《创新设计》江苏专用理科高考数学二轮专题复习习题专题八数学思想方法doc.docx
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专题八.数学思想方法
函数与方程思想.数形结合思想
高考定位函数与方程思想、数形结合思想都是重要的数学思想,髙考对函数与方程思想的考查,一般是通过函数与导数试题,三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查,重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题,通过方程思想求解一些待定系数等,对数形结合思想的考查,一般体现在填空题中.
思想概述•应用点拨明要点思应用
1.函数与方程思想的含义
(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图彖和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.
2.函数与方程的思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为不等式/(X)>0,借助于函数的图彖和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.
(2)数列的通项与前n项和是自变量为止整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.
(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.
3.数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:
(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;
(2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为口的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:
第一要彻底明白一些概念和运算的儿何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合.
热点聚焦•題型宪破研热点析角度
热点一函数与方程思想的应用
[微题型1]运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式冋题
17
【例1—1】设函数/(x)=cos2x+sinx+a~1,已知不等式1W/⑴W才对_切
恒成立,求Q的取值范围.
解/(x)=cos2x+sinx+a~1
=1—sin2x+sinx+a—1
因为一lWsinxWl,所以当sinx=*时,
函数有最大值./(Qnax=d+£
当sinx=—1时,函数有最小值y(x)min=a—2.
17
因为lW/(x)W才对一切炸R恒成立,
17
所以./WmaxW才且./⑴亦三1,
丄丄<12
ClIAWA,
即44解得3WaW4,
卫一2$1,
所以Q的取值范围是[3,4]・
探究提高
(1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函
数,利用函数的图象和性质解决问题;⑵函数.心)>0或、/(x)VO恒成立,一般可转化为/(切罰>0或,/(X)max<0;已知恒成立求参数范围可先分离参数,然后利用函数值域求解.
[微题型2]运用函数与方程思想解决数列冋题
【例1—2】已知数列{外}满足ai=3,a”+i=d“+/r3"(nGN*,p为常数),如,a2+6,成等差数列.
⑴求卩的值及数列仇}的通项公式;
/4
(2)设数列偽}满足bn=—,证明:
(1)解由。
1=3,cin+\=cin~\~p'3n9
得02=3+3”,03=02+9/7=3+12/?
.
因为dl,Q2+6,如成等差数列,
所以。
1+。
3=2(02+6),
即3+3+12p=2(3+3p+6),
得p=2,依题意知,a/1+\=a,l+2X3n.
当“22时,02—01=2X3】,
03—02=2X3?
…,a〃一a“_i=2X3"1
将以上式子相加得a〃一°1=2(3'+3?
3"T),
丁“_3X(1—3“t)….
所以Q”——2X■~=3—3,
所以a“=3"(〃M2)•又gi=3符合上式,故a”=3"・
⑵证明因为a„=3",所以仇=$
亡l・、i「f(h+1)2n2—2h2+2/?
