精校版北京文数高考试题文档版含答案.docx
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精校版北京文数高考试题文档版含答案
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2016年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷)
本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无
效。
考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合A={x|2
(A){x|2 (2)复数1+2i= 2-i (B){x|x<4或x>5} (C){x|2 (D){x|x<2或x>5} (A)i(B)1+i(C)-i(D)1-i (3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为 (A)8 (B)9 (C)27 (D)36 (4)下列函数中,在区间(-1,1) 上为减函数的是 (A)y= 1 1-x (B)y=cosx (C)y=ln(x+1) (D)y=2-x (5)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 (A)1(B)2(C)(D)2 (6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为 (A)1 5 (B)2 5 (C)8 25 (D)9 25 (7)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x−y的最大值为 (A)−1(B)3(C)7(D)8 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远(单位: 米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳(单位: 次) 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 (8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则 (A)2号学生进入30秒跳绳决赛(B)5号学生进入30秒跳绳决赛 (C)8号学生进入30秒跳绳决赛(D)9号学生进入30秒跳绳决赛 第二部分(非选择题共110分) 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) (9)已知向量a=(1,3),b=(3,1) ,则a与b夹角的大小为. (10)函数f(x)= xx-1 (x≥2)的最大值为. (11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为. x2y2 (12)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为( 0),则a=; b=. (13)在△ABC中,∠A=2π 3 ,a= c,则b=. c (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况: 第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售 出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有种; ②这三天售出的商品最少有种. 三、解答题(共6题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15)(本小题13分) 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和. (16)(本小题13分) 已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间. (17)(本小题13分) 某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米 的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图: (I)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少? (II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费. (18)(本小题14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC (I)求证: DC⊥平面PAC; (II)求证: 平面PAB⊥平面PAC; (III)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF? 说明理由. (19)(本小题14分) x2+y2= 已知椭圆C: a2b21过点A(2,0),B(0,1)两点. (I)求椭圆C的方程及离心率; (II)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证: 四边形ABNM的面积为定值. (20)(本小题13分) 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c. (I)求曲线y=f(x).在点(0,f(0))处的切线方程; (II)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围; (III)求证: a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. 2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分) (1)C (2)A(3)B(4)D(5)C(6)B(7)C(8)B二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) π (9) 6 (10)2(11)3 2 (12)12 (13)1(14)1629 三、解答题(共6小题,共80分) (15)(共13分) 解: (I)等比数列{b}的公比q=b3=9=3, b23 所以b=b2=1,b=bq=27. 1q43 设等差数列{an}的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2. 所以an=2n-1(n=1,2,3,⋅⋅⋅). (II)由(I)知,an =2n-1,bn =3n-1. 因此c=a+b=2n-1+3n-1. nnn 从而数列{cn}的前n项和 n S=1+3+⋅⋅⋅+(2n-1)+1+3+⋅⋅⋅+3n-1 =n(1+2n-1)+1-3n 21-3 =2+3n-1 2 (16)(共13分) 解: (I)因为f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx ⎛π⎫ =2sinç⎝2ωx+4⎪⎭, 所以f(x)的最小正周期T=2π=π. π 依题意,ω 2ωω =π,解得ω=1. ⎛π⎫ (II)由(I)知f(x)= 2sinç⎝2x+4⎪⎭. 函数y=sinx的单调递增区间为⎡2kπ-π,2kπ+π⎤(k∈Z). ⎢⎣ 由2kπ-π≤2x+π≤2kπ+π, 242 22⎥⎦ 得kπ-3π≤x≤kπ+π. 88 所以f(x)的单调递增区间为⎡kπ-3π,kπ+π⎤(k∈Z). ⎣⎢88⎥⎦ (17)(共14分) 解: (I)由用水量的频率分布直方图知, 该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15. 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意,w至少定为3. (II)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表: 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27] 频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根据题意,该市居民该月的人均水费估计为: 4⨯0.1+6⨯0.15+8⨯0.2+10⨯0.25+12⨯0.15+17⨯0.05+22⨯0.05+27⨯0.05 =10.5(元). (18)(共13分) 解: (I)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC. 又因为DC⊥AC, 所以DC⊥平面PAC. (II)因为AB//DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC. 因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB. 所以AB⊥平面PAC. 所以平面PAB⊥平面PAC. (III)棱PB上存在点F,使得PA//平面CEF.证明如下: 取PB中点F,连结EF,CE,CF. 又因为E为AB的中点,所以EF//PA. 又因为PA⊄平面CEF,所以PA//平面CEF. (19)(共14分) 解: (I)由题意得,a=2,b=1. x22 所以椭圆C的方程为+y 4 =1. 又c==3, 所以离心率e==. a2 (II)设P(x,y)(x<0,y<0),则x2+4y2=4. 000000 又A(2,0),B(0,1),所以, 直线PA的方程为y= y0x0-2 (x-2). 令x=0,得y =-2y0 ,从而BM=1-y =1+ 2y0. x0-2x0-2 直线PB的方程为y=y0-1x+1. x0 令y=0,得xN =-x0 y-1 ,从而AN=2-xN =2+ x0. y-1 00 所以四边形ABNM的面积 S=1AN⋅BM 2 =1⎛2+ x0⎫⎛1+ 2y0⎫ ç ⎝y0 ⎪ç ⎭⎝x0 -2⎪ = x2+4y2+4xy-4x-8y+4 000000 2(x0y0-x0-2y0+2) =2x0y0-2x0-4y0+4 x0y0-x0-2y0+2 =2. 从而四边形ABNM的面积为定值. (20)(共13分) 解: (I)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f'(0)=b, 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx+c. (II)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c, 所以f'(x)=3x2+8x+4. 令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-2. 3 f(x)与f'(x)在区间(-∞,+∞)上的情况如下: x (-∞,-2) -2 ⎛ç-2,-2⎫⎪ ⎝3⎭ -2 3 ⎛-2,+∞⎫ ç⎝3⎪⎭ f'(x) + 0 - 0 + f(x) c c-32 27 所以,当c>0且c-32<0时,存在x∈(-4,-2),x∈⎛-2,-2⎫, 27 x∈⎛-2,0⎫,使得f(x)=f(x 1 )=f(x)=0. 2ç⎝ 3⎪⎭ 3ç⎝3⎪⎭ 123 由f(x)的单调性知,当且仅当c∈⎛0,32⎫时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点. ⎝ç27⎪⎭ (III)当∆=4a2-12b<0时,f'(x)=3x2+2ax+b>0,x∈(-∞,+∞), 0 此时函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,所以f(x)不可能有三个不同零点.当∆=4a2-12b=0时,f'(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x. 当x∈(-∞,x0)时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,x0)上单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点. 综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有∆=4a2-12b>0.故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件. 当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件. 因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
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