高三月考试题 数学 含答案.docx
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高三月考试题数学含答案
2021年高三5月月考试题数学含答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分。
请把答案填写在答题纸相应的位置上.
1.设全集,则▲.
2.复数满足,则复数的模▲.
3.在区间上随机地取一个数,则的概率为▲.
4.棱长均为2的正四棱锥的体积为▲.
5.一组数据的平均数是1,方差为2,则▲.
6.如图所示的流程图,当输入n的值为10时,则输出S的值
为▲.
7.用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的体
积为▲.
8.不等式组
表示的平面区域的面积为2,则实数的值为▲.
9.已知函数,函数的图象与轴两个相邻交点的距离为,则的单调递增区间是▲.
10.如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,,AB=3,
AD=
,E为BC中点,若
·
=3,则
·
=▲.
11.已知椭圆的一个顶点为,右焦点为,直线BF与椭圆的另一交点为M,且,则该椭圆的离心率为▲.
12.已知实数x,y满足,.若,,
则的值为▲.
13.若存在实数a、b使得直线与线段(其中,)只有一个公共点,
且不等式对于任意成立,则正实数p的取值范围为▲.
14.在平面直角坐标系xOy中,已知直线与轴,轴分别交于M,N两点,点P在圆
上运动.若恒为锐角,则实数的取值范围是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)在中,角的对边分别为、、,已知,且.
(1)求的面积;
(2)若,,成等差数列,求的值.
16.(本小题满分14分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,侧面DCC1D1是菱形,且平面DCC1D1平面ABCD,∠D1DC=,E是A1D的中点,F是BD1的中点.
(1)求证:
EF∥平面ABCD;
(2)
若M是CD的中点,求证:
平面D1AM⊥平面ABCD.
17.(本题满分14分)如图,某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD,其中BMN是半径为1百米的扇形,.管理部门欲在该地从M到D修建小路:
在上选一点P(异于M、N两点),过点P修建与BC平行的小路PQ.问:
点P选择在何处时,才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小?
并说明理由.
18.(本题满分16分)已知定点,圆C:
,
(1)过点向圆C引切线,求切线长;
(2)过点作直线交圆C于,且,求直线的斜率;
(3)定点在直线上,对于圆C上任意一点R都满足,试求两点的坐标.
19.(本小题满分16分)已知函数,,函数为的导函数.
(1)数列满足,求;
(2)数列满足,
当且时,证明:
数列为等比数列;
当,0时,证明:
.
20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=xlnx-k(x-1),k∈R.
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)在区间(1,+∞)上有1个零点,求实数k的取值范围;
(3)是否存在正整数k,使得f(x)+x>0在x∈(1,+∞)上恒成立?
若存在,求出k的最大值;若不存在,说明理由.
数学附加题
第Ⅱ卷(附加题,共40分)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(选修4-1:
几何证明选讲)如图,是半圆的直径,是延长线上一点,切半圆于点,垂足为,且求的长.
B.(选修4-2:
矩阵与变换)已知矩阵.
(1)求矩阵;
(2)求矩阵的逆矩阵.
C.(选修4-4:
坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线上两点的极坐标分别为,圆的参数方程(为参数).
(1)设为线段的中点,求直线的直角坐标方程;
(2)判断直线与圆的位置关系.
D.(选修4-5:
不等式选讲)设均为正实数,且,求的最小值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,面,点在棱上,且,,,,,分别是的中点.
(1)求证:
;
(2)求截面与底面所成的锐二面角的大小.
23.(本小题满分10分)在数列中,已知
.
(1)求
(2)证明:
.
数学试题参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分。
请把答案填写在答题纸相应的位置上.
1.2.3.4.5.16.547.
8.9.10.-3.11.
12.113.p114.或
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
(1)由,则.……………………………………………2分
故cosB0.又,所以cosB.………………………………4分
故.所以的面积SacsinB.…………………………7分
(2)因为,,成等差数列,所以2bac.
在中,,
即.…………10分
所以.(*)
由
(1)得,,cosB,
代入(*)得,…………………………………12分
故b2,b.……………………………………………………14分
16.
