抛物线知识点归纳总结与金典习题.docx
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抛物线知识点归纳总结与金典习题
抛物线
抛物线
y22px
(p0)l£K
y
(1
22px
P0)丄
x
(y
22py
P0)
L#
x2
(p
yj
—-O
2py
)0)
l
*
7
"0x
0
x
l
7^°
F
w
定义
平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线1叫做抛物线的准线。
{M||MF=点M到直线l的距离}
范围
x0,yR
x0,yR
xR,y0
xR,y0
对称性
关于x轴对称
关于y轴对称
隹占
八、、八、、
(和)
(汕
阴)
(O'自
焦点在对称轴上
顶点
0(0,0)
离心率
e=1
准线方程
x扌
x子
1y子1
y1
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
_P
2
焦点到准线的距离
P
焦半径
A(xi,yi)
AFx1~
2
AFx1卫
2
AF%i
AFy士
焦点弦长
|AB
(XiX2)p
(X1X2)p
(y1y2)p
(y1y2)p
焦点弦
|ab|的几
条性质
A%yi)
Bgy2)
1
o
y
A>X1,y11
/AX
^Bx2,y2
以AB为直径的圆必与准线丨相切
若AB的倾斜角为,则AB二2-
sin
若AB的倾斜角为,贝U|AB仝一
cos
2
P2
XM亍y$2p
4
11AFBFAB2
AFBFAF?
BFAF?
BFp
切线方程
y°yp(xx。
)
y°yp(xXo)
XoXp(yyo)
XoXp(yyo)
1.直线与抛物线的位置关系
2.
直线•一一寸㈠,抛物线
y二&十B
『=2p其消y得.42(妙-歹)工+沪二。
当k=0时,直线丨与抛物线的对称轴平行,有一个交点;当kM0时,
△>0,直线l与抛物线相交,两个不同交点;
△=0,直线l与抛物线相切,一个切点;
△v0,直线l与抛物线相离,无公共点。
(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗(不一定)
6.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线I:
ykxb抛物线-'-八,(p0)
①联立方程法:
ykxb
y22px
k2x22(kbp)xb20
设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有0,以及x1x2,x.jx2,还可进一步求出
yiy2kxibkx2bk(xiX2)2b
22
y-iy2(kx1b)(kx2b)kx1x2kb(x1x2)b
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如a.相交弦AB的弦长
ABV
1k2
■
XiX2
斗1kv(x1x2)4x1x2Vik||
同
({-
或ABJ
1丄
1k2
yiy2
11t2■'2N
V17TV(yiy2)4yiy2心k-j—j-
Vka
b.中点M(Xo,y°),X。
'住,yo/比
22
②点差法:
设交点坐标为A(xi,yi),B(X2,y2),代入抛物线方程,得
22y-2pxiy22px2
将两式相减,可得
(yiy2)(yiy?
)2p(x-x?
)
yi
y2
2p
Xi
X2
yiy2
b.在涉及中点轨迹问题时,设线段AB的中点为M(X。
yo),
yi
y2
2p
2p
p
Xi
X2
yiy2
2yo
yo
即k
_p
AB
yo
同理,对于抛物线x22py(p0),若直线I与抛物线相交于A、B两点,点
M(xo,y。
)是弦AB的中点,则有kAB
X1X22X0Xo
2p2pp
(注意能用这个公式的条件:
1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)
、抛物线的定义及其应用
例1、设P是抛物线y2=4x上的一个动点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=—1的距离之和的最小值;⑵若B(3,2),求|PB+|PF的最小值.
