最新3山东专升本高等数学第三章微分中值定理与导数的应用.docx
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最新3山东专升本高等数学第三章微分中值定理与导数的应用
3山东专升本高等数学第三章微分中值定理与导数的应用
第三章微分中值定理与导数的应用
【考试要求】
1.掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义.
2.熟练掌握洛必达法则求“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”和“«SkipRecordIf...»”型未定式极限的方法.
3.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法,会利用函数的增减性证明简单的不等式.
4.理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最值(最大值和最小值)的方法,并且会解简单的应用问题.
5.会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点.
6.会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线.
【考试内容】
一、微分中值定理
1.罗尔定理
如果函数«SkipRecordIf...»满足下述的三个条件:
(1)在闭区间«SkipRecordIf...»上连续;
(2)在开区间«SkipRecordIf...»内可导;
(3)在区间端点处的函数值相等,即«SkipRecordIf...»,
那么在«SkipRecordIf...»内至少有一点«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»),使得«SkipRecordIf...».
说明:
通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点),即若«SkipRecordIf...»,则称点«SkipRecordIf...»为函数«SkipRecordIf...»的驻点.
2.拉格朗日中值定理
如果函数«SkipRecordIf...»满足下述的两个条件:
(1)在闭区间«SkipRecordIf...»上连续;
(2)在开区间«SkipRecordIf...»内可导,
那么在«SkipRecordIf...»内至少有一点«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»),使得下式(拉格朗日中值公式)成立:
«SkipRecordIf...».
说明:
当«SkipRecordIf...»时,上式的左端为零,右端式«SkipRecordIf...»不为零,则只能«SkipRecordIf...»,这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.此外,由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位,因此有时也称这定理为微分中值定理.
3.两个重要推论
(1)如果函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上的导数恒为零,那么«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上是一个常数.
证:
在区间«SkipRecordIf...»上任取两点«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»(假定«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»同样可证),应用拉格朗日中值公式可得
«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»).
由假定,«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...».
因为«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»上任意两点,所以上式表明«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上的函数值总是相等的,即«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上是一个常数.
(2)如果函数«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»内的导数恒有«SkipRecordIf...»,则这两个函数在«SkipRecordIf...»内至多相差一个常数,即«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»为常数).
证:
设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,根据上面的推论
(1)可得,«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...».
二、洛必达法则
1.«SkipRecordIf...»时“«SkipRecordIf...»”型未定式的洛必达法则
如果函数«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»满足下述的三个条件:
(1)当«SkipRecordIf...»时,函数«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»都趋于零;
(2)在点«SkipRecordIf...»的某个去心邻域内«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»都存在且«SkipRecordIf...»;
(3)«SkipRecordIf...»存在(或为无穷大),
那么«SkipRecordIf...».
说明:
这就是说,当«SkipRecordIf...»存在时,«SkipRecordIf...»也存在且等于«SkipRecordIf...»;当«SkipRecordIf...»为无穷大时,«SkipRecordIf...»也是无穷大.
2.«SkipRecordIf...»时“«SkipRecordIf...»”型未定式的洛必达法则
如果函数«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»满足下述的三个条件:
(1)当«SkipRecordIf...»时,函数«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»都趋于零;
(2)当«SkipRecordIf...»时«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»都存在且«SkipRecordIf...»;
(3)«SkipRecordIf...»存在(或为无穷大),
那么«SkipRecordIf...».
说明:
我们指出,对于«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时的未定式“«SkipRecordIf...»”,也有相应的洛必达法则.
3.使用洛必达法则求“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型极限时的注意事项
(1)使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型,如果不是则不能使用洛必达法则.例如:
«SkipRecordIf...»就不能运用洛必达法则,直接代入求极限即可,故«SkipRecordIf...».
(2)洛必达法则可多次连续使用,也就是说,如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型,则可再次使用洛必达法则,依此类推.
(3)洛必达法则是求“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型未定式极限的一种有效方法,但最好能与其他求极限的方法结合使用,例如能化简时应尽可能先化简,可以应用等价无穷小替代或重要极限时,应尽可能应用,这样可以使运算简便.例如:
求«SkipRecordIf...»时,可先用«SkipRecordIf...»进行无穷小的等价替换,然后再用洛必达法则,故
«SkipRecordIf...».
