天津市红桥区学年高二下学期期末考试数学理试题解析版.docx
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天津市红桥区学年高二下学期期末考试数学理试题解析版.docx
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天津市红桥区学年高二下学期期末考试数学理试题解析版
2016-2017学年天津市红桥区高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.
=( )
A.5B.6C.7D.8
2.
=7×8×n,则n=( )
A.7B.8C.9D.10
3.2×2列联表中a,b的值分别为( )
Y1
Y2
总计
X1
a
21
73
X2
2
25
27
总计
b
46
A.94,96B.52,50C.52,54D.54,52
4.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品的概率是( )
A.
B.
C.1D.
5.一位母亲记录了儿子3~7岁时的身高,并根据记录数据求得身高(单位:
cm)与年龄的回归模型为
.若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高,则下列叙述正确的是( )
A.身高一定是145cmB.身高在145cm以上
C.身高在145cm左右D.身高在145cm以下
6.某射手射击所得环数X的分布列如表,已知X的数学期望E(X)=8.9,则y的值为( )
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
A.0.8B.0.4C.0.6D.0.2
7.在二项式(2x2+
)6的展开式中,常数项是( )
A.50B.60C.45D.80
8.全组有8个男同学,4个女同学,现选出5个代表,最多有2个女同学当选的选法种数是( )
A.672B.616C.336D.280
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分).
9.五个不同的点最多可以连成线段的条数为 .
10.二项式(
+2)5的展开式中,第3项的系数是 .
11.已知(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .
12.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为 .
13.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不能和乙站在一起,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法有 种.
三、解答题:
本大题共4小题,共48分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
14.(12分)已知(3x+
)n的展开式中各二项式系数之和为16.
(1)求正整数n的值;
(2)求展开式中x项的系数.
15.(12分)5个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?
(Ⅰ)甲不在排头,也不在排尾;
(Ⅱ)甲、乙、丙三人必须在一起.
16.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为
和
.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.
(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(Ⅱ)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.
17.(12分)现有某批次同一型号的产品共10件,其中有8件合格品,2件次品.
(Ⅰ)某检验员从中有放回地连续抽取产品2次,每次随机抽取1件,求两次都取到次品的概率;
(Ⅱ)若该检验员从中任意抽取2件,用X表示取出的2件产品中次品的件数,求X的分布列.
2016-2017学年天津市红桥区高二(下)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.
=( )
A.5B.6C.7D.8
【考点】D5:
组合及组合数公式.
【专题】5I:
概率与统计.
【分析】利用组合数公式求解.
【解答】解:
=1+3+3+1
=8.
故选:
D.
【点评】本题考查组合数公式的应用,是基础题,解题时要认真审题.
2.
=7×8×n,则n=( )
A.7B.8C.9D.10
【考点】D4:
排列及排列数公式.
【专题】5I:
概率与统计.
【分析】利用排列数公式求解.
【解答】解:
∵
=7×8×n,
∴由排列数公式得n=9.
故选:
C.
【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列数公式的合理运用.
3.(2013•北京校级模拟)2×2列联表中a,b的值分别为( )
Y1
Y2
总计
X1
a
21
73
X2
2
25
27
总计
b
46
A.94,96B.52,50C.52,54D.54,52
【考点】BN:
独立性检验的基本思想.
【专题】11:
计算题.
【分析】根据所给的列联表,根据表中最后一列和最后一行是由本行和本列两个数据之和,列出关于a.b的方程,解方程即可.
【解答】解:
∵根据所给的列连表可以得到a+21=73,
∴a=73﹣21=52
∵b+46=73+27
∴b=54
综上可知a=52,b=54
故选C.
【点评】本题考查独立性检验的思想,本题解题的关键是理解列联表中a,b,c,d四个数据的位置,本题是一个基础题.
4.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品的概率是( )
A.
B.
C.1D.
【考点】CB:
古典概型及其概率计算公式.
【专题】11:
计算题;34:
方程思想;4O:
定义法;5I:
概率与统计.
【分析】先求出基本事件总数n=
=15,再求出取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品包含的基本事件个数m=
=5,由此能求出取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品的概率.
【解答】解:
从五件正品,一件次品中随机取出两件,
基本事件总数n=
=15,
取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品包含的基本事件个数m=
=5,
∴取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品的概率:
p=
.
故选:
A.
【点评】本题考查概率的求法,考查等可能事件概率计算公式、排列组合等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想,是基础题.
5.一位母亲记录了儿子3~7岁时的身高,并根据记录数据求得身高(单位:
cm)与年龄的回归模型为
.若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高,则下列叙述正确的是( )
A.身高一定是145cmB.身高在145cm以上
C.身高在145cm左右D.身高在145cm以下
【考点】BQ:
回归分析的初步应用.