x2=8y上一点,F为抛物线CC的准线相交,则y0的取值范
例2、(2011•山东高考)设M(x0,y0)为抛物线C:
的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线
围是()
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为I,
B两点,交准线于C点,点A在x轴上方,AK丄I,垂足为且|AF|=4,则AAKF的面积是
B.33C.43
A.4
经过F的直线与抛物线交于A、
K,若|BC=2|BF|,
D.8
A、B,交其准线I于
例4、过抛物线y2^2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点
点C,若|BC=2|BF,且|AF|=3则此抛物线的方程为
A.y2=fx
B.9x
Cy2=|x
三、抛物线的综合问题
斜率为2.2的直线交
例5、(2011•江西高考)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,抛物线于A(X1,y1),B(x2,y2)(X1 (1)求该抛物线的方程; uuu uuuuuu (2)0为坐标原点,c为抛物线上一点,若OC二OA+入OB,求入的 值.例6(2011•湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线h,12,设11与轨迹C相交于点A,B, uuuuuu 12与轨迹C相交于点D,E,求ADEB的最小值 例7、已知点M(1,y)在抛物线C: y2=2px(p>0)上,M点到抛物线C的焦点F的 1 距离为2,直线I: y=—2x+b与抛物线C交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程; ⑵若以AB为直径的圆与x轴相切,求该圆的方程. 练习题 1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点,贝Ua等于() A.1B.4C.8D.16 2.抛物线y=—4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是() 1715 A.-亦B•―能 3. (2011•辽宁高考)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF=3,则线段AB的中点到y轴的距离为() B.1 4.已知抛物线y2二2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 () A.相离B•相交C•相切D.不确定 5.(2012•宜宾检测)已知F为抛物线严8x的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,贝U||FA-|FBI的值等于 ()A.4.2B.8C.82D.16 6.在y=2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P 的坐标是() A.(-2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(-1,2) 7.设抛物线y2二8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAIl,A为垂足.如 果直线AF的斜率为—雨,那么|PF=( A.43B.8C.83 8.(2011•陕西咼考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为方程是() ) D.16 x=—2,则抛物线的 A.y2=—8xB.y2=8xC.y2=—4x D.y2=4x 9.(2012•永州模拟)以抛物线x2^16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的 圆的方程为. 10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点Q(-3,m)到焦点 的距离是5,则抛物线的方程为. 11.已知抛物线y=4x与直线2x+y—4=0相交于A、B两点,抛物线的焦点为 uuuuuu F,那么|FA|+|FB|=. 12.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于 13.根据下列条件求抛物线的标准方程: ⑴抛物线的焦点是双曲线16x2—=144的左顶点; ⑵过点P(2,—4). 14.已知点A(—1,0),B(1,—1),抛物线C: y2=4x,O为坐标原点,过点A的 uuuu动直线I交抛物线C于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM uuun 与OP的夹角为4,求△POM的面积. 一、抛物线的定义及其应用 例1、⑴如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=—1. 由抛物线的定义知: 点P到直线x=—1的距离等于点P到焦点F的距离. 于是,问题转化为: 在曲线上求一点P,使点P到点A—1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连结AF交曲线于P点,则所求的最小值为|AF|,即为5. (2)如图,自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|・则有 |PB+IPF>|P1B|+|P1Q|=IBQ=4.即|PB|+|PF|的最小值为4. 例2、解析: 圆心到抛物线准线的距离为p,即p=4,根据已知只要|FM|>4即可.根据抛物线定|FM|=y0+2由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,+x). 二、抛物线的标准方程和几何性质 例3、设点A(X1,y1),其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线,垂足为B1.则有 |BB|1 IBF=|BB1|;又|CB=2|FB,因此有|CB=2|BB1|,cos/CB^^pB^^=^,Z nnp—,n CBB=亍.即直线AB与x轴的夹角为y.又|AF|=|AK|=X1+4,因此y1=4sin§ uuu 设OC二(X3,y3)=(1,—2羽)+入(4,4/2)=(4入+1,4羽入一2曲. 又y2=8x3,即[22(2X—1)]2=8(4X+1). 即(2X—1)2=4X+1.解得X=0,或X=2. 例6 (1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有x—12+y2—|x|=1.化简得y2=2x +2|x|.当x>0时,y2=4x;当x<0时,y=0. 所以,动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x>0)和y=0(x<0). ⑵由题意知,直线11的斜率存在且不为0,设为k,则11的方程为y=k(x—1).