高一函数大题训练及答案.docx
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高一函数大题训练及答案
高中函数大题专练
1、已知关于的不等式,其中。
⑴试求不等式的解集;
⑵对于不等式的解集,若满足(其中为整数集)。
试探究集合能否为有限集?
若能,求出使得集合中元素个数最少的的所有取值,并用列举法表示集合;若不能,请说明理由。
2、对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。
①对任意的,总有;
②当时,总有成立。
已知函数与是定义在上的函数。
(1)试问函数是否为函数?
并说明理由;
(2)若函数是函数,求实数的值;
(3)在
(2)的条件下,讨论方程解的个数情况。
3.已知函数.
(1)若,求的值;
(2)若对于xx成立,求实数的取值范围.
4.设函数是定义在上的偶函数.若当时,
(1)求在上的解析式.
(2)请你作出函数的大致图像.
(3)当时,若,求的取值范围.
(4)若关于的方程有7个不同实数解,求满足的条件.
5.已知函数。
(1)若函数是上的增函数,求实数的取值范围;
(2)当时,若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围;
(3)对于函数若存在区间,使时,函数的值域也是,则称是上的闭函数。
若函数是某区间上的闭函数,试探求应满足的条件。
6、设,求满足下列条件的实数的值:
至少有一个正实数,使函数的定义域和值域相同。
7.对于函数,若存在,使成立,则称点为函数的不动点。
(1)已知函数有不动点(1,1)和(-3,-3)求与的值;
(2)若对于任意实数,函数总有两个相异的不动点,求的取值范围;
(3)若定义在实数集R上的奇函数存在(有限的)个不动点,求证:
必为奇数。
8.设函数的图象为、关于点A(2,1)的对称的图象为,对应的函数为.
(1)求函数的解析式;
(2)若直线与只有一个交点,求的值并求出交点的坐标.
9.设定义在上的函数满足下面三个条件:
①对于任意正实数、,都有;
②;
③当时,总有.
(1)求的值;
(2)求证:
上是减函数.
10.已知函数是定义在上的奇函数,当时,(为常数)。
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求在上的最小值,及取得最小值时的,并猜想在上的单调递增区间(不必证明);
(3)当时,证明:
函数的图象上至少有一个点落在直线上。
11.记函数的定义域为,的定义域为,
(1)求:
(2)若,求、的取值范围
12、设。
(1)求的反函数:
(2)讨论在上的单调性,并加以证明:
(3)令,当时,在上的值域是,求的取值范围。
13.集合A是由具备下列性质的函数组成的:
(1)函数的定义域是;
(2)函数的值域是;
(3)函数在上是增函数.试分别探究下列两小题:
(Ⅰ)判断函数,及是否属于集合A?
并简要说明理由.
(Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合A的函数,不等式,是否对于任意的总成立?
若不成立,为什么?
若成立,请证明你的结论.
14、设函数f(x)=ax+bx+1(a,b为实数),F(x)=
(1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立,求F(x)表达式。
(2)在
(1)的条件下,当x时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
(3)(理)设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,求证:
F(m)+F(n)>0。
15.函数f(x)=(a,b是非零实常数),满足f
(2)=1,且方程f(x)=x有且仅有一个解。
(1)求a、b的值;
(2)是否存在实常数m,使得对定义域中任意的x,f(x)+f(m–x)=4恒成立?
为什么?
(3)在直角坐标系中,求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。
函数大题专练答案
1、已知关于的不等式,其中。
⑴试求不等式的解集;
⑵对于不等式的解集,若满足(其中为整数集)。
试探究集合能否为有限集?
若能,求出使得集合中元素个数最少的的所有取值,并用列举法表示集合;若不能,请说明理由。
解:
(1)当时,;当且时,;
当时,;(不单独分析时的情况不扣分)
当时,。
(2)由
(1)知:
当时,集合中的元素的个数无限;
当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集。
因为,当且仅当时取等号,
所以当时,集合的元素个数最少。
此时,故集合。
2、对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。
①对任意的,总有;
②当时,总有成立。
已知函数与是定义在上的函数。
(1)试问函数是否为函数?