+1_*
所以仇+i_b〃=尹n—亍=尹1(nWN),
若一2n2+2n+1<0,则”〉],即当n22时,有bn+i 144 乂因为bx=yb2=©,故b$©・ 探究提高数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型: (1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或不等式求解. |1Wa”, (2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式组|、 I如左Q卄1, 一求解. (3)数列中前n项和的最值: 转化为二次函数,借助二次函数的单调性或求使给NO(d〃WO)成立时最大的n值即可求解. [微题型3]运用函数与方程的思想解决解析几何中的问题 【例1一3】设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),5(0,1)是它的两个顶点,直线尹=kx(k>0)与肋相交于点D与椭圆相交于E、F两点. ⑴若ED=6DF,求k的值; (2)求四边形AEBF面积的最大值. 2 解⑴依题意得椭圆的方程为亍+员=1,直线防的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0)・如图,设Z)(x(),kxj,E(xpkx\),Fg,心2),其中兀1<疋,且m也满足方程(1+4Z? )x2=4, 2 故X2=_X1=VT+^-① 由ED—6DF知xo—%i—6(%2—xo),丿曰_1“.、—510 得x0-7(6x2+xi)-斤X2-丁眉乔 由。 在上知也+2总0=2, 得Xo=T+2^- 所以备品, 化简得24疋一25k+6=0, 23 解得比=亍或/: =§. ⑵根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到的距离分别为 |x]+2fcri—2|2(1+2^+01+4疋)h]~y[5~寸5(1+4疋) 旳+彳显―2|2(1+2斤—pl+4Z? ) 112~^5—〈5(1+4疋) 又\AB\=yl22+\=y[5, 所以四边形AEBF的面积为 S=^AB(h}+h2) 4(1+2£)2(1+2R 1+4疋+4丘l+4/c2 p5(1+4疋)■—屮+4卩 当4疋=1仇>0),即当£=*时,上式取等号. 所以S的最大值为2迈. 即四边形AEBF面积的最人值为2^2. 探究提高解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 热点二数形结合思想的应用 [微题型1]运用数形结合思想解决函数、方程问题 【<502-1]已知函数Xx)=x2-2(tz+2)x+a2,g(x)=-x2+2(^-2)x-a2+8,设H\(x)=max{f[x),g(x)},H2(x)=min{/(x),g(x)}(max{p,g}表示p,q中的较大值,min{〃,g}表示p,q中的较小值),记//心)的最小值为A,厲⑴的最大值为B,则A-B=・ (x),f(x)(x), 解析丹心)=max{/(x),g(x)}=f、一/、 [g(x),J(x) [f(x),f(x)Wg(x), H2(x)=min{Ax),啊弋(兀)”)>g&). 由/(x)=g(x)=x2—2(q+2)x+/=—/+2(°—2)x—/+8, 解得兀i=a—2,兀2=a+2• 而函数^x)=x2~2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x~a2+S的图象的对称轴恰好分别为兀=。 +2,x=a~2. 因此//心),//2(x)的图象分别如图2,图3所示(图中实线部分) 图2图3 可见,A=H{⑴min=/(a+2)=—4a—4,3=H2(x)n)ax=g(Q—2)=12—4a.从而A—B=—16. 答案T6 探究提高 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数. (2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几种类型: ①研究函数的单调性与奇偶性: 画出函数的图象,从图象的变化趋势看函数的单调性,从图象的对称看函数的奇偶性.②研究函数的对称性: 画出函数的图象,可从图象的分布情况看图象的对称性.③比较函数值的大小: 对于比较没有解析式的函数值大小,可结合函数的性质,画出函数的草图,结合图象比较大小. [微题型2]运用数形结合思想解决不等式中的问题 【例2—2】若不等式书二迈的解集为区间[a,b],且b—a=2,则解析如图,分别作出直线y=k(x+2)—y/2与半圆y=yj9—x2・由题意,知直线在半圆的上方,由b~a=2,可知b=3,a=\,所以直线y=k(x+2)-y[2过点(1,2迈),则k=^2. 答案y[2 探究提高不等式的解可转化为两个函数图象的一种相对位置关系,故利用数形结合将问题转化为对两个函数图象位置关系的研究,利用函数图象的几何特征,准确而又快速地求出参数的值或不等式的解集. [微题型3]运用数形结合思想解决解析几何中的冋题 【例2-3]己知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA.是圆x2+y2~2x-2y+\=0的两条切线,A.B是切点,C是圆心,则四边形P4CE面积的最小值为・ 解析从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形P4C的面积S^pac=^PAAC=^PA越来越大,从而S四边形P4CB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形R4CB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CF垂直直线/时,S^PAcb应有唯一的最小值, 从而PA=y]PC2-AC2=2yl2. 答案2迈 探究提高在几何的一些最值问题中,可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换,快速求得最值. 归纳总结•思维升华探规律防失误 1.