学年高一数学必修一学案补集及综合应用.docx
- 文档编号:14262170
- 上传时间:2023-06-21
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:250.45KB
学年高一数学必修一学案补集及综合应用.docx
《学年高一数学必修一学案补集及综合应用.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《学年高一数学必修一学案补集及综合应用.docx(15页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
学年高一数学必修一学案补集及综合应用
2018-2019学年高一数学必修一学案:
补集及综合应用
全 集
[导入新知]
全集的定义及表示
(1)定义:
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
(2)符号表示:
全集通常记作U.
[化解疑难]
对全集概念的理解
“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题来加以选择的.例如:
我们常把实数集R看作全集,而当我们在整数范围内研究问题时,就把整数集Z看作全集.
补 集
[提出问题]
A={高一
(1)班参加足球队的同学},B={高一
(1)班没有参加足球队的同学},U={高一
(1)班的同学}.
问题1:
集合A,B,U有何关系?
提示:
U=A∪B.
问题2:
集合B中元素与集合U和A有何关系?
提示:
集合B中元素在集合U中,不在集合A中.
[导入新知]
补集的概念及性质
定义
文字语言
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA
符号语言
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
图形语言
性质
(1)∁UA⊆U;
(2)∁UU=∅,∁U∅=U;
(3)∁U(∁UA)=A;
(4)A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅
[化解疑难]
理解补集应关注三点
(1)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念.
(2)∁UA包含三层意思:
①A⊆U;②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合.
(3)若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一.
补集的运算
[例1]
(1)(全国丙卷)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB=( )
A.{4,8} B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}
(2)设U={x|-5≤x<-2,或2 [解析] (1)∵集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},∴∁AB={0,2,6,10}. (2)法一: 在集合U中, ∵x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5, ∴U={-5,-4,-3,3,4,5}. 又∵A={x|x2-2x-15=0}={-3,5}, ∴∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}. 法二: 可用Venn图表示. 则∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}. 答案: (1)C (2){-5,-4,3,4} {-5,-4,5} [类题通法] 求补集的方法 求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求,从全集U中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集. [活学活用] 已知全集U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},求集合B. 解: ∵A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, ∴U={1,2,3,4,5,6,7}.又∵∁UB={1,4,6}, ∴B={2,3,5,7}. 集合的交、并、补的综合运算 [例2] 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁UA)∪B,A∩(∁UB),∁U(A∪B). [解] 如图所示. ∵A={x|-2 U={x|x≤4}, ∴∁UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, ∁UB={x|x<-3,或2 A∩B={x|-2 故(∁UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4}, A∩(∁UB)={x|2 ∁U(A∪B)={x|x<-3,或3≤x≤4}. [类题通法] 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错. (2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. [活学活用] 已知全集U={x|x<10,x∈N*},A={2,4,5,8},B={1,3,5,8},求∁U(A∪B),∁U(A∩B),(∁UA)∩(∁UB),(∁UA)∪(∁UB). 解: ∵A∪B={1,2,3,4,5,8}, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ∴∁U(A∪B)={6,7,9}. ∵A∩B={5,8}, ∴∁U(A∩B)={1,2,3,4,6,7,9}. ∵∁UA={1,3,6,7,9},∁UB={2,4,6,7,9}, ∴(∁UA)∩(∁UB)={6,7,9}, (∁UA)∪(∁UB)={1,2,3,4,6,7,9}. 说明: 作出Venn图,如图所示,由图形也可以直接观察出来结果. 补集的综合应用 [例3] 设全集U=R,M={x|3a [解] 解: ∁UP={x|x<-2,或x>1}, ∵M∁UP, ∴分M=∅,M≠∅两种情况讨论. ①M≠∅时,如图可得 或 ∴a≤- 或 ≤a<5. ②M=∅时,应有3a≥2a+5,∴a≥5. 综上可知,a的取值范围是 . [类题通法] 利用补集求参数应注意两点 (1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形. (2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. [活学活用] 已知集合A={x|x0}.若A∩(∁RB)=∅,求实数a的取值范围. 解: ∵B={x|x<-1,或x>0}, ∴∁RB={x|-1≤x≤0}, 因而要使A∩(∁RB)=∅,结合数轴分析(如图), 可得a≤-1. 即实数a的取值范围是{a|a≤-1}. [典例] (12分)已知集合A={x|x2-4x+2m+6=0},B={x|x<0},若A∩B≠∅,求实数m的取值范围. [解题流程] [活学活用] 已知集合A={x|2m-1 若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 解: 先求A∩B=∅,分A=∅和A≠∅讨论: ①若A=∅,则2m-1≥3m+2,解得m≤-3, 此时A∩B=∅. ②若A≠∅,要使A∩B=∅,则应有 即 所以- ≤m≤1. 