(4)如果求极限的式子中含有非零因子,则可以对该非零因子单独求极限(即可以先求出这部分的极限),然后再利用洛必达法则,以便简化运算.例如:
求«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,从第二步到第三步的过程中,分子上的因子«SkipRecordIf...»和分母上的因子«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»时极限均为«SkipRecordIf...»,故可先求出这两部分的极限以便化简运算.
(5)当洛必达法则的条件不满足时,所求极限不一定不存在,也即是说,当«SkipRecordIf...»不存在时(等于无穷大的情况除外),«SkipRecordIf...»仍可能存在.例如:
极限«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»极限是不存在的,但是原极限是存在的,«SkipRecordIf...».
4.其他类型的未定式
除了“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型未定式之外,还有其他类型的未定式,如“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”及“«SkipRecordIf...»”型等.对于“«SkipRecordIf...»”和“«SkipRecordIf...»”型的未定式,处理方法为将它们直接转化成“«SkipRecordIf...»”或“«SkipRecordIf...»”型;对于“«SkipRecordIf...»”、“«SkipRecordIf...»”及“«SkipRecordIf...»”型的未定式,处理方法为先取对数将它们转化成“«SkipRecordIf...»”型,然后再转化成“«SkipRecordIf...»”型或“«SkipRecordIf...»”型未定式.
三、函数单调性的判定法
1.单调性判定法
设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导,
(1)如果在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»,那么函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调增加;
(2)如果在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»,那么函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调减少.
说明:
①如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间(包括无穷区间),结论也成立;
②若判定法中«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内只有有限个点上«SkipRecordIf...»,而在其余点上恒有«SkipRecordIf...»(或«SkipRecordIf...»),则函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上仍然是单调增加(或单调减少)的.
2.单调区间的求法
设函数«SkipRecordIf...»在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,则求函数«SkipRecordIf...»的单调性的步骤如下:
(1)求出函数«SkipRecordIf...»的定义域;
(2)求出函数«SkipRecordIf...»的导数«SkipRecordIf...»,并令«SkipRecordIf...»求出函数的驻点;此外,再找出导数不存在的点(一般是使得«SkipRecordIf...»分母为零的点);
(3)用函数«SkipRecordIf...»的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间,然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性.
3.用单调性证明不等式
函数«SkipRecordIf...»的单调性还可以用来证明不等式,步骤如下:
(1)将不等式的一边变为零,不等于零的一边设为«SkipRecordIf...»,根据要证明的式子找出不等式成立的«SkipRecordIf...»的范围«SkipRecordIf...»;
(2)求«SkipRecordIf...»的导数«SkipRecordIf...»,判断«SkipRecordIf...»在上述«SkipRecordIf...»范围内的符号(即正负);
(3)根据范围«SkipRecordIf...»的边界值与«SkipRecordIf...»的情况,导出所需要证明的不等式即可.
例如:
试证明当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
证明:
原不等式即为«SkipRecordIf...»,故令«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
则«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»,因此在«SkipRecordIf...»上«SkipRecordIf...»单调增加,从而当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,又由于«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,亦即«SkipRecordIf...».
四、函数的凹凸性与拐点
1.函数凹凸性的定义
设函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上连续,如果对«SkipRecordIf...»上任意两点«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»,恒有
«SkipRecordIf...»,那么称«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有«SkipRecordIf...»,那么称«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的图形是(向上)凸的(或凸弧).如果函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内具有二阶导数,那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性,如下所示.
2.函数凹凸性的判定法
设函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内具有一阶和二阶导数,那么
(1)若在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的图形是凹的;
(2)若在«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的图形是凸的.
说明:
若在«SkipRecordIf...»内除有限个点上«SkipRecordIf...»外,其它点上均有«SkipRecordIf...»(或«SkipRecordIf...»),则同样可以判定曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上为凹曲线(或凸曲线).