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想. 2.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题,二是在问题的研究中,可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解. 3.许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参变量中必有一个处于突出的主导地位,把这个参变量称为主元,构造出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元的困扰,解方程的实质就是分离参变量. 4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的. 5.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的. 6.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象. 空题训练•对接疝考求落实迎离考一、填空题 1・直线寸—y-\~m=Q与圆,+尹2—2x—2=0相切,则实数m—. 解析圆的方程(x-l)2+/=3,圆心(1,0)到直线的距离等于半径萌=>|寸§+加|=2寸5=>加=7^或m——3寸 答案_3羽或羽 2.(2014•江苏卷)在各项均为正数的等比数列{禺}中,若血=1,08=06+2%则 Q6的值是- 解析因为。 8=。 2$6,Q(、=,。 4=。 2『,所以由08=0()+204得 2a2q2,消去『,得到关于『的一元二次方程(『)2一『一2=0,解得(=2,a6= =1X22=4. 答案4 3.若不等式优一1对兀UR恒成立,则a的取值范围是・ 解析作出y=\x-2a\和尸条+。 一1的简图,依题意知应有2qW2-2q,故 答案2. 4.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-cy(b-c)= 0,则|c|的最大值为・ 解析如图,设OA=a,OB=b,OC—c.则CA=a—c,CB=b~c.由题意知画丄西, ・・・0,4,C,B四点共圆. ・••当OC为圆的直径时,|c|最大,此时,|OC\=y[2. 答案迈 5.函数/(X)的定义域为R,夬一1)=2,对任意xeR,f(x)>2,则/x)>2x+4的解 集为. 解析/(x)>2转化为/(力一2>0,构造函数F(x)=/(%)-2%, 得F(x)在R上是增函数. 又F(_1)=/(_1)_2X(_1)=4,/x)>2x+4, 即F(x)>4=F(—1),所以x>-l. 答案(一1,+°°) 6.已知函数.心)满足下面关系: ①/匕+1)=心一1);②当xW[—l,1]时,沧)= X,贝IJ方程.心)=1时解的个数为・解析由题意可知,/(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数.又,/(x)=lgX,则 xe(o,10],画出两函数图象,则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点. 答案9 7.经过P(0,—1)作直线/,若直线Z与连接力(1,-2),5(2,1)的线段总有公共 点,贝IJ直线/的斜率k和倾斜角a的取值范围分别为,・解析如图所示,结合图形: 为使/与线段M总有公共点,则kpA^kWkpB,而 又kpA= 2 (1) =-i, 你b>0,kpA<0, —1—1一一 7T 又当OWkWl时,OWnWr当一lWk<0时,乎WaVjL 故倾斜角a的取值范围为aW0,扌U普,兀) 答案[-1,1]0,扌U普,71 8.满足条件AB=2,AC=yf2BC的三角形/BC的面积的最大值是 解析可设BC=x,则AC=^2x9 根据面积公式得S^abc—x\/l—cos25, 4—x" 由余弦定理计算得cos5=-r-, [y[2x+x>2,厂厂 由]+2>yf2x得2也一2 故当兀=2羽时,Srbc的最大值为2© 答案2y/2 二、解答题 9.已知数列{如}是一个等差数列,且02=1,。 5=—5. (1)求仏}的通项a„; ⑵求{如}前n项和S的最大值. ci\+d—1,Qi+4d=—5, 解出4=3, d—~2. 解⑴设{如的公差为〃,由已知条件, 所以e? =Qi+(〃一l)d=—2n+5. n(〃一1)"八? (2)S=nai+d=一/+4〃=4一⑺一2)2. 所以n=2时,S”取到最大值4. io.椭圆c的中心为坐标原点o,焦点在歹轴上,短轴长为迈,离心率为平,直 线/与y轴交于点卩(0,m),与椭圆C交于相异两点B,且乔=3扇. (1)求椭圆C的方程; (2)求m的取值范围. 解⑴设椭圆C的方程为》+”=l(a>b>0),设c>0,(? =/—由题意,知2b=yj2,沽平,所以a=lfb=c=^.故椭圆C的方程为y+y=L即尸+2# 2 (2)当直线/的斜率不存在时,由题意求得加=±老 {y=loc+m, 由]2x2+y2=1, 当直线I的斜率存在时,设直线/的方程为y=kx+m(k^O),I与椭圆C的交点坐标为力(兀1,刃),5(X2,尹2), 得(&+2)x2+2kmx+/—1=o,A=(2kmf一4&+2)(/一1)= 4伙2—2加2+2)>0,(*) 所以3・ 了―2肋)2 *+2丿 +4- m2—1 - 所以3(X1+%2)2+4xiX2—0. 整理得4&加2+2〃/—Z? —2=0, 即X(4加2—1)+(2加2一2)=o 当=+时,上式不成立;当加2工£时,疋=;2严]由(*)式,得&>2加2—2,又kHO,口-八]2—2m2所以“=4加2_]>0. 解得—1V/hV—*或*V1. 综上,所求加的取值范围为(一1,? . 11・设函数./(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2~\nx(afbWR),已知它们在x=l处的切线互相平行. (1)求6的值; [f(兀),XW0, ⑵若函数F{x)=\(、且方程F(x)=a2有H仅有四个解,求实数q的取 lg(x),x>0, 值范围. 