几何图形初步知识.docx
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几何图形初步知识.docx
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几何图形初步知识
直线、射线和线段
一、直线、射线和线段
“根据我们画的图形,想一想,直线、射线和线段有什么相同点?
有什么不同点?
”
相同点
不同点
直线
直
没有端点
射线
直
一个端点
线段
直
两个端点
二、角
1.角的概念。
(从一点引出两条射线,组成的图形叫做角。
)接着提问:
“角的各部分的名称是什么?
”(顶点和边。
)
“角的大小与什么有关系?
”(与角的两边叉开的大小有关。
)
“角的大小与所画角的边的长短有没有关系?
”(没有。
)
“角用什么样的符号表示?
”
“计量角的大小单位是什么?
用什么符号表示?
”
2.角的分类。
我们可以把小于180。
的角分成哪几类?
每一类的名称是什么?
”(分成三类:
锐角、直角和钝角。
)
3.画角和量角。
如果让我们任意画一个角,用直尺就可以了。
要画一个指定度数的角就必须用量角器画。
”
三、垂直和平行
1.垂直和平行的概念。
“在同一平面内,两条直线的相互位置关系有哪几种情况?
”(平行和相交。
)
“什么样的两条直线叫做互相垂直?
”(两条直线相交成直角。
)
“其中一条直线叫做另一条直线的什么线?
”(垂线。
)
“这两条直线的交点叫做什么?
”(垂足。
)
“什么样的两条直线叫做互相平行?
”(在同一平面内不相交的两条直线。
)
“其中一条直线叫做另一条直线的什么线?
”(平行线。
)
“平行线”和“垂线”是就两条直线的位置关系谈的,只能说一条直线是另一条直线的“平行线”或“垂线”:
2.画垂线和平行线。
“我们已经会判断两条直线垂直或平行,实际上用同样的方法还可以画一条直线的垂线或平行线。
同学们想一想应该怎样画?
”
“什么叫做直线外一点到这条直线的距离?
”(从这点到直线所画的垂线段的长度。
)
四、三角形
1.三角形的概念。
“我们已经学过三角形,请同学们自己画出几种不同的三角形。
”
“大家已经会画三角形了,说一说三角形是什么样的图形。
”(三角形是由三条线段围成的图形。
)
“三角形具有什么特性?
日常生活中哪些地方用到这一特性?
”
“在三角形中一个顶点的对边是哪一条边?
看一看自己画的三角形,指一下每个顶点的对边。
”
“想一想三角形的高指的是什么,怎样画一个三角形的高。
”教师巡视,检查学生的画法是否正确。
2.三角形的分类。
“同学们刚才画了几种不同的三角形,它们有什么不同?
是按照什么标准分类的?
”(两种标准:
按角分类,按边分类。
)
“按照三角形中角的不同可以把三角形分成几类?
它们分别叫做什么三角形?
”
(可以把三角形分成三类:
锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
)
“每类三角形的三个角各是什么角?
”
“我们学过什么特殊的三角形?
”(等边三角形和等腰三角形。
)
五、四边形
1.四边形的概念。
“什么样的图形是四边形?
自己画—个四边形。
”
“什么样的图形叫做平行四边形?
”
“平行四边形有什么特点?
”
“平行四边形的底指的是什么?
用什么字母表示?
”
“平行四边形的高指的是什么?
用什么字母表示?
“
“怎样画出平行四边形的高?
”让学生自己画一画。
“长方形与平行四边形有什么关系?
”教师可以用准备好的活动的平行四边形进行演示。
“正方形与长方形有什么关系?
”
圆和轴对称图形
—、圆
“同一个圆内的所有半径的长度怎样?
直径呢?
”(长度相等。
)
“半径和直径有什么关系?
”(半径是直径的一半。
)
“想一想,要画一个指定的圆,应该怎样画?
”教师还可以问:
“通过画圆你们发现圆的大小与什么有关:
”(与半径的长短有关。
)
“在一个圆里有多少条半径?
有多少条直径?
”
“两端都在圆上的线段是不是都是直径?
为什么?
”
二、轴对称图形
(如果一个图形沿着——条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形叫做轴对称图形。
)“这条直线叫做什么?
”(对称轴。
)
特别要弄清楚:
圆有无数条对称轴。
“我们学过的图形中,还有哪些是轴对称图形。
”(等腰三角形、等腰梯形。
)
平面图形的周长和面积
立体图形的认识,立体图形的表面积和体积
一、立体图形的认识
“同学们想一想,我们学过哪些立体图形?
”(长方体、正方体、圆柱、圆锥和球*。
)
1.长方体和正方体。
“长方体是什么样的图形?
它有几个面?
几条棱?
几个顶点?
