高中数学选修23第一章综合能力测试带解析人教版.docx
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高中数学选修23第一章综合能力测试带解析人教版
高中数学选修2-3第一章综合能力测试(带解析人教版)
高中数学选修2-3第一章综合能力测试(带解析人教版)
(计数原理)
时间120分钟,满分150分.
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种选出3种分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有()
A.24种B.18种
C.12种D.6种
[答案]B
[解析]因为黄瓜必须种植,在余下的3种蔬菜品种中再选出两种,进行排列共有C23A33=18种.故选B.
2.已知C7n+1-C7n=C8n(n∈N*),则n等于()
A.14B.12
C.13D.15
[答案]A
[解析]因为C8n+C7n=C8n+1,所以C7n+1=C8n+1.
∴7+8=n+1,∴n=14,故选A.
3.某铁路所有车站共发行132种普通客票,则这段铁路共有车站数是()
A.8B.12
C.16D.24
[答案]B
[解析]∵A2n=n(n-1)=132.∴n=12.故选B.
4.(1+x)7的展开式中x2的系数是()
A.42B.35
C.28D.21
[答案]D
[解析]展开式中第r+1项为Tr+1=Cr7xr,T3=C27x2,∴x2的系数为C27=21.
5.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()
A.3×3!
B.3×(3!
)3
C.(3!
)4D.9!
[答案]C
[解析]本题考查捆绑法排列问题.由于一家人坐在一起,可以将一家三口人看作一个整体,一家人坐法有3!
种,三个家庭即(3!
)3种,三个家庭又可全排列,因此共(3!
)4种.注意排列中在一起可用捆绑法,即相邻问题.
6.(1-x)10展开式中x3项的系数为()
A.-720B.720
C.120D.-120
[答案]D
[解析]本题考查了二项式展开定理,要认清项的系数与二项式系数的区别C310(-x)3=-C310x3,故选D.
7.若多项式x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a9=()
A.9B.10
C.-9D.-10
[答案]D
[解析]x10的系数为a10,∴a10=1,
x9的系数为a9+C910a10,∴a9+10=0,∴a9=-10.
故应选D.
8.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()
A.12种B.10种
C.9种D.8种
[答案]A
[解析]本题考查了组合及分步计数原理的运用.
分两步进行:
第一步,先派一名教师到甲地,另一名教师去乙地,共有C12种选法;第二步,选派两名学生到甲地,另两名学生到乙地,有C24种选法,由分步乘法计数原理知,共有不同选派方案C12C24=12种.
9.在x+13x24的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有()
A.3项B.4项
C.5项D.6项
[答案]C
[解析]∵Tr+1=Cr24(x)24-rx-r3=Cr24x12-56r,r∈{0,1,2,3,…,24},
∴r∈{0,6,12,18,24}时,x的幂的指数是整数,共有5项.
故应选C.
10.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有()
A.12种B.18种
C.36种D.54种
[答案]B
[解析]由题意不同的放法共有C13C24=18种.
11.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有()
A.70种B.80种
C.100种D.140种
[答案]A
[解析]考查排列组合有关知识.
解:
可分两类,男医生2名,女医生1名或男医生1名,女医生2名,
∴共有C25C14+C15C24=70.故选A.
12.(2014安徽理,8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有()
A.24对B.30对
C.48对D.60对
[答案]C
[解析]解法1:
先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数,然后根据正方体六个面的特征计算总对数.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8条,同理与BD成60°角的面对角线也有8条,因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线,共组成16对,又正方体共有6个面,所有共有16×6=96对.因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60°角时,有AD1,计算与AD1成60°角时有AC,故AD1与AC这一对被计算了2次),因此共有12×96=48对.
解法2:
间接法.正方体的面对角线共有12条,从中任取2条有C212种取法,其中相互平行的有6对,相互垂直的有12对,∴共有C212-6-12=48对.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上)
13.将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案有________.
[答案]24种
[解析]将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中,每个班级至少安排一名学生有C24A33种分配方案,其中甲同学分配到A班共有C23A22+C13A22种方案.因此满足条件的不同方案共有C24A33-C23A22-C13A22=24(种).