解函数g(x)=z? x2—lnx的定义域为(0,+°°), (1#(兀)=3心2—3T (1)=0,gf(x)=2bx--^gr (1)=26-1,依题意得2方一1= X 0,所以b=*. (2)xe(o,1)时,g©)=兀一丄vo,即g(x)在(0,1)上单调递减,xe(i,+8)时, ✓V gG)=x_g>0, 即g(x)在(1,+oo)上单调递增, 所以当兀=1时,g(x)取得极小值g(l)=*; 当。 =0时,方程F(x)=a2不可能有四个解; 当aVO,xe(-oo,一1)时,/(x)V0,即./(力在(一8,一1)上单调递减,xe(-l,0)时,f(x)>0, 即/⑴在(一1,0)上单调递增, 所以当X=~\时,./⑴取得极小值./(-1)=267, 又,A0)=0,所以F(x)的图象如图 (1)所示, 从图象可以看IBF(x)=a2不可能有四个解. 当a>0,xW(—g,—1)时\f(x)>0, 即.心)在(一8,—1)上单调递增, xe(-l,0)时,/(x)<0,即/(x)在(一1,0)上单调递减, y 2a A / 1 /-1 01 X 图⑵ 所以当兀=一1时,.心)取得极大值X-l)=2tz. 又^0)=0,所以F⑴的图象如图⑵所求, 从图 (2)看出,若方程F(x)=J有四个解,贝^ 所以,实数。 的取值范围是俘,2) 第2讲分类讨论思想、转化与化归思想 高考定位分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考,一般都在解答题中体现,难度较大. 思想概述•应用点拨明要点思应用 1.在解某些数学问题吋,我们常常会遇到这样一种情况: 解到某一步之后,发现问题的发展是按照不同的方向进行的.当被研究的问题包含了多种情况时,就必须抓住主导问题发展方向的主要因素,在其变化范围内,根据问题的不同发展方向,划分为若干部分分别研究.其研究的基本方向是“分”,但分类解决问题之后,还必须把它们整合在一起,这种“合一分一合”的解决问题的思想,就是分类讨论法.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法. 2.中学数学中可能引起分类讨论的因素: (1)由数学概念而引起的分类讨论: 如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论: 如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负数,对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式中两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域,等比数列{给}的前巾项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论: 如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论: 如二次函数图彖、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论: 如某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 3.转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据,如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等,消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想,我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化,在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化,注重知识的综合性. 4.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有: (1)直接转化法: 把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法: 运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幕等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法: 研究原问题屮数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法: 把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的. (5)特殊化方法: 把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法: “构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题. (7)坐标法: 以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径. (8)类比法: 运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定. (9)参数法: 引进参数,使原问题转化为熟悉的形式进行解决. (10)补集法: 如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结果看做集合而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集u,通过解决全集u及补集[: 品获得原问题的解决,体现了正难则反的原则. 热点聚焦•题型突破研热点析角度 热点一分类讨论思想的应用 [微题型1]运用分类讨论思想解决数列问题 【例1—1]求和: 1+2兀+3兀2+…+处"一I解记=1+2x+3x2Hnxn~1 当x=0时,S”=1, /7(斤+1)当兀=1时,S”=1+2+3+…+/? =2, 当xHO,xHl时, S“=1+2x+3x? +…+处"7,① xSn=x+
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