42换元积分法习题.docx
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42换元积分法习题
第4章不定积分换元积分法习题解
1.在括号中填入适合的系数,使以下等式建立:
⑴dx
(
)d(5x
2);
【解】因为
d(5x
2)
5dx,所以dx
1
)d(5x
2)
。
(
5
⑵
xdx
(
)d(7
3x2);
【解】因为d(7
3x2)
6xdx,所以xdx
(
1
)d(73x2)。
6
⑶x4dx(
)d(2x5
3);
【解】因为d(2x5
3)
10x4dx,所以x4dx
(
1
)d(2x5
3)。
10
⑷1
dx
(
)d(
x);
x
【解】因为d(
x)
2
1
dx,所以
1
dx
(2
)d(
x)。
x
x
⑸dx
(
)d(3ln
x);
x
3dx,所以dx
1
【解】因为d(3ln
x)
(
)d(3ln
x)。
x
x
3
⑹
dx
(
)d(2
arcsinx);
1
x2
【解】因为
d(2
arcsinx)
dx
,所以
dx
(
)d(2arcsinx)。
x2
1
x2
1
⑺
xdx
(
)d(1
x2);
1
x2
【解】因为d(
1
x2)
xdx
,所以
xdx
(
)d(
1x2)。
1x2
1
x2
⑻
dx
(
)d(arctan3x)。
1
9x2
3dx
dx
1
【解】因为d(arctan3x)
,所以
(
)d(arctan3x)。
19x2
1
9x2
3
2.求以下不定积分:
⑴(2x1)2dx;
【解】这是复合函数的积分,用简单变量u替代中间变量2x1,积分红为能够直接积分的
1
第4章不定积分换元积分法习题解
u2
,
于是,应用凑微分法,得
(2x1)2dx
1
(2x1)2d(2x
1)------
d(2x1)
2dx
2
1
1(2x
1)3
c
------
u2du
1u3
c
2
3
3
1(2x1)3
c
6
⑵
1
1
dx;
3x
【解】这是复合函数的积分,用简单变量
u替代中间变量
13x,积分红为能够直接积分的
1,
u
于是,应用凑微分法,得
1
1
1
------
1
dx
3
1
d(13x)
3x
3x
1
ln1
3xc
------
3
⑶
1
dx;
3
35x
d(13x)3dx
1
dulnuc
u
【解】这是复合函数的积分,用简单变量u替代中间变量35x,积分红为能够直接积分的
1,
3u
于是,应用凑微分法,得
1
1
1
d(3
5x)
335x
dx
33
5
5x
1
3(3
2
5x)3
c
5
2
2
3(35x)3c
10
2
⑷xexdx;
------d(35x)5dx
1du
2
------
3u3
c
3u
2
2
【解】这是积函数的积分,分别出复合函数ex,余下为微分部份xdx,对照中间变量的微
分d(x2)2xdx,仅相差一常数倍,于是,应用凑微分法,得
2
第4章不定积分换元积分法习题解
xex2
dx
1
ex2
d(x2)
------
d(x2)
2xdx
2
1
ex2
c
------
eudu
eu
c
2
⑸
2x3
dx;
x4
1
【解】这是积函数的积分,分别出复合函数
1
,余下为微分部份
2x3dx,对照中间变量
1x4
的微分d(1x4)
4x3dx,仅相差一常数倍,于是,应用凑微分法,得
2x3
1
1
4
------
1x4dx
21x4d(1x)
1ln1x4
c
------
2
1
u
d(1x4)4x3dx
dulnuc
⑹tan10xsec2xdx;
【解】这是三角函数的积分,将tan10x作为复合函数,余下为微分部份sec2xdx恰为tanx
的微分,于是,应用凑微分法,得
tan10xsec2xdx
tan10xdtanx
------
dtanx
sec2
xdx
1
tan11xc
------
u10du
1
u11
c
11
11
⑺
e
x
dx;
x
【解】这是积函数的积分,分别出复合函数ex,余下为微分部份
1dx,对照中间变量的
x
微分dx
1
dx,仅相差一常数倍,于是,应用凑微分法,得
2
x
ex
dx
2exdx
------
dx
1
dx
x
2
x
2ex
c
------
eudu
eu
c
3
第4章不定积分换元积分法习题解
x
⑻dx;
23x2
【解】这是积函数的积分,分别出复合函数
1
,余下为微分部份
xdx,对照中间变
2
3x2
量的微分d(23x2)
6xdx,仅相差一常数倍,于是,应用凑微分法,得
2
x
dx
1
1
d(2
3x2)
------
d(2
3x2)
6xdx
3x2
6
2
3x2
122
3x2
c
------
1
du
2
uc
6
u
1
2
3x2
c
3
⑼tan1
x2
x
x2
dx;
1
【解】这是积函数的积分,分别出复合函数
tan
1
x2
,余下为微分部份
x
dx,对
1x2
比中间变量的微分
d
1
x2
2x
dx,恰巧相等,于是,应用凑微分法,得
21
x2
tan
1
x2
1
x
dx
tan
1
x2d
1
x2
---
d1
x2
x
dx
x2
1
x2
tan
1
x2d1x2
------
tanudu