并说明理由;
(2)若函数是函数,求实数的值;
(3)在
(2)的条件下,讨论方程解的个数情况。
解:
(1)当时,总有,满足①,
当时,
,满足②
(2)若时,不满足①,所以不是函数;
若时,在上是增函数,则,满足①
由,得,
即,
因为
所以与不同时等于1
当时,,
综合上述:
(3)根据(2)知:
a=1,方程为,
由 得
令,则
由图形可知:
当时,有一解;
当时,方程无解。
3.已知函数.
(1)若,求的值;
(2)若对于xx成立,求实数的取值范围.
[解]
(1)当时,;当时,.
由条件可知,即,
解得.
,.
(2)当时,,
即.
,.
,
故的取值范围是.
4.设函数是定义在上的偶函数.若当时,
(1)求在上的解析式.
(2)请你作出函数的大致图像.
(3)当时,若,求的取值范围.
(4)若关于的方程有7个不同实数解,求满足的条件.
[解]
(1)当时,.
(2)的大致图像如下:
.
(3)因为,所以
,
解得的取值范围是.
(4)由
(2),对于方程,当时,方程有3个根;当时,方程有4个根,当时,方程有2个根;当时,方程无解.…15分
所以,要使关于的方程有7个不同实数解,关于的方程有一个在区间的正实数根和一个等于零的根。
所以,即.
5.已知函数。
(1)若函数是上的增函数,求实数的取值范围;
(2)当时,若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围;
(3)对于函数若存在区间,使时,函数的值域也是,则称是上的闭函数。
若函数是某区间上的闭函数,试探求应满足的条件。
解:
(1)当时,
设且,由是上的增函数,则
由,知,所以,即
(2)当时,在上xx成立,即
因为,当即时取等号,
,所以在上的最小值为。
则
(3)因为的定义域是,设是区间上的闭函数,则且
(4)①若
当时,是上的增函数,则,
所以方程在上有两不等实根,
即在上有两不等实根,所以
,即且
当时,在上递减,则,即,所以
②若
当时,是上的减函数,所以,即,所以
6、设,求满足下列条件的实数的值:
至少有一个正实数,使函数的定义域和值域相同。
解:
(1)若,则对于每个正数,的定义域和值域都是
故满足条件
(2)若,则对于正数,的定义域为,
但的值域,故,即不合条件;
(3)若,则对正数,定义域,
的值域为,
综上所述:
的值为0或
7.对于函数,若存在,使成立,则称点为函数的不动点。
(1)已知函数有不动点(1,1)和(-3,-3)求与的值;
(2)若对于任意实数,函数总有两个相异的不动点,求的取值范围;
(3)若定义在实数集R上的奇函数存在(有限的)个不动点,求证:
必为奇数。
解:
(1)由不动点的定义:
,∴
代入知,又由及知。
∴,。
(2)对任意实数,总有两个相异的不动点,即是对任意的实数,方程总有两个相异的实数根。
∴中,
即xx成立。
故,∴。
故当时,对任意的实数,方程总有两个相异的不动点。
………...................
(3)是R上的奇函数,则,∴(0,0)是函数的不动点。
若有异于(0,0)的不动点,则。
又,∴是函数的不动点。
∴的有限个不动点除原点外,都是成对出现的,
所以有个(),加上原点,共有个。
即必为奇数
8.设函数的图象为、关于点A(2,1)的对称的图象为,对应的函数为.
(1)求函数的解析式;
(2)若直线与只有一个交点,求的值并求出交点的坐标.
解.
(1)设是上任意一点,①
设P关于A(2,1)对称的点为
代入①得
(2)联立
或
(1)当时得交点(3,0);
(2)当时得交点(5,4).
9.设定义在上的函数满足下面三个条件:
①对于任意正实数、,都有;
②;
③当时,总有.
(1)求的值;
(2)求证:
上是减函数.
解
(1)取a=b=1,则
又.且.
