近世代数试题库.docx
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近世代数试题库
近世代数
一、单项选择题
1、若A={1,2,3,5},B={2,3,
6,7},则AcB=()
A{1,2,3,4}B、{2,3,6,
7}
C、{2,3}D、{1,2,3,5,6,
7}
答案:
C
2、循环群与交换群关系正确的是()
A循环群是交换群B、交换群是循环群
C、循环群不一定是交换群D以上都不对
答案:
A
3、下列命题正确的是()
An次对换群Sn的阶为n!
B整环一定是域
C、交换环一定是域D以上都不对
答案:
A
I
4、关于陪集的命题中正确的是()设H是G的子群,那么
对于VaH'bH,有aHcbH,或aH=bH
B、
以上都对
答案:
D
5、设A=R(实数域),B=R+(正实数域)f?
:
a-10a?
?
^A则f
是从A到B的()
A、单射B、满射
C、一一映射D既非单射也非满射
答案:
D
&有限群中的每一个元素的阶都()
A、有限B、无限
C为零D
答案:
A
C、有限D
或素数或无限
答案:
D
8、若S是半群,则()
A、任意abc^S,都有a(bc)=(ab)cB、任意a,^S,都有ab=ba
C必有单位元D任何元素必存在逆元
答案:
A
9、在整环Z中,6的真因子是()
A、±1,±6B、±2,±3
C±1,±2D±3,±6
答案:
B
10、偶数环的单位元个数为()
A、0个B、1个
C2个D无数个
答案:
A
设A1,A2,…,An和D都是非空集合,而f是A^An到D的一个映射,那么()
集合A1,A2,…,An,D中两两都不相同;
AXA2X…XAn中不同的元对应的象必不相同;
一个元(a1,a2,…,an的象可以不唯一。
答案:
B
12、指出下列那些运算是二元运算()
A在整数集Z上,aV=口^
ab
B、在有理数集Q上,&叱=』0耳;
C、在正实数集R"上,a0b=alnb;
n>o}上,a叱=
答案:
D
13、设。
是整数集Z上的二元运算,其中a「b=max{a,b}(即取a与b中的最大者),那么「在Z中
()
A不适合交换律;B、不适合结合律;
C存在单位元;D每个元都有逆元。
答案:
C
14、设(Gr为群,其中G是实数集,而乘法-a-b^a+b+k,这里k为G中固定的常数。
那么群
(G/)中的单位元e和元x的逆元分别是()
A、0和-x;B1和0;C、k和x-2k;d"-k和-(x+2k)。
答案:
D
15、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a=bxc二acx=xac,那么x=()
A、bc'a」;Bc'a』;Ca^bc」;Db'「ca。
答案:
A16、设H是群G的子群,且G有左陪集分类 如果6,那么G的阶|g|=() A、6;B、24;C、10;D、12。 答案: B17、设f: GtG2是一个群同态映射,那么下列错误的命题是() A、f的同态核是Gi的不变子群; B、G2的不变子群的逆象是Gi的不变子群; C、G的子群的象是G2的子群; D、Gi的不变子群的象是G2的不变子群。 答案: D -来源网络,仅供个人学习参考 18、设f: RiTR2是环同态满射,f(a)=b,那么下列错误的结论为() A、若a是零元,则b是零元;B、若a是单位元,则b是单位元; C、若a不是零因子,则b不是零因子;D、若R2是不交换的,则Ri不交换。 答案: C 佃、下列正确的命题是() 答案: A 20、若I是域F的有限扩域, E是I的有限扩域,那么() 答案: D 二、填空题 1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和()。 答案: 传递性 2、设A,B都为有限集,且|a卜m,|B= =n,则1A%B|=0. 答: mn 3.设R是集合A={平面上所有直线}上的关系: I hRI2=I1//I2或ll“2_(Il,l2忘A),则R()等价关系。 答: 是 4、设群G中的元素a的阶为m则an=e的充要条件是()。 答: mn 5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是()。 答: Wa’b€H,有ab4迂H 6n次对称群Sn的阶是()。 答: n! 答: a=e 9、最小的数域是()0 答: 答: 答: 交换群 答: 16、如果环R的乘法满足交换律,即FaRER,有ab-ba,则称r为()环 答: 交换环 17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做()环。 答: 数环 18、设有限域F的阶为81,则的特征P=()o 答: 3 19、已知群G中的元素a的阶等于50,则a4的阶等于()。 答: 25 20、一个有单位元的无零因子()称为整环。 答: 交换环 a是一个国际标准书号,那么a=()。 答: 6 22.剩余类加群乙2有()个生成元. 6 设群G的元a的阶是n,贝Uak的阶是() 答: 答: 答: 答: 凯莱定理说: 任一个子群都同一个()同构。 