sinudu
1
dcosu
lncosuc
cosu
cosu
lncos
1
x2
c
【此答案与课本答案能够互化:
lncos1x2
ln(cos1
x2)1
ln
1
lnsec1x2】
cos
1
x2
⑽
1
xdx;
x
e
e
【解】这个复合函数有两个不一样的中间变量
ex和ex,要进行换元积分,须先化为同一此中
间变量:
4
第4章不定积分换元积分法习题解
1
ex
ex
,
ex
ex
ex(ex
ex)
(ex)2
1
这成为积函数的积分,分别出复合函数
1
,余下为微分部份
exdx,对照中间
(ex)2
1
变量的微分dex
exdx,仅相差一常数倍,于是,应用凑微分法,得
1
ex
dx
1
x
----
x
x
ex
ex
dx
(ex)2
1
(ex)2
1
de
de
edx
arctanex
c
------
1
duarctanu
c
1u2
⑾
1
dx;
xlnxln(lnx)
【解法一】这是积函数的积分,
分别出复合函数
1
,余下为微分部份
1
dx,对照
ln(lnx)
xlnx
中间变量的微分
dln(lnx)
1
1dx,恰巧相等,于是,应用凑微分法,得
lnx
x
1
dx
1
dln(ln
x)
----
dln(lnx)
1
1dx
xlnxln(lnx)
ln(ln
x)
lnx
x
lnln(lnx)
c
------
1du
lnu
c
u
【解法二】
1
dx
1
dlnx
lnx
u
1
xlnxln(ln
du
x)
lnxln(lnx)
ulnu
1
lnu
1
lntc
lnlnu
c
dlnu
t
dt
lnu
t
lnlnlnx
c。
⑿x
1
dx;
e
1
1
,其微分部分dx缺少中间变量的微分
【解】这个积分函数中只含复合函数
ex
1
d(ex1)exdx中的ex,应进行变换,凑出中间变量的微分函数。
近似于⑽的方法:
1
ex
ex
ex
1ex(ex
1)1ex,
这成为积函数的积分,分别出复合函数
1
x,余下为微分部份exdx,对照中间
1e
5
第4章不定积分换元积分法习题解
变量的微分d(1ex)
e
xdx,恰巧相等,于是,应用凑微分法,得
1
dx
ex
dx
1
d(1
e
x
)
----
d(1e
x
)
e
x
dx
x
1
e
x
1e
x
e
1
ln1
ex
c
------
1
du
lnu
c
u
【此答案与课本答案能够互化:
x
1
1
ex
ex
ln1e
ln1ex
ln1ex
ln
ex(1ex)
ln
ex1
lnex
ln(ex1)x
ln(ex
1)
】
⒀cos3xdx;
【解】这是三角函数的积分,属于正、余弦函数的奇次幂,应分出一个作为微分部分
cosxdx,
余下平方部份cos2x,利用平方关系转变为其他函数的复合函数
1
sin2x,这样获得的积
分(1sin2
x)cosxdx中,微分部份可凑为
dsinx,获得的
(1sin2x)dsinx可换元成
为简单函数的积分,于是
cos3xdx
cos2xcosxdx
----
奇次幂中分出一个
cosx
(1
sin2x)dsinx
----
将cosxdx凑微分为dsinx,并将
cos2x转变为sinx的函数,
sinx
u
(1
u2)du
----
换元
u
1u3
c
3
u
sinx
sinx
1sin3x
c。
3
⒁cos2(2x
1)dx;
【解】这是三角函数的积分,属于正、余弦函数的偶次幂,应当使用半角公式
cos21cos2
进行降次办理:
cos2(2x1)
1cos2(2x1)
,于是
2
1
cos2(2x
1)dx
2
cos2(2x
1)dx
----
利用半角公式降次
1
2
cos2(2x
1)dx]
----
分别积分
[x
2
6
第4章不定积分换元积分法习题解
1
1
1
凑微分
x
2
cos(4x2)d(4x2)----
2
4
11
xsin(4x2)c
28
⒂
sinx
cos3
dx;
x
1
【解】这是积函数的积分,分别出复合函数
,余下为微分部份sinxdx,对照中间变
cos3
x
量的微分dcosx
sinxdx,仅相差一个常数倍,于是,应用凑微分法,得
sinx
dx
1
----
dcosx
sinxdx
3
3dcosx
cosx
cosx
1
c
------
u3du
1u2
c
2cos2x
2
⒃
1
dx;
sinxcosx
【解】这个复合函数有两个不一样的中间变量
sinx和cosx,要进行换元积分,须先化为同一
个,或许转变为第一换元积分法的规范形式
f(
(x))
'(x)dx。
1
dx
cosx
1
dx
----
1
dtanx,以及
sinxcosx
sinx
2
利用
2dx
cosx
cosx
cosx
1
(x))
'(x)dx的构造,
sinx
,组成f(
tanx
1
dtanx
lntanx
c。
tanx
⒄
1
dx;
(x
1)(x
2)
【解】这是有理分式函数的积分,被积函数的分母为二次有零点,应将其分拆为一次分母的
分式之和,再分别积分,得
1
1
(
1
1
----
分拆
(x1
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