人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》 综合练习题及答案.docx
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人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》综合练习题及答案
人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》
综合练习题
1.已知:
如图AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,∠1=∠2.求证:
BE∥CF.
证明:
∵AB⊥BC,CD⊥BC(已知)
∴∠ABC=90°,∠BCD=90°( )
即∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°
又∵∠1=∠2( )
∴ = ( )
∴BE∥CF( )
2.如图,BD平分∠ABC,F在AB上,G在AC上,FC与BD相交于点H,∠3+∠4=180°,试说明∠1=∠2.(请通过填空完善下列推理过程)
解:
因为∠3+∠4=180°(已知)
∠FHD=∠4( ).
所以∠3+ =180°.
所以FG∥BD( ).
所以∠1= ( ).
因为BD平分∠ABC.
所以∠ABD= ( ).
所以 .
3.如图,E、F分别在AB和CD上,∠1=∠D,∠2与∠C互余,AF⊥CE于G,求证:
AB∥CD.
证明:
∵AF⊥CE ,
∴∠CGF=90°,
∵∠1=∠D ,
∴AF∥ ,
∴∠4= =90°( ),
又∵∠2与∠C互余(已知),∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠2+∠C=∠2+∠3=90°,
∴∠C= ,
∴AB∥CD .
4.已知:
直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,H,并且∠AGE+∠DHE=180°.
(1)如图1,求证:
AB∥CD;
(2)如图2,点M在直线AB,CD之间,连接GM,HM,求证:
∠M=∠AGM+∠CHM;
(3)如图3,在
(2)的条件下,射线GH是∠BGM的平分线,在MH的延长线上取点N,连接GN,若∠N=∠AGM,∠M=∠N+
∠FGN,求∠MHG的度数.
5.如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,
(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系?
加以证明;
(2)若∠CEF=70°,求∠ACB的度数.
6.问题情境:
如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路是过点P作PE∥AB,通过平行线的性质来求∠APC.
(1)按照小明的思路,求∠APC的度数;
(2)问题迁移:
如图2,AB∥CD,点P在射线ON上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B、D两点之间运动时,问∠APC与α、β之间有何数量关系?
请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,如果点P不在B、D两点之间运动时(点P与点O、B、D三点不重合),请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
7.如图,已知∠FEA=∠EAF,AE平分∠CAF.
(1)求证:
EF∥AC;
(2)若AC平分∠DAB,∠BAF与∠BAD互补,∠FEA﹣∠DAC=50°,求∠F.
8.如图,已知:
AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1.求证:
AD平分∠BAC.
下面是部分推理过程,请你将其补充完整:
∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G(已知)
∴∠ADC=∠EGC=90°
∴AD∥EG( ).
∴∠1=∠2( ).
=∠3(两直线平行,同位角相等)
又∵∠E=∠1(已知)
∴∠2=∠3( ).
∴AD平分∠BAC( ).
9.
(1)已知△ABC中,D、E分别是边AB、AC上的点,∠A=80°,∠C=70°,∠ADE=30°.求证:
DE∥BC.
(2)阅读并补全下列命题的证明过程:
求证:
在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行.
已知:
如图,直线AB、CD、EF在同一平面内,AB⊥EF于点M,CD⊥EF于点N.
求证:
.
证明:
∵AB⊥EF(已知),
∴∠AME=90°(垂直的定义).
∵CD⊥EF(已知),
∴∠CNE=90°(垂直的定义).
∵∠ =∠ .
∴ ∥ .
10.问题情境
(1)如图1,已知AB∥CD,∠PBA=125°,∠PCD=155°,求∠BPC的度数.
佩佩同学的思路:
过点P作PG∥AB,进而PG∥CD,由平行线的性质来求∠BPC,求得∠BPC= °;
问题迁移
(2)图2,图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形,三角板的两直角边与直尺的两边重合,∠ACB=90°,DF∥CG,AB与FD相交于点E,有一动点P在边BC上运动,连接PE,PA,记∠PED=∠α,∠PAC=∠β.
①如图2,当点P在C,D两点之间运动时,请直接写出∠APE与∠α,∠β之间的数量关系;
②如图3,当点P在B,D两点之间运动时,∠APE与∠α,∠β之间有何数量关系?
请判断并说明理由.
参考答案
1.解:
,∵AB⊥BC,CD⊥BC(已知),
∴∠ABC=90°,∠BCD=90°(垂直的定义),
即∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠3=∠4(等量代换),
∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行).
故答案为:
垂直的定义;已知;∠3,∠4,等量代换;内错角相等,两直线平行.
2.解:
∵∠3+∠4=180°(已知),∠FHD=∠4(对顶角相等),
∴∠3+∠FHD=180°,
∴FG∥BD(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠1=∠ABD(两直线平行,同位角相等),
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠2(角平分线的定义),
∴∠1=∠2,
故答案为:
对顶角相等,∠FHD,同旁内角互补,两直线平行,∠ABD,两直线平行,同位角相等,∠2,角平分线的定义,∠1=∠2.