n/(k,n)((k,n)表示k和n的最大公约数) 32、 给出一个5-循环置换兀=(31425),那么兀J=()。 33、 若I是有单位元的环R的由a生成的主理想,那么I中的元素可以表达为()。 34、若R是一个有单位元的交换环,I是R的一个理想,那么%是一个域当且仅当I是()。 答: 一个最大理想 35、整环I的一个元P叫做一个素元,如果()。 答: P既不是零元,也不是单位,且q只有平凡因子 36、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域,如果()。 答: E的每一个元都是F上的一个代数元 二、判断题 9、 若环R满足左消去律,那么R必定没有右零因子。 (V) F(x)中满足条件P(…。 的多项式叫做元爲域F上的极小多项式。 (X) 10、若域E的特征是无限大,那么E含有一个与%p)同构的子域,这里Z是整数环,(P)是由素 数P生成的主理想。 (X) 四、解答题 1、A={数学系的全体学生},规定关系R: a,b亡AaRb^a与b同在一个班级,证明r是a的一个等价关系。 答案: 自反性: 自己与自己显然在同一个班级对称性: 若a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级传递性: 若a与b同在一个班级,b与c同在一个班级,显然a与c同在一个班级. 2、在R中的代数运算"是否满足结合率和交换率? a叱=a+b+ab(等式右边指的是普通数的运算) 答: 因为对于Va,b,^R,有(a叱尸c=(a+b+ab尸c =(a+b+ab)+c+(a+b+abc=a+b+ab+c+ac+bc+abc, 根据实数的加法与乘法的运算率得 又a°b=a+b+ab=b+a+ba=bGa。 所以,R的代数运算「既满足结合率,又满足交换率。 3、设集合A='abc,d},B={c,d,e},求aUB,AnB,A-B,(A-B)U(B-A)。 答案: aUb={c,d},AnB={a,b,c,d,e}, 4、设G=S3=0)(12)(13)(23)(123)(132》, 1 二❻“12》,求G关于子群H的左陪集分解。 答: (1H=(12)H=H, (13H=(123)H=03)(123》 (23H=(132)H={(23)(132? 。 因而,G关于子群H的左陪集分解为 ,证明e=f,而且是S的唯一单位元。 G=HU(13HU(23)H。 5、设半群(S,・)既有左单位元: e,又有右单位元 答: 证明ef=e(因f是右单位元),ef=f(因e是左单位元),得e= 若S还有单位元e1,则e=ee=0,故e是S的唯一单位元。 6对于下面给出的Z到Z的映射f,g,h 计算fOg,gOf,g(3h,hOg,fSgOh。 答案: 7、设H是G的不变子群,则Fa-G,有aHa""=H。 答: 因H是G的不变子群,故对于V^G,有aH=Ha,于是 -来源网络,仅供个人学习参考 aHa-=(aHa~=(Haa二=H(aa')=He=H。 8、设0是环R的零元,则对于Va亡R,O・a=a0=O。 答: 因为a-R,有 0£=(0+0)a=0G+0£ 由于R关于加法作成群,即R对于加法满足消去律,在上式中两边同时消去0a,得0”a=0。 同理 可得a0=0。 9、如果半群G有一个左单位元e,并且对于Va-G,存在左逆元a」-G,使得a」a=e,则G是 一个群。 iii亠' 答: Va-G,由条件知,有左逆元a-G,使得aa=e,而对于a在G中也存在左逆元a,使 得aa」=e,贝q有所以,a的左逆元a」也是a的右逆元,即a】在G中有逆元a」又由于ae-afeAakfea」a=ea=a,知e是G的单位元。 故G是一个群。 10、证明R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法左消去律成立。 答: 设环R没有左零因子,如果有ab=ac,,则有 ab-ac=a(b-c)=0, 当aH0时,由于R没有左零因子,得b-c=0,即b二C,R中关于乘法左消去律成立。 反之,若在R中关于乘法左消去律成立,如果a工0,有ab=0,即 ab=0=a、0,左消去a得b=0,即R中非零元均不是左零因子,故R为无零因子。 11、若h,1? 是R的两个理想,则 匚h'X2匚丨2也是R的一个理想。 答: Fx,y€li+12,Fr忘R,则有 X=xi+x2,y=yi+y2,(Xi,yi丘Ii;X2,y^I2),从而 X-y=(Xi—yi)中(X2-y2)亡li+l2; rx=「(Xj+X2)二伙^,+rx2€h+12; xr=(x1+X2)r=xj+X2r壬h+12。 所以,h+l2是R的一个理想。 12、设G=S3M (1),(12),(13),(23),(123),(132)},H={ (1),(12)},则h是G的一个子群,写出G关于H 的所有左陪集的分解. 13、在Q中的代数运算"是否满足结合率和交换率? 2299 答: 取a=1,b=2,c=3,则(1^2尸3=2"3=3=9,1"(2"^=r^3=9=81 22 又1"2=2=4,2"1=1=1。 