(1)连接AD1,因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
四边形ADD1A1是平行四边形,
又因为E是A1D的中点,所以E是AD1的中点,…………………2分
因为F是BD1的中点,所以EF∥AB,…………………………4分
又因为AB平面ABCD,EF平面ABCD,
所以EF∥平面ABCD.…………………………………………………………7分
(2)连接D1C,在菱形DCC1D1中,因为∠D1DC=60°,
所以△D1DC是等边三角形,
因为M是DC的中点,所以D1M⊥DC,……………………………9分
又因为平面DCC1D1⊥平面ABCD,D1M平面DCC1D1,
平面DCC1D1平面ABCD=DC,
所以D1M⊥平面ABCD…………………………………………………………12分
又因为D1M平面D1AM,
所以平面D1AM⊥平面ABCD.…………………………………………………………14分
17.(本题满分14分)
连接,过作垂足为,
过作垂足为
设,…………………………………………………………2分
若,在中,;
若则
若则
…………………………………………………………4分
在中,
…………………………………………………………6分
所以总路径长
……………………………8分
…………………………………………………………10分
令,;当时,;
当时,…………………………………………………………12分
所以当时,总路径最短.
答:
当时,总路径最短.…………………………………14分
18.
(1)设切线长为,由题意,,圆的标准方程为,半径,
所以,过点向圆C所引的切线长为...........................4分
(2)设,由知点P是AQ的中点,所以点Q的坐标为.
由于两点P,Q均在圆C上,故,
,即,
—
得,
由
得代入
整理得
,所以或,
再由
得或,或.…………………………….10分
(2)设,则
又
,
即,
由
、
得,
化简得,
由于关于的方程
有无数组解,所以,
解得或.
所以满足条件的定点有两组或.................16分
19.
(1)因为,所以.………………2分
故,
因此.……………6分
(2)
因为,,
所以.……8分
又因为,所以.
因为且,
所以数列为等比数列.……………………………10分
因为,,所以,
可得;……………………………12分
故.
所以……………………………14分
因为,所以.
所以……………………………16分
20.
(1)当时,,.……………………1分
令,解得,令,解得,
∴的单调增区间为,单调减区间为.……………………3分
(2),当时,由,知,
所以,在上是单调增函数,且图象不间断,
又,∴当时,,
∴函数在区间上没有零点,不合题意………………………5分
当时,由,解得,
若,则,故在上是单调减函数,
若,则,故在上是单调增函数,
∴当时,,
又∵,在上的图象不间断,
∴函数在区间上有1个零点,符合题意.……………………7分
综上所述,的取值范围为.………………………………………8分
(3)假设存在正整数,使得在上恒成立,
则由知,从而对恒成立(*)……………9分
记,得,………………………10分
设,,
∴在是单调增函数,
又在上图象是不间断的,
∴存在唯一的实数,使得,……………………12分
∴当时,在上递减,
当时,在上递增,
∴当时,有极小值,即为最小值,
,…………14分
又,∴,
∴,
由(*)知,,又,,
∴的最大值为3,
即存在最大的正整数,使得在上恒成立.……………16分
第Ⅱ卷(附加题,共40分)
21A.由
,即,在中,,
又在中,,所以得,
在由,得故
21B.
(1),...................5分
(2),...................10分
C.
(1)由题意,点的直角坐标分别为,
为线段的中点,点的直角坐标为,直线的直角坐标方程为;............5分
(2)由题意知直线的直角坐标方程为,圆心到直线的距离
,所以直线与圆相交..................10分
D.由可化为,因为均为正实数
所以(当且仅当时等号成立)即
可解得,即,故的最小值为16.
22.
(1)以点为坐标原点,以建立空间直角坐标系.
由题意可得
.
设平面的PBC的法向量为,
则
取为平面PBC的一个法向量,
,又, 则..................5分
(2)设平面MCN的法向量为,,
则
取为平面MCN的一个法向量,
又为平面ABCD的一个法向量,
,
所以截面与底面所成的锐二面角的大小为......10分
23.
(1)............3分
(2)由
(1)及猜想时,.
(
)当时,上述不等式成立,即有,............5分
(
)假设时,,则时,
即时,则,综上,时,.
则
即,
又,所以.............10分
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