”
“长方体的6个面是什么形?
”
“长方体的面有什么特点?
”
“长方体的12条棱可以分成几组?
有什么特点?
”
“正方体是什么样的图形?
它有几个面?
几条棱?
几个顶点?
”
“正方体的6个面都是什么形?
”“正方体的12条棱有什么特点?
”
教师可以把上面的复习整理成下表。
面
棱
顶点
长方形
6个面
相对的面完全相同
特殊情况两个相对面为正方形
12条棱
相对的棱长度相等
8个顶点
正方形
6个面都是正方形
12条棱长度全都相等
8个顶点
“长方体和正方体之间有什么关系?
”
2.圆柱和圆锥。
“圆柱是什么样的图形?
它有几个面?
每个面各是什么形状?
”
“圆锥是什么样的图形?
它有几个面?
每个面各是什么形状?
”
圆柱:
3个面,2个大小相等的圆和1个曲面。
圆锥:
2个面,1个圆和1个曲面。
二、立体图形的表面积和体积
1.立体图形的表面积和体积的概念。
“请举例说明什么是立体图形的表面积。
三、立体图形表面积的计算
四、立体图形体积的计算
“长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积各应该怎样计算?
”
相交线与平行线第一节相交线
序号
知识点
内容
记忆方法
1
邻补角
有一条公共边,而且它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
互为邻补角的含义:
①在位置上相邻,②两角和180°;互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定是邻补角
类似∠1与∠2的两个角
2
对顶角
有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,这样的两个角互为对顶角。
3
对顶角性质
对顶角相等。
对顶角是一种特殊位置关系,有直线相交才会有对顶角
4
垂线
当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
两直线相交成90°时两直线互相垂直。
5
垂线的性质
1.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
6
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
垂线段的长度
7
同位角
两个角都在被截直线的同方,并且在第三条直线(截线)的同侧,这样的一对角叫做同位角
同方同侧
8
内错角
两个角都在被截直线之间,并且在第三条直线(截线)的两侧,这样的一对角叫做内错角
之间两侧
9
同旁内角
两个角都在被截直线之间,并且在第三条直线(截线)的同侧,这样的一对角叫做同旁内角。
之间同侧
练习题:
1.如右图所示,结合图形解答下列问题:
①∠1和∠2是直线_______和直线_______被第三条直线_______所截而成的_______角;
②∠2与∠3是直线_______和直线_______被第三条直线_______所截而成的_______角;
③∠4与∠A是直线_______和直线_______被第三条直线_______所截而成的_______角。
1.若∠α=28.5°,则∠α的对顶角等于_______,∠α的邻补角等于_______。
2.如右图所示,∠1和∠4是直线_______,_______被直线_______所截构成的_______角;
∠2和∠3是直线_______,_______被直线_______所截构成的_______角。
3.如图所示,直线AB和CD相交于点O,且∠BOC=140°,∠DOE=50°,试判断OA与OE得位置关系,并说明理由。
4.如图所示,AO⊥BO,OE平分∠FOA,且∠FOB=3∠AOE。
求∠EOF的度数。
5.二、阅读课本,回忆知识点
3.两点确定一条直线;★
4.两点之间线段最短(两点之间的距离);★
5.角、角的顶点、边、角平分线的表示及其性质;
6.角的分类(锐角、直角、钝角、平角、周角)、度量(度、分、秒)及计算.
(二)关系角及其性质
1.对顶角、余角、补角(邻补角)、同位角,内错角、同旁内角;
2.对顶角相等;★
3.同角(或等角)的余角(或补角)相等.★
(三)相交线、平行线
1.垂线、垂线段最短(点到直线的距离);
2.过一点(直线上或直线外)有且只有一条直线和已知直线垂直;★
3.会过一点画(作)已知直线的垂线;(一落,二靠,三画)
4.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行;★
5.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.★
6.三线八角与平行线的关系;★
①判定公理:
同位角相等,两直线平行.∵∠1=∠2,∴a∥b.
②判定定理1:
内错角相等,两直线平行.∵∠3=∠2,∴a∥b.
③判定定理2:
同旁内角互补,两直线平行.∵∠3+∠4=1800,∴a∥b.
平行线的性质:
④性质公理:
两直线平行,同位角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.
⑤性质定理1:
两直线平行,内错角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.
⑥性质定理2:
两直线平行,同旁内角互补.∵a∥b,∴∠1+∠2=1800.
7.平行线之间的距离;8.会过直线外一点,画已知直线的平行线.