所以,Q的代数运算。 既不满足结合率,又不满足交换率。 14、设G2七”12”13"23”123”132》,H七川2^,求g关于子群H的右陪集分解。 I 答: H (1)=H(12)-qiHiZy,,III H(13)=H(132)=03)(132》, H(23)=H(123)=勺23)(123》。 因而,G关于子群H的右陪集分解为 G=HUh(130H(23)。 15、设S是有单位元e的半群,a-S,若a有左逆元ai,又有右逆元a2,则a是可逆元,且ai=a2 是a的唯一的逆元。 答: 证明由条件知,aia^e,aa2^e,则有a2=ea2=(aiaa2=ai(aa2)=aie=ai, 若b,c都是a的逆元,同理有b=be=b(ac)=(baC=ec=c 故a有唯一的逆元。 16、设R是环,贝UWa,b忘R,有(―a)b=a(—b)=—(ab)。 答.由(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0,得 -(ab)=(-a)b, 同理,由a(4)+ab=a(4+b)=a“0=0,得 —(ab)=a(—b)。 17、设H是G的子群,若对于羽亡G,Vh亡H,有ahafH,贝UH是G的不变子群。 答: 任取定a-G,对于ah忘aH,由于aha‘亡H,则存在h^H,使得 aha‘=h,=ah=ga忘Ha=aH匸Ha; 1111 Vha亡Ha,由于aha=ah(a)H,故存在h2H,使得 aha=h2=ha=ah2忘aH=Ha匸aH。 1 因此,对于如G,有aH=Ha。 故H是G的不变子群。 18、如果G是半群,则G是群的充分必要条件是: PaZG,方程ax=b和ya=b在G中有解。 答: 必要性。 因G是群,则如G在G中有逆元a」,则a'b,ba'-G,分别代入方程ax=b和ya=b,有 111_1 afeb)=(aab=eb=b(baa=b(aa)=be=b 即ab,ba分别为方程ax=b和ya=b的解。 充分性。 因G是半群,则是非空集合,取定a-G,则方程ya=a在G中有解e,即存在G中的元素e,使得ea=a。 下证e是G的左单位元。 ,方程ax=b和在G中有解c,即ac=b, 于是eb=e(ac)=(eajc=ac=b,则e是G的一个左单位元。 又Wa-G,方程ya=e在G中有解a',即aa=e,得a'是a的一个左逆元。 从而得G中的每一个 元素a都有左逆元。 故G是群。 19、证明R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法右消去律成立。 答: 设环R没有左零因子,则也无右左零因子。 于是由ba=ca,得 ba—ca=(b—c)a 当aHO时,由于R没有右零因子,得b_c=0,即b=c,R中关于乘法右消去律成立。 反之,若在R中关于乘法右消去律成立,如果3工0,有ba=O,即 ba=0=0a,右消去a得b=0,即R中非零元均不是右零因子,故R为无零因子。 20、设R为交换环,a迂R,la=&迂Rax=0},证明: 〔a是R的理想。 答: (1)Fa’bGa,则ax=0,bx=0,从而ax—bx=0,(a-Rx^O 即a—b引a (2)WaGaNr忘R,有ax=0,由于R为交换环,从而rax=r0=axr=0r=0,即ar,ra忘Ia。 因此Ia是R的理想。 1 21、G=(z,+),对G规定结合法“e” aOb=a+b-2证明(G』)是一个群。 证明••旳"为G的一个二元运算显然,设a,b,c是G中任意三个元, =a+(b-2+c)-2fOw+c-2)=a0(b: ;c)。 G中结合法"0"满足结合律。 又2壬G,易知2是(G,°)的单位元。 如G,直接验算得4-a是a在(G,0)中的逆元。 所以(G'O)是一个群。 ’ 22、设G是非Abel群,证明存在非单位元a,b,b使ab=ba。 证: 利用元素和它的逆可交换,或元素和它的幕可交换。 但要求元素和它的逆(幕)不等。 由于 G是非Abel群,必有阶数大于2的元素a,因而a^a-1,取b=a-1,则ab=ba。 23、设H (1)a-1b€H, (2)b€aH,(3)aH=bH,(4)aHnbH^? 。 => 证本题主要熟悉陪集性质。 用循环证法。 : a-1b€H=>ci1b=h=>b=ah=>b€aH。 (2) (3) b€aH=>b=ah=>a=bh=>aH属于bH,综上得aH=bH => 含Z的分式域Q,因此F=Q : aHnbHM? =>存在hi,h2€H使ahi=bh2=>a-1b=hih2-1=>a-1b€H。 24、叙述群的定义。 答: 封闭律、结合律、有单位元、每元有逆元。 25、列出2个群的实例,其中一个是有限群,另一个是无限群。 答: 加群Zn与乙 26、整数环的商域(分式域)是什么域? " 答: 有理数域。 27、证明有理数域不包含真子域。 答案: 有理数域Q的任何子域F—定含单位元1,因此F包含整数环乙而一个域含整数环Z则必 I
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