3.曲线的拐点的求法
一般地,设«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上连续,«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的内点(除端点外«SkipRecordIf...»内的点).如果曲线«SkipRecordIf...»在经过点«SkipRecordIf...»时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点«SkipRecordIf...»为这曲线的拐点.
我们可以按照下述步骤求区间«SkipRecordIf...»上的连续函数«SkipRecordIf...»的拐点:
(1)求«SkipRecordIf...»;
(2)令«SkipRecordIf...»,解出这方程在区间«SkipRecordIf...»内的实根,并求出在区间«SkipRecordIf...»内«SkipRecordIf...»不存在的点;
(3)对于
(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点«SkipRecordIf...»,检查«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»左、右两侧邻近的符号,当两侧的符号相反时,点«SkipRecordIf...»是拐点,当两侧的符号相同时,点«SkipRecordIf...»不是拐点.在«SkipRecordIf...»上单3.基本初等函数的微分公式
说明:
若要求函数«SkipRecordIf...»的凹凸区间,则用
(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间«SkipRecordIf...»分成若干部分区间,然后在这些部分区间上判定«SkipRecordIf...»的符号,若«SkipRecordIf...»,则该部分区间为凹区间,若«SkipRecordIf...»,则该部分区间为凸区间.
五、函数的极值与最值
1.函数极值的定义
设函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»的某邻域«SkipRecordIf...»内有定义,如果对于去心邻域«SkipRecordIf...»内任一«SkipRecordIf...»,有«SkipRecordIf...»(或«SkipRecordIf...»),那么就称«SkipRecordIf...»是函数«SkipRecordIf...»的一个极大值(或极小值).
函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.
说明:
函数的极大值与极小值概念是局部性的,如果«SkipRecordIf...»是函数«SkipRecordIf...»的一个极大值,那只是就«SkipRecordIf...»附近的一个局部范围来说,«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的一个最大值,如果就«SkipRecordIf...»的整个定义域来说,«SkipRecordIf...»不见得是最大值.关于极小值也类似.
2.函数取得极值的必要条件
设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处可导,且在«SkipRecordIf...»处取得极值,那么«SkipRecordIf...».
说明:
这也就是说,可导函数«SkipRecordIf...»的极值点必定是它的驻点.但反过来,函数的驻点却不一定是极值点.例如,«SkipRecordIf...»的导数«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»是这函数的驻点,但«SkipRecordIf...»却不是这函数的极值点,所以,函数的驻点只是可能的极值点.此外,函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值.例如,函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处不可导,但函数在该点取得极小值.
3.判定极值的第一充分条件
设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处连续,且在«SkipRecordIf...»的某去心邻域«SkipRecordIf...»内可导.
(1)若«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,而«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得极大值;
(2)若«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,而«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得极小值;
(3)若«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»的符号保持不变,则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处没有极值.
4.用第一充分条件求极值点和极值的步骤
设函数«SkipRecordIf...»在所讨论的区间内连续,除个别点外处处可导,则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下:
(1)求出导数«SkipRecordIf...»;
(2)求出«SkipRecordIf...»的全部驻点与不可导点;
(3)考查«SkipRecordIf...»的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形,以确定该点是否为极值点;如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点;
(4)求出各极值点的函数值,就得函数«SkipRecordIf...»的全部极值.
5.判定极值的第二充分条件
设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处具有二阶导数且«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,那么
(1)当«SkipRecordIf...»时,函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得极大值;
(2)当«SkipRecordIf...»时,函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得极小值.
说明:
该极值判定条件表明,如果函数«SkipRecordIf...»在驻点«SkipRecordIf...»处的二阶导数«SkipRecordIf...»,那么该驻点«SkipRecordIf...»一定是极值点,并且可按二阶导数«SkipRecordIf...»的符号来判定«SkipRecordIf...»是极大值还是极小值.但如果«SkipRecordIf...»,则该判定条件失效.事实上,当«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处可能有极大值,可能有极小值,也可能没有极值.例如,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»这三个函数在«SkipRecordIf...»处就分别属于上述三种情况.因此,如果
函数在驻点处的二阶导数为零,那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定.
6.求«Ski
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