【专题】11:
计算题.
【分析】根据回归模型为
,将x=10代入即可得到预测值.
【解答】解:
根据回归模型为
,可得x=10时,
=145cm
故可预测10岁时的身高在145cm左右
故选C.
【点评】本题考查回归模型的运用,解题的关键是理解回归模型的含义,从而合理预测.
6.某射手射击所得环数X的分布列如表,已知X的数学期望E(X)=8.9,则y的值为( )
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
A.0.8B.0.4C.0.6D.0.2
【考点】CG:
离散型随机变量及其分布列.
【专题】11:
计算题;34:
方程思想;4L:
消元法;5I:
概率与统计.
【分析】利用离散型随机变量的分布列和数学期望列出方程组,能求出y的值.
【解答】解:
∵X的数学期望E(X)=8.9,
∴由射手射击所得环数X的分布列,得:
,
解得x=0.2,y=0.4.
故选:
B.
【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想,是基础题.
7.在二项式(2x2+
)6的展开式中,常数项是( )
A.50B.60C.45D.80
【考点】DB:
二项式系数的性质.
【专题】11:
计算题;35:
转化思想;4O:
定义法;5P:
二项式定理.
【分析】利用二项式展开式的通项公式,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.
【解答】解:
二项式(2x2+
)6展开式的通项公式为
Tr+1=26﹣rC6rx12﹣3r
令12﹣3r=0,求得r=4,
故展开式中的常数项为26﹣4C64=60.
故选:
B
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,是基础题.
8.全组有8个男同学,4个女同学,现选出5个代表,最多有2个女同学当选的选法种数是( )
A.672B.616C.336D.280
【考点】D9:
排列、组合及简单计数问题.
【专题】11:
计算题;35:
转化思想;4O:
定义法;5O:
排列组合.
【分析】至多有两名女同学,分为三类:
没有女同学,有1名女同学,2名女同学.
【解答】解:
至多有两名女同学,分为三类:
没有女同学,有C85=56选法,
1名女同学,有C41C84=280种选法,
2名女同学,有C42C83=336种选法,
根据分类计数原理可得56+280+336=672,
故选:
A
【点评】本题考查计数原理的应用,考查分类讨论的数学思想,考查学生的计算能力,属于中档题.
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分).
9.五个不同的点最多可以连成线段的条数为 10 .
【考点】D9:
排列、组合及简单计数问题.
【专题】11:
计算题;35:
转化思想;4O:
定义法;5O:
排列组合.
【分析】根据组合的定义即可求出.
【解答】解:
五个不同的点最多可以连成线段的条数为C52=10,
故答案为:
10
【点评】本题考查了简单的组合问题,属于基础题.
10.二项式(
+2)5的展开式中,第3项的系数是 40 .
【考点】DC:
二项式定理的应用.
【专题】5P:
二项式定理.
【分析】根据通项公式求得展开式中的第3项,可得第3项的系数.
【解答】解:
二项式(
+2)5的展开式中,第3项为T3=
•
•22=40•x﹣3,
故第3项的系数是40,
故答案为:
40.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.
11.已知(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= ﹣2 .
【考点】DC:
二项式定理的应用.
【专题】11:
计算题.
【分析】本题由于是求二项式展开式的系数之和,故可以令二项式中的x=1,又由于所求之和不含a0,令x=0,可求出a0的值,代入即求答案.
【解答】解:
令x=1代入二项式(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7得,(1﹣2)7=a0+a1+…+a7=﹣1,
令x=0得a0=1∴1+a1+a2+…+a7=﹣1
∴a1+a2+…+a7=﹣2
故答案为:
﹣2
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是﹣1进行求解.本题属于基础题型.
12.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为
.
【考点】C7:
等可能事件的概率.
【专题】5I:
概率与统计.
【分析】设“恰有一名女生当选”为事件A,“恰有两名女生当选”为事件B,显然A、B为互斥事件,利用互斥事件的概率公式即可求解.
【解答】解:
设“恰有一名女生当选”为事件A,“恰有两名女生当选”为事件B,显然A、B为互斥事件.
从10名同学中任选2人共有10×9÷2=45种选法(即45个基本事件),而事件A包括3×7个基本事件,事件B包括3×2÷2=3个基本事件,故P=P(A)+P(B)=
=
故答案为:
【点评】本题考查了古典概型与互斥事件相结合的问题,考查学生的计算能力,属于中档题.
13.(2014•上海模拟)有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不能和乙站在一起,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法有 1200 种.
【考点】D8:
排列、组合的实际应用.