1、请在括号中填写理由:
①∵∠B=∠3∴AB∥CE()
②∵AB∥CE∴∠A=∠2()
③∵AB∥CE∴∠B+∠BCE=180o()
④∵∠A=∠2∴AB∥CE()
2、如图,填空:
①∵ED∥AC(已知)
∴∠1=∠C()
②∵DF∥(已知)
∴∠2=∠BED()
③∵AB∥DF(已知)
∴∠3=∠()
④∵AC∥ED(已知)
∴∠=∠(两直线平行,内错角相等)
(二)、新课讲解
例:
如图,已知∠1=∠2,AC∥BD,试说明AE∥BD。
解:
∵AC∥BD(已知)
∴∠1=∠AEB(两直线平行,内错角相等)
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠2=∠AEB(等量代换)
∴AE∥BD(内错角相等,两直线平行)
课堂练习(开放性试题,答案不唯一)
3、请结合图形,根据所给定的平行线填入所需的角,并说明理由。
(能否找出所有的情况)
•①∵AB∥CD
•∴∠____=∠_____()
•②∵AD∥BC
•∴∠____=∠_____()
•③∵AE∥CF
•∴∠____=∠_____()
三、框图疏理,再现知识点
四、基础训练,理解知识点
(一)点、线、角
1.点动成 , 动成面,面动成 .
2.如图,直线
上有A、B、C、D四点,能用图中字母表示
的射线有 .线段有 .
3.如图,∵M是线段AB的中点,∴AM= = AB,
或AB= AM= BM.
4.如图,∵OC平分∠AOB,∴∠AOC= =∠AOB
或∠AOB= ∠AOC= ∠BOC.
5.要将一根木条固定在墙上,至少需要 个钉子,
理由是 .
7.角可分为 、 、 三类.1平角= 度,1周角= 度.
1°= ′,1′= ″;23.2°= ° ′;19°12′36″= °.
(二)关系角及性质
1.指出图中:
对顶角:
,同位角:
,内错角:
,
同旁内角:
;图中哪些角是相等的 .
2.若∠A+∠B=90°,则∠A与∠B互为 ,
若∠α+∠β=180°,则∠α与∠β互为 .
3.∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3( );
∵∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,∠2=∠4,∴∠1=∠3( ).
(三)相交线与平行线
1.如图,过点P画直线
的垂线,这样的垂线有条.理由是:
.
若过点P画直线
的平行线,能画 条.理由是:
.
在图中试着画一画,你能说出它的画法吗?
3.若AB∥CD,CD∥EF,则 ∥ ,理由:
.
4.如图,直线a、
被c所截,
(1)∵∠1=∠2 ∴ ∥ ( );
(2)∵∠2=∠3∴ ∥ ( );
(3)∵∠2+∠4=180°∴ ∥ ( ).
5.如图,直线AB、CD被EF所截,若AB∥CD,
则∠EMB= ( );∠AMF= ( );
∠BMF+ =180°( )
6.如图直线AB∥CD,且被EF所截,EG⊥CD,EF=5,FG=3,
则AB、CD之间的距离为 .
五、考题回放,熟悉已考点
1.(06南通)已知∠α=35°19′,则∠α的余角等于()
A.144°41′B.144°81′C.54°41′D.54°81′
2.(05南通)已知,如图
(1)直线AB、CD被直线EF所截,则∠EMB的同位角是()
A.∠AMFB.∠BMFC.∠ENCD.∠END
图
(2)
图(3)
图
(1)
3.(06南通)如图
(2),AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F两点,∠BEF的平分线交CD于G,若∠EFG=72°,则∠EGF等于()
A.36°B.54°C.72°D.108°
4.(04南通)如图(3),在正方体ABCD—A1B1C1D1中,下列棱中与面CC1D1D垂直的棱()
A.A1B1B.CC1C.BCD.CD
六、精讲例题,整合知识点
例1如图所示,已知∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜,∠AOB=40°.在OB上有一点P,从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后,反射光线QR恰好与OB平行,则
∠QPB的度数是()
A.60°B.80°C.100°D.120°
例2如图,已知∠C=∠AOC,OC平分∠AOD,OC⊥OE,∠D=54°.
求∠C、∠BOE的度数.
归纳:
解答(证明)三条原则:
①条理清晰;②言必有据;③因果相应.
八、课时训练,检测知识点
1.选择题:
(1)下列命题中,是真命题的是( )
A.相等的两个角是对顶角
B.有公共顶点的两个角是对顶角
C.一条直线只有一条垂线
D.过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线
(2)如图,如果AD∥BC,则有①∠A+∠B=180°;②∠B+∠C=180°;
③∠C+∠D=180°,上述结论中正确的是()
A.只有①;B.只有②;C.只有③;D.只有①和③
(3)如图,如果AB∥CD,CD∥EF,那么∠BCE等于()
A.∠1+∠2B.∠2-∠1
C.180°-∠2+∠1D.180°-∠1+∠2
2.如图1,小明要由A村去B村,现有三条路可走,走路最近理由是.