3.证明:
如图所示:
∵AF⊥CE(已知),
∴∠CGF=90°,
∵∠1=∠D(已知),
∴AF∥ED,
∴∠4=∠CGF=90°
(两直线平行,同位角相等),
又∵∠2与∠C互余(已知),∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠2+∠C=∠2+∠3=90°,
∴∠C=∠3,
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),
故答案为:
已知,已知,ED,两直线平行,同位角相等;∠3,内错角相等,两直线平行.
4.
(1)证明:
如图1,∵∠AGE+∠DHE=180°,∠AGE=∠BGF.
∴∠BGF+∠DHE=180°,
∴AB∥CD;
(2)证明:
如图2,过点M作MR∥AB,
又∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥MR.
∴∠GMR=∠AGM,∠HMR=∠CHM.
∴∠EGF=∠AEG+∠GFC;
(3)解:
如图3,令∠AGM=2α,∠CHM=β,则∠N=2α,∠M=2α+β,
∵射线GH是∠BGM的平分线,
∴
,
∴∠AGH=∠AGM+∠FGM=2α+90°﹣α=90°+α,
∵
,
∴
,
∴∠FGN=2β,
过点N作HT∥GN,
则∠MHT=∠N=2α,∠GHT=∠FGN=2β,
∴∠GHM=∠MHT+∠GHT=2α+2β,
∠CGH=∠CHM+∠MHT+∠GHT=β+2α+2β=2α+3β,
∵AB∥CD,
∴∠AGH+∠CGH=180°,
∴90°+α+2α+3β=180°,
∴α+β=30°,
∴∠GHM=2(α+β)=60°.
5.解:
(1)EF和AB的关系为平行关系.理由如下:
∵CD∥AB,∠DCB=70°,
∴∠DCB=∠ABC=70°,
∵∠CBF=20°,
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=50°,
∵∠EFB=130°,
∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°,
∴EF∥AB;
(2)∵EF∥AB,CD∥AB,
∴EF∥CD,
∵∠CEF=70°,
∴∠ECD=110°,
∵∠DCB=70°,
∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB,
∴∠ACB=40°.
6.
(1)解:
过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)∠APC=∠α+∠β,
理由:
如图2,过P作PE∥AB交AC于E,
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,
∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β;
(3)如图所示,当P在BD延长线上时,
∠CPA=∠α﹣∠β;
如图所示,当P在DB延长线上时,
∠CPA=∠β﹣∠α.
7.
(1)证明:
∵AE平分∠CAF,
∴∠EAF=∠EAC,
∵∠FEA=∠EAF,
∴∠FEA=∠EAC,
∴EF∥AC;
(2)解:
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠BAC
设∠DAC=∠BAC=x,则∠DAB=2x
∵∠FEA﹣∠DAC=50°
∴∠FEA=∠DAC+50°=x+50°
∴∠EAF=∠EAC=∠FEA=x+50°
∴∠BAF=∠EAF+∠EAC+∠BAC=x+50°+x+50°+x=3x+100°
∵∠BAF与∠BAD互补
∴∠BAF+∠BAD=180°
∴3x+100°+2x=180°
解得:
x=16°
∴∠EAF=∠FEA=x+50°=66°
∴∠F=180°﹣∠FEA﹣∠EAF=180°﹣66°﹣66°=48°
8.解:
∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G(已知)
∴∠ADC=∠EGC=90°
∴AD∥EG,(同位角相等,两直线平行).
∴∠1=∠2,(两直线平行,内错角相等).
∠E=∠3(两直线平行,同位角相等)
又∵∠E=∠1(已知)
∴∠2=∠3,(等量代换).
∴AD平分∠BAC.(角平分线的定义)
故答案为:
同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;∠E;等量代换;角平分线的定义.
9.
(1)证明:
∵∠A=80°,∠C=70°,
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣80°﹣70°=30°,
∵∠ADE=30°,
∴∠ADE=∠B=30°,
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行);
(2)求证:
AB∥CD,
证明:
∵AB⊥EF(已知),
∴∠AME=90°(垂直的定义).
∵CD⊥EF(已知),
∴∠CNE=90°(垂直的定义).
∵∠AME=∠CNE,
∴AB∥CD.
故答案为:
AB∥CD,∠AME,∠CNE,AB,CD.
10.解:
(1)过点P作PG∥AB,则PG∥CD,
由平行线的性质可得∠B+∠BPG=180°,∠C+∠CPG=180°,
又∵∠PBA=125°,∠PCD=155°,
∴∠BPC=360°﹣125°﹣155°=80°,
故答案为:
80;
(2)①如图2,
∠APE与∠α,∠β之间的数量关系为∠APE=∠α+∠β;
②如图3,∠APE与∠α,∠β之间的数量关系为∠APE=∠β﹣∠α;理由:
过P作PQ∥DF,
∵DF∥CG,
∴PQ∥CG,
∴∠β=∠QPA,∠α=∠QPE,
∴∠APE=∠APQ﹣∠EPQ=∠β﹣∠α.
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