由 y=kx—1 2,得Qx2—(2k2+4)x+k2=0.(7分) y2=4x 4设A(X1,y1),B(x2,y2),贝UX1,x是上述方程的两个实根,于是x1+X2= X1X2=1.(8分) 1 因为11丄12,所以l2的斜率为一k.设D(X3,y3),E(X4,y4),则同理可得 X3+X4=2+4k2,X3X4=1. =(X1+1)(X2+1)+(X3+1)•(X4+1) =X1X2+(X1+X2)+1+X3X4+(X3+X4)+1(11分) 41/1 =1+(2+k2)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+^2)>8+4X2k2•k2=16. uuuuuu 当且仅当k2=右,即卩k=±1时,ADEB取最小值16. 例7、 (1)抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=—p,由抛物线定义和已知条件可知 |MF|=1—(—2)=1+2=2,解得p=2,故所求抛物线C的方程为y2=4x. 1 y=一ox+b, (2)联立2消去x并化简整理得y2+8y—8b=0. y2=4x 依题意应有△=64+32b>0,解得b>—2.设A(X1,y1),B(x2,y2),贝Uy1+y2 X1+X2y1+y2 =—8,y1y2=—8b,设圆心Q(x0,y°),则应用X0=2—,y0=2=—4. 因为以AB为直径的圆与x轴相切,所以圆的半径为r=|yo|二4. 又|AB|=xi—X22+yi—y22=1+4yi—y22= 5[yi+y? 2—4yiy2]=564+32b 8所以|AB|=2r=p564+32b=8,解得b=—5. 48所以xi+x2=2b—2yi+2b—2y2=4b+16=亏, 则圆心Q的坐标为(24,—4).故所求圆的方程为(x—24)2+(y+4)2=16. 练习题: 1.解析: 根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0,中),双曲线的上焦点为(0,2),依 a 题意则有4=2解得a=8. 2.解析: 抛物线方程可化为x2=—4,其准线方程为y=£•设M(xo,yo),则由 115 抛物线的定义,可知16—y0=1y0=— 3.解析: 根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为: 11315 2(|AF+IBF)—4=2-4=4 4.解析: 设抛物线焦点弦为AB,中点为M,准线I,A1、B1分别为A、B在直线 1 l上的射影,则|AA1|=|AF|,|BBi|=|BF|,于是M到l的距离d=^(|AA1|+|BBi|) 11 =2(|AF|+|BF)=2|AB|=半径,故相切. 5.解析: 依题意F(2,0),所以直线方程为y=x—2由T—2,,消去y得x2 y2=8x —12x+4=0•设A(X1,y1),B(X2,y2),则||FA|—|FE||=|(x1+2)—(x2+2)|=|X1 —x2|=,(X1+X2)2—4x1x2=,144—16=82. 6. 解析: 如图所示,直线l为抛物线y=2X2的准线,F为其焦点, PN丄l,AN1丄I,由抛物线的定义知,|PF=|PN|,A|AP|+|PF =|AP|+|PN|>|AN1|,当且仅当A、P、N三点共线时取等号.二 P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1贝U可排除A、C、D.答案: B 7•解析: 设抛物线沪8x的焦点为F,准线为I,P为抛物线上一点,PALl,A为垂足•如果直线AF的斜率为—Q3,那么|PF=() A.43B.8 C.83D.16 8.解析: 由准线方程x=—2,可知抛物线为焦点在x轴正,半轴上的标准方程,同时得p=4,所以标准方程为y2=2px=8x 9.解析: 抛物线的焦点为F(0,4),准线为y=—4,则圆心为(0,4),半径r=8.所以,圆的方程为x2+(y—4)2二64. a 10.解析: 设抛物线方程为x2=ay(a工0),则准线为y=—4.^Q(—3,m)在抛物 a 线上,二9=am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离,二|m—(—Q= 5.将m=中代入,得層+4|=5,解得,a=±2,或a=±18,二所求抛物线的方程为x2=±2y,或x2=±18y. y2=4x 11.解析: 由c1’c,消去y,得x2—5x+4=0(*),方程(*)的两根为A、 2x+y—4=0 uuu B两点的横坐标,故X1+X2=5,因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),所以|FA| uuu +|FB|=(X1+1)+(X2+1)=7 12.解析: 因线段AB过焦点F,则|AB|=|AF|+|B”.又由抛物线的定义知|AF=x1+1,|BF=x2+1,故|AB|=x1+x2+2=8. x2y2 13.解析: 双曲线方程化为9—16=1,左顶点为(—3,0),由题意设抛物线方程 为 y2=—2px(p>0),则一p=—3,ap=6,二抛物线方程为y2=—12x. (2)由于P(2,—4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为y2= mx或x2=ny,代入P点坐标求得m=8,n=—1, •••所求抛物线方程为y2=8x或x2=—y. •••P,M,A三点共线, 即y1-y「y2 即近+Jy2岛 4+4 站y1 即y2+4二市,仆4. uuuu •••OM• uuuOP= y2 4 y2uuur 4+yiy2=5.v向量OM uuu OP的夹 uuuu •••IOM|•| uuu OP 1uurn I•COS"4=5.•S^POM=-|OMI•I 7t uuu OP|•sin4 7t 5 2. 11 =23,因此△AKF的面积等于2|AK|•y1=4X23=43. 例4.分别过点A、B作AA、BB垂直于I,且垂足分别为厲、B1,由已知条件 |BC=2|BF|得|BC=2|BBi|,a/BCB=30。 ,又|AA1|=|AF|=3, •••|AC=2|AA1|=6,a|CF=|AC—|AF=6—3=3,aF为线段AC的中点.故 13 点F到准线的距离为p=2|AA1|=2,故抛物线的方程为y12=3x. 三、抛物线的综合问题 例5、⑴直线AB的方程是y=2,2(x—号),与y2=2px联立,从而有4x2—5px+p2=0,所以: X1+x2=5p,由抛物线定义得: |AB|=X1+x2+p=9, 所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x. (2)由p=4,4x2—5px+p2=0可简化为x2—5x+4=0,从而X1=1,x2=4,y1=— 22,y2=4,2,从而A(1,—2.2),B(4,4,2);
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