3.如图2,要从水渠向水池C引水,在哪里开沟可使水渠最短,请画出图形.理由是———.
图4
图3
4.如图3,已知,∠1=35°,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O.则∠2=度,∠3=度,∠4=度.
5.(05年临汾)如图4,将一副三角板的直角顶点重合,摆放在桌面上,若∠AOD=145°,
则∠BOC=_______度.
八、课后测试
1.判断题:
(1)和为180°的两个角是邻补角.()
(2)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.()
(3)两条直线被第三条直线所截,同位角相等.()
(4)邻补角的角平分线所在的两条直线互相垂直.()
(5)两条直线相交,所成的四个角中,一定有一个是锐角.()
3.如图1,直线AB、CD相交于点O,∠1=∠2.则∠1的对顶角
是_____,∠4的邻补角是______.∠2的补角是_________.
图1
图3
图2
4.如图2,OA⊥OB,OC⊥OD.若∠AOD=144°,则∠BOC=_____.
5.如图3,∠1=82°,∠2=98°,∠3=80°,则∠4=.
6.下列语句中,正确的是()
A.有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角B.互为邻补角的两个角不相等
C.两边互为反向延长线的两个角是对顶角D.交于一点的三条直线形成3对对顶角.
7.如图,AB∥CD.若∠2是∠1的两倍,则∠2等于( )
A.(A)60°B.90°C.120°D.150°
8.一学员在广场上练习驾驶汽车,若其两次拐弯后仍沿原方向前进,则两
次拐弯的角度可能是()
A.第一次向左拐30○,第二次向右拐30○
B.第一次向右拐30○,第二次向左拐130○
C.第一次向右拐50○,第二次向右拐130○
D.第一次向左拐50○.第二次向左拐130○
9.如图,已知:
AB∥CD,∠1=55°∠2=80°,求∠3的度数.
10如图,已知:
AB∥CD,BE∥CF.求证:
∠1=∠4.
相交线与平行线习题
一、选择题(每小题4分,共24分)
1.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形的个数是()
A.0B.1C.2D.3
2.一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么两次拐弯的角度是()
A.第一次右拐50°,第二次左拐130°。
B.第一次左拐50°,第二次右拐50°。
C.第一次左拐50°,第二次左拐130°。
D.第一次右拐50°,第二次右拐50°。
3.同一平面内的四条直线满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是()
A.a∥bB.b⊥d
C.a⊥dD.b∥c
4.三条直线两两相交于同一点时,对顶角有m对,交于不同三点时,对顶角有n对,则m与n的关系是()
A.m=nB.m>n
C.m<nD.m+n=10
5.如图,若m∥n,∠1=105°,则∠2=()
A.55°B.60°C.65°D.75°
6.下列说法中正确的是()
A.有且只有一条直线垂直于已知直线。
B.从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到这条直线的距离。
C.互相垂直的两条直线一定相交。
D.直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中,最短线段的长是3cm,则点A到直线c的距离是3cm。
二、填空题(每小题4分,共20分)
7.两个角的两边两两互相平行,且一个角的
等于另一个角的
,则这两个角的度数分别为。
8.猜谜语(打本章两个几何名称)。
剩下十分钱;两牛相斗。
9.下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是。
(1)摆动的钟摆。
(2)在笔直的公路上行驶的汽车。
(3)随风摆动的旗帜。
(4)摇动的大绳。
(5)汽车玻璃上雨刷的运动。
(6)从楼顶自由落下的球(球不旋转)。
10.如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,O为垂足,如果∠EOD=38°,则∠AOC=,∠COB=。
(第10题图)(第11题图)
11.如图,AC平分∠DAB,∠1=∠2。
填空:
因为AC平分∠DAB,所以∠1=。
所以∠2=。
所以AB∥。
三、做一做(本题10分)
12.已知三角形ABC、点D,过点D作三角形ABC平移后的图形。
四、算一算(本题10分)
13.如图,AD是∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=30°,你能算出∠EAD、∠DAC、∠C的度数吗?
五、想一想(每空3分,共12分)
14.如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°。
将求∠AGD的过程填写完整。
因为EF∥AD,所以∠2=。
又因为∠1=∠2,所以∠1=∠3。
所以AB∥。
所以∠BAC+=180°。
又因为∠BAC=70°,所以∠AGD=。
(二)参考答案
1-6.BBCADD
7.72°,108°8.余角,对顶角9.
(2)和(6)10.52°,128°11.∠BAC,∠BAC,CD。
13.30°,30°,30°14.∠3,DG,∠AGD,110°
16.延长AO与BO,测∠AOB的对顶角。
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