综上,当A∩B=∅时,m的取值范围是 . 又因为U=R,所以当A∩B≠∅时,m的取值范围是 所以A∩B≠∅时,实数m的取值范围是 [随堂即时演练] 1.设全集U={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={2,3,5},则(∁UA)∩B=( ) A.{3,5} B.{4,6} C.{1,2,3,5}D.{1,2,4,6} 解析: 选A ∵U={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6}, ∴∁UA={1,3,5}.又∵B={2,3,5}, ∴(∁UA)∩B={3,5}. 2.如图所示,U是全集,A,B是U的子集,则阴影部分所表示的集合是( ) A.A∩BB.A∪B C.B∩(∁UA)D.A∩(∁UB) 解析: 选C 由题图可知,阴影部分所表示的集合为B∩(∁UA). 3.已知集合A={3,4,m},集合B={3,4},若∁AB={5},则实数m=________. 解析: ∵∁AB={5},∴5∈A,且5∉B. ∴m=5. 答案: 5 4.已知全集U=R,M={x|-1 解析: ∵U=R,∁UN={x|0 ∴N={x|x≤0,或x≥2}, ∴M∪N={x|-1 ={x|x<1,或x≥2}. 答案: {x|x<1,或x≥2} 5.设U=R,已知集合A={x|-5 (1)A∩B; (2)A∪B;(3)A∪(∁UB); (4)B∩(∁UA);(5)(∁UA)∩(∁UB). 解: 如图 (1). (1)A∩B={x|0≤x<5}. (2)A∪B={x|-5 (3)如图 (2). ∁UB={x|x<0,或x≥7}, ∴A∪(∁UB)={x|x<5,或x≥7}. (4)如图(3). (3) ∁UA={x|x≤-5,或x≥5}, B∩(∁UA)={x|5≤x<7}. (5)法一: ∵∁UB={x|x<0,或x≥7}, ∁UA={x|x≤-5,或x≥5},画数轴如下图, ∴(∁UA)∩(∁UB)={x|x≤-5,或x≥7}. 法二: (∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={x|x≤-5,或x≥7}. [课时达标检测] 一、选择题 1.设全集U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,4,5},则(∁UA)∩(∁UB)=( ) A.∅ B.{4} C.{1,5}D.{2,5} 解析: 选A ∵∁UA={2,4},∁UB={1,3}, ∴(∁UA)∩(∁UB)=∅,故选A. 2.若全集U={1,2,3,4,5},∁UP={4,5},则集合P可以是( ) A.{x∈N*||x|<4} B.{x∈N*|x<6} C.{x∈N*|x2≤16} D.{x∈N*|x3≤16} 解析: 选A 由题意得P={1,2,3}.又因为选项A化简得{1,2,3},选项B化简得{1,2,3,4,5},选项C化简得{1,2,3,4},选项D化简得{1,2},故选A. 3.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2-5x+p=0},若∁UM={-1,1},则实数p的值为( ) A.-6B.-4 C.4D.6 解析: 选D 由已知可得M={2,3},则2,3是方程x2-5x+p=0的两根,则p=6,故选D. 4.已知U为全集,集合M,N是U的子集.若M∩N=N,则( ) A.(∁UM)⊇(∁UN) B.M⊆(∁UN) C.(∁UM)⊆(∁UN) D.M⊇(∁UN) 解析: 选C ∵M∩N=N,∴N⊆M, ∴(∁UM)⊆(∁UN). 5.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 选B A={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4}, ∴A∪B={1,2,4},∴∁U(A∪B)={3,5},故选B. 二、填空题 6.设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(∁UB)=________. 解析: ∵U=R,B={x|x>1}, ∴∁UB={x|x≤1}. 又∵A={x|x>0}, ∴A∩(∁UB)={x|x>0}∩{x|x≤1}={x|0 答案: {x|0 7.已知集合A={x|x 解析: ∵B={x|1 又∵A∪(∁RB)=R,A={x|x 观察∁RB与A在数轴上表示的区间,如图所示: 可得当a≥2时,A∪(∁RB)=R. 答案: {a|a≥2} 8.全集U=R,A={x|x<-3或x≥2},B={x|-1 解析: 如图所示, 由图可知C⊆∁UA,且C⊆B, ∴C=B∩(∁UA). 答案: B∩(∁UA) 三、解答题 9.设全集U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|-2≤x≤1},若M∁UP,求实数a的取值范围. 解: ∁UP={x|x<-2或x>1}, ∵M∁UP, ∴分M=∅,M≠∅,两种情况讨论. (1)M≠∅时,如图可得 或 ∴a≤- ,或 ≤a<5. (2)M=∅时, 应有3a≥2a+5⇒a≥5. 综上可知,a≤- ,或a≥ . 10.已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3 (1)求A∪B,(∁RA)∩B; (2)若A∩C≠∅,求a的取值范围. 解: (1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3 所以A∪B={x|2≤x<10}. 因为A={x|2≤x<7}, 所以∁RA={x|x<2,或x≥7}, 则(∁RA)∩B={x|7≤x<10}. (2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x2, 所以a的取值范围为{a|a>2}. 11.设全集I=R,已知集合M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1)求(∁IM)∩N; (2)记集合A=(∁IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若B∪A=A,求实数a的取值范围. 解: (1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴∁IM={x|x∈R且x≠-3}, ∴(∁IM)∩N={2}. (2)A=(∁IM)∩N={2}, ∵A∪B=A, ∴B⊆A, ∴B=∅或B={2}, 当B=∅时,a-1>5-a, ∴a>3; 当B={2}时, 解得a=3, 综上所述,所求a的取值范围为{a|a≥3}. 12.已知全集U={小于10的正整数},A⊆U,B⊆U,且(∁UA)∩B={1,8},A∩B={2,3},(∁UA)∩(∁UB)={4,6,9}. (1)求集合A与B; (2)求(∁RU)∪[∁Z(A∩B)](其中R为实数集,Z为整数集). 解: 由(∁UA)∩B={1,8},知1∈B,8∈B; 由(∁UA)∩(∁UB)={4,6,9}, 知4,6,9∉A,且4,6,9∉B; 由A∩B={2,3},知2,3是集合A与B的公共元素. 因为U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 所以5∈A,7∈A. 画出Venn图,如图所示. (1)由图可知A={2,3,5,7},B={1,2,3,8}. (2)(∁RU)∪[∁Z(A∩B)]={x|x∈R,且x≠2,x≠3}.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 学年 数学 必修 一学案补集 综合 应用