEB.
图7-8
12.已知:
如图7-9;在ΔABC中;CE是角平分线;EG∥BC;交AC边于F;交∠ACB的外角(∠ACD)的平分线于G;探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论.
图7-9
13.如图7-10;过线段AB的两个端点作射线AM;BN;使AM∥BN;请按以下步骤画图并回答.
(1)画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E;∠AEB是什么角?
(2)过点E任作一线段交AM于点D;交BN于点C.观察线段DE、CE;有什么发现?
请证明你的猜想.
(3)试猜想AD;BC与AB有什么数量关系?
图7-10
14.已知:
如图7-11;ΔABC中;AB=AC;∠A=100°;BE平分∠B交AC于E.
(1)求证:
BC=AE+BE;
(2)探究:
若∠A=108°;那么BC等于哪两条线段长的和呢?
试证明之.
图7-11
测试8等边三角形
学习要求
掌握等边三角形的性质和判定.
课堂学习检测
一、填空题
1._____的_____叫做等边三角形.
2.等边三角形除一般的等腰三角形的性质外;它的特有性质主要有:
(1)边的性质:
_____;
(2)角的性质:
_____;
(3)对称性:
等边三角形是_____图形;它有_____对称轴.
3.等边三角形的判定方法:
(1)三条边_____的_____是等边三角形;
(2)三个角_____的_____是等边三角形;
(3)_____的等腰三角形是等边三角形.
4.含30°角的直角三角形的一个主要性质是______.
5.判断下列命题的真假:
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形.()
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形.()
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形.()
④三个外角都相等的三角形是等边三角形.()
6.已知:
如图8-1;ΔABC是等边三角形;AE⊥BC于E;AD⊥CD于D;若AB∥CD;则图中60°的角有_____个.
图8-1
7.如图8-2;B、C、D在一直线上;ΔABC、ΔADE是等边三角形;若CE=15cm;CD=6cm;则AC=_____;∠ECD=_____.
图8-2
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