得:
(2)设则:
依
再依据当时,总有成立,可得
即成立,故上是减函数。
10.已知函数是定义在上的奇函数,当时,(为常数)。
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求在上的最小值,及取得最小值时的,并猜想在上的单调递增区间(不必证明);
(3)当时,证明:
函数的图象上至少有一个点落在直线上。
解:
(1)时,,则,∵函数是定义在上的奇函数,即,∴,即,又可知,∴函数的解析式为,;
(2),∵,,∴,
∵,∴,
即时,。
猜想在上的单调递增区间为。
(3)时,任取,∵,
∴在上单调递增,即,即,,∴,
∴,∴当时,函数的图象上至少有一个点落在直线上。
11.记函数的定义域为,的定义域为,
(1)求:
(2)若,求、的取值范围
解:
(1),
(2),由,得,则,即
,。
12、设。
(1)求的反函数:
(2)讨论在上的单调性,并加以证明:
(3)令,当时,在上的值域是,求的取值范围。
解:
(1)
(2)设,∵
∴时,,∴在上是减函数:
时,,∴在上是增函数。
(3)当时,∵在上是减函数,
∴,由得,即,可知方程的两个根均大于,即,当时,∵在上是增函数,∴(舍去)。
综上,得。
13.集合A是由具备下列性质的函数组成的:
(1)函数的定义域是;
(2)函数的值域是;
(3)函数在上是增函数.试分别探究下列两小题:
(Ⅰ)判断函数,及是否属于集合A?
并简要说明理由.
(Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合A的函数,不等式,是否对于任意的总成立?
若不成立,为什么?
若成立,请证明你的结论.
解:
(1)函数不属于集合A.因为的值域是,所以函数不属于集合A.(或,不满足条件.)
在集合Axx,因为:
①函数的定义域是;②函数的值域是;③函数在上是增函数.
(2),
对于任意的总成立
14、设函数f(x)=ax+bx+1(a,b为实数),F(x)=
(1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立,求F(x)表达式。
(2)在
(1)的条件下,当x时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
(3)(理)设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,求证:
F(m)+F(n)>0。
解:
(1)f(-1)=0∴由f(x)0恒成立知△=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0
∴a=1从而f(x)=x+2x+1∴F(x)=,
(2)由
(1)可知f(x)=x+2x+1∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1,由于g(x)在上是单调函数,知-或-,得k-2或k6,
(3)f(x)是偶函数,∴f(x)=f(x),而a>0∴在上为增函数
对于F(x),当x>0时-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x),当x<0时-x>0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x),
∴F(x)是奇函数且F(x)在上为增函数,
m>0,n<0,由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0。
15.函数f(x)=(a,b是非零实常数),满足f
(2)=1,且方程f(x)=x有且仅有一个解。
(1)求a、b的值;
(2)是否存在实常数m,使得对定义域中任意的x,f(x)+f(m–x)=4恒成立?
为什么?
(3)在直角坐标系中,求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。
解
(1)由f
(2)=1得+b=2,又x=0一定是方程=x的解,
所以=1无解或有解为0,若无解,则ax+b=1无解,得a=0,矛盾,若有解为0,则b=1,所以a=。
(2)f(x)=,设存在常数m,使得对定义域中任意的x,f(x)+f(m–x)=4恒成立,
取x=0,则f(0)+f(m–0)=4,即=4,m=–4(必要性),又m=–4时,f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性),所以存在常数m=–4,使得对定义域中任意的x,f(x)+f(m–x)=4恒成立,
(3)|AP|2=(x+3)2+()2,设x+2=t,t≠0,则|AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2–+=(t2+)+2(t–)+2=(t–)2+2(t–)+10=(t–+1)2+9,
所以当t–+1=0时即t=,也就是x=时,|AP|min=3。
16、已知函数是奇函数。
(1)求的值;
(2)请讨论它的单调性,并给予证明。
解
(1)是奇函数,;
即,解得:
,其中(舍);
经验证当时,确是奇函数。
(2)先研究在(0,1)内的单调性,任取x1、x2∈(0,1),且设x1 得>0,即在(0,1)内单调递减; 由于是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数在(-1,0)内单调递减。
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- 函数 训练 答案