【专题】12:
应用题;5O:
排列组合.
【分析】先排除甲的其余6人,因为乙、丙两位同学要站在一起,故捆绑再与其余5人进行全排,再将甲插空,由于甲不能和乙站在一起,故甲有5种插法,根据乘法原理即可得到结论.
【解答】解:
根据题意,先排除甲的其余6人,因为乙、丙两位同学要站在一起,故捆绑再与其余5人进行全排,
共有
=240种排法,
再将甲插空,由于甲不能和乙站在一起,
故甲有5种插法,所以根据乘法原理,不同的站法有240×5=1200种.
故答案为:
1200.
【点评】本题考查排列知识,考查乘法原理的运用,考查学生分析解决问题的能力.
三、解答题:
本大题共4小题,共48分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
14.(12分)已知(3x+
)n的展开式中各二项式系数之和为16.
(1)求正整数n的值;
(2)求展开式中x项的系数.
【考点】DC:
二项式定理的应用;DB:
二项式系数的性质.
【专题】5P:
二项式定理.
【分析】
(1)由题意可得展开式中各二项式系数之和2n=16,从而求得n的值.
(2)在(3x+
)n的展开式的通项公式中,令x的幂指数等于1,求得r的值,可得展开式中x项的系数.
【解答】解:
(1)由题意可得展开式中各二项式系数之和2n=16,∴n=4.
(2)(3x+
)n的展开式的通项公式为Tr+1=
•34﹣r•
,令4﹣
=1,求得r=2,
∴展开式中x项的系数为
×32=54.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题.
15.(12分)5个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?
(Ⅰ)甲不在排头,也不在排尾;
(Ⅱ)甲、乙、丙三人必须在一起.
【考点】D9:
排列、组合及简单计数问题.
【专题】11:
计算题;35:
转化思想;4O:
定义法;5O:
排列组合.
【分析】(Ⅰ)甲不在排头,也不在排尾,先排甲,其他人任意排,问题得以解决,
(Ⅱ)甲、乙、丙三人必须在一起,先把甲乙丙三人捆绑在一起,再和另外2人全排,问题得以解决
【解答】解:
(Ⅰ)若甲不在排头,也不在排尾,排列的方法有:
A31A44=72种;
(Ⅱ)甲、乙、丙三人必须在一起,排列的方法有:
A33A33═36种.
【点评】本题考查排列、组合的应用,注意特殊问题的处理方法,如相邻用捆绑法,不能相邻用插空法,属于中档题.
16.(12分)(2014•湖南)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为
和
.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.
(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(Ⅱ)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.
【考点】CH:
离散型随机变量的期望与方差;CG:
离散型随机变量及其分布列.
【专题】5I:
概率与统计.
【分析】(Ⅰ)利用对立事件的概率公式,计算即可,
(Ⅱ)求出企业利润的分布列,再根据数学期望公式计算即可.
【解答】解:
(Ⅰ)设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功,
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为
和
.
则P(B)=
,
再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1﹣P(B)=
,
故至少有一种新产品研发成功的概率为
.
(Ⅱ)由题可得设企业可获得利润为X,则X的取值有0,120,100,220,
由独立试验的概率计算公式可得,
,
,
,
,
所以X的分布列如下:
X
0
120
100
220
P(x)
则数学期望E(X)=
=140.
【点评】本题主要考查了对立事件的概率,分布列和数学期望,培养学生的计算能力,也是近几年高考题目的常考的题型.
17.(12分)现有某批次同一型号的产品共10件,其中有8件合格品,2件次品.
(Ⅰ)某检验员从中有放回地连续抽取产品2次,每次随机抽取1件,求两次都取到次品的概率;
(Ⅱ)若该检验员从中任意抽取2件,用X表示取出的2件产品中次品的件数,求X的分布列.
【考点】CG:
离散型随机变量及其分布列;CH:
离散型随机变量的期望与方差.
【专题】11:
计算题;33:
函数思想;35:
转化思想;5I:
概率与统计.
【分析】(Ⅰ)求出任取一件取到次品的概率,然后求解检验员两次都取到次品的概率.
(Ⅱ)判断X的可能值,求出概率,然后求解分布列即可.
【解答】解:
(Ⅰ)从该产品中任取一件取到次品的概率为:
=
,…(2分)
故检验员两次都取到次品的概率为
.…(5分)
(Ⅱ)显然X的可能取值为0,1,2.…(6分)
P(X=0)=
=
,P(X=1)=
=
,P(X=2)=
,…(10分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
…(12分)
【点评】本题考查离散性随机变量的分布列,独立重复试验概率的求法,考查计算能力.
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