14.2-13x6的展开式中的第四项是________.
[答案]-160x
[解析]展开式中第四项为C3623-13x3=-160x.
15.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有________种(用数字作答).
[答案]264
[解析]由条件上午不测“握力”,则4名同学测四个项目,有A44;下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复,如
甲乙丙丁
上午台阶身高立定肺活量
下午
下午甲测“握力”乙、丙、丁所测不与上午重复有2种,甲测“身高”、“立定”、“肺活量”中一种有3×3=9,
故A44(2+9)=264种.
16.已知1+kx26k∈N+的展开式中x8的系数小于120,则k=____________.
[答案]1
[解析]x8的系数为C46k4=15k4,
由已知得,15k4<120,∴k4<8,
又k∈N+,∴k=1.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数?
[解析]解法1:
不能被5整除,末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个,有A15种方法;再从余下的5个数字中选4个放在其他数位,有A45种方法.由分步乘法计数原理,所求五位数有A15A45=600(个).
解法2:
不含有数字5的五位数有A55个;含有数字5的五位数,末位不选5有A14种方法,其余数位有A45种选法,含有5的五位数有A14A45个.因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数有A55+A14A45=600(个).
解法3:
由1~6组成的无重复数字的五位数有A56个,其中能被5整除的有A45个.因此,所求的五位数共有A56-A45=720-120=600(个).
18.(本题满分12分)从-1、0、1、2、3这5个数中选3个不同的数组成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数.
(1)开口向上的抛物线有多少条?
(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条?
[解析]
(1)要使抛物线的开口向上,必须a>0,
∴C13A24=36(条).
(2)开口向上且不过原点的抛物线,必须a>0,c≠0,
∴C13C13C13=27(条).
19.(本题满分12分)求(x-3x)9的展开式中的有理项.
[解析]∵Tr+1=Cr9(x12)9-r(-x13)r=(-1)rCr9x27-r6,
令27-r6∈Z,即4+3-r6∈Z,且r∈{0,1,2,…,9}.
∴r=3或r=9.
当r=3时,27-r6=4,T4=(-1)3C39x4=-84x4;
当r=9时,27-r6=3,T10=(-1)9C99x3=-x3.
∴(x-3x)9的展开式中的有理项是:
第4项,-84x4和第10项,-x3.
20.(本题满分12分)某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的有3人.
(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?
(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?
[解析]从O型血的人中选1人有28种不同的选法.从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
(1)任选1人去献血,即无论选择哪种血型的哪一个人,这件“任选1人去献血”的事情都能完成,所以由分类加法计数原理,共有28+7+9+3=47种不同的选法.
(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事情才完成,所以用分步乘法计数原理,共有28×7×9×3=5292种不同的选法.
21.(本题满分12分)已知(3x2+3x2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
[解析]令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n=4n,
又展开式二项式系数和为C0n+C1n+…+Cnn=2n,
由题意有4n-2n=992.
即(2n)2-2n-992=0,(2n-32)(2n+31)=0,
所以n=5.
(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大项为第三、四两项,
它们是T3=C25(3x2)3(3x2)2=90x6.
T4=C35(3x2)2(3x2)3=270x223.
(2)设展开式中第k+1项的系数最大.
又Tk+1=Ck5(3x2)5-k(3x2)k=Ck53kx10+4k2,
得Ck53k≥Ck-153k-1Ck53k≥Ck+153k+1⇒3k≥16-k15-k≥3k+1
⇒72≤k≤92.
又因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=C4534x263=405x263.
22.(本题满分14分)已知(1+2x)n展开式中,某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍,且等于它后一项系数的56,试求该展开式中二项式系数最大的项.
[解析]Tr+1=Crn(2x)r=2rCrnxx2,
它的前一项的系数为2r-1Cr-1n,
它的后一项的系数为2r+1Cr+1n,
根据题意有2rCrn=22r-1Cr-1n,2rCrn=562r+1Cr+1n,
2r-1=n,8r+3=5n,∴n=7,r=4.
∴展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项.
T4=C37(2x)3=280x32,T5=C47(2x)4=560x2.
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- 高中数学 选修 23 第一章 综合 能力 测试 解析 人教版