用二分法求方程的近似解高一新教材A版必修第一册.docx
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用二分法求方程的近似解高一新教材A版必修第一册
用二分法求方程的近似解
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思考:
若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?
提示:
二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.
2.二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
(4)判断是否达到精确度ε:
若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤
(2)~(4).
1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是( )
A.[-2,1]B.[-1,0]
C.[0,1]D.[1,2]
A [∵f(-2)=-3<0,f
(1)=6>0,f(-2)·f
(1)<0,故可取[-2,1]作为初始区间,用二分法逐次计算.]
2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是( )
A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001D.|a-b|=0.001
B [据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.]
3.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则不能利用二分法求解的零点是________.
x3 [因为x3左右两侧的函数值同号,故其不能用二分法求解.]
4.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.
(0,0.5) f(0.25) [∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴x0∈(0,0.5),故第二次应计算f(0.25).]
二分法的概念
【例1】 已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
D [图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以用二分法求解的个数为3,故选D.]
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:
其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
B [二分法的理论依据是零点存在定理,必须满足零点两侧函数值异号才能求解.而选项B图中零点两侧函数值同号,即曲线经过零点时不变号,称这样的零点为不变号零点.另外,选项A,C,D零点两侧函数值异号,称这样的零点为变号零点.]
用二分法求函数零点的近似值
[探究问题]
1.用二分法求方程的近似解,如何决定步骤的结束?
提示:
当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时,二分法步骤结束.
2.用二分法求方程的近似解时,精确度不同对零点有影响吗?
提示:
精确度决定步骤的始终,故精确度不同,零点可能会不同.
【例2】 求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零点(精确度0.01).
[思路点拨]
[解] 确定一个包含负数零点的区间(m,n),
且f(m)·f(n)<0.因为f(-1)>0,f(-2)<0,
所以可以取区间(-2,-1)作为计算的初始区间,当然选取在较大的区间也可以.用二分法逐步计算,列表如下:
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(-1)>0,f(-2)<0
(-2,-1)
x0=
=-1.5
f(x0)=4.375>0
(-2,-1.5)
x1=
=-1.75
f(x1)≈2.203>0
(-2,-1.75)
x2=
=-1.875
f(x2)≈0.736>0
(-2,-1.875)
x3=
=-1.9375
f(x3)≈-0.0974<0
(-1.9375,-1.875)
x4=
=-1.90625
f(x4)≈0.3280>0
(-1.9375,-1.90625)
x5=
=-1.921875
f(x5)≈0.1174>0
(-1.9375,-1.921875)
x6=
=-1.9296875
f(x6)≈0.0105>0
(-1.9375,-1.9296875)
由于|-1.9296875+1.9375|=0.0078125<0.01,所以函数的一个负零点近似值可取为-1.9296875.
1.(变条件)求本例函数f(x)在区间[-2,-1]上精确度为0.1的一个零点近似值.
[解] 因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-3x2-9x+1的图象是连续的曲线,根据函数零点的存在性定理可知,它在区间[-2,-1]内有零点,用二分法逐步计算,列表如下:
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(-1)>0,f(-2)<0
(-2,-1)
x0=
=-1.5
f(x0)=4.375>0
(-2,-1.5)
x1=
=-1.75
f(x1)≈2.203>0
(-2,-1.75)
x2=
=-1.875
f(x2)≈0.736>0
(-2,-1.875)
x3=
=-1.9375
f(x3)≈-0.0974<0
(-1.9375,-1.875)
由于|-1.875+1.9375|=0.0625<0.1,所以函数在区间[-2,-1]内的一个近似零点可取为-1.9375.
2.若将本例函数改为“f(x)=x3+2x2-3x-6”,如何求该函数的正数零点?
(精确度0.1)
[解] 确定一个包含正数零点的区间(m,n),
且f(m)·f(n)<0.
因为f(0)=-6<0,f
(1)=-6<0,f
(2)=4>0,
所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间,
用二分法逐步计算,列表如下:
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f
(1)=-6<0,f
(2)=4>0
(1,2)
x1=
=1.5
f(1.5)=-2.625<0
(1.5,2)
x2=
=1.75
f(1.75)≈0.2344>0
(1.5,1.75)
x3=
=1.625
f(1.625)≈-1.3027<0
(1.625,1.75)
x4=
=1.6875
f(1.6875)≈-0.5618<0
(1.6875,1.75)
由于|1.75-1.6875|=0.0625<0.1,所以函数的正数
零点的近似值可取为1.6875.
利用二分法求方程近似解的过程图示
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足:
(1)在区间[a,b]上连续不断;
(2)f(a)·f(b)<0,
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.
1.思考辨析
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)×
2.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是( )
A.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在[a,b]内的所有零点得到
B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在[a,b]内的零点
C.应用“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在[a,b]内有可能无零点
D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解
D [二分法求零点,则一定有且能求出,故B,C不正确;零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到,故A不正确,故选D.]
3.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f
(2)·f(4)<0.取区间的中点x1=
=3,计算得f
(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈________(填区间).
(2,3) [因为f
(2)·f(3)<0,所以零点在区间(2,3)内.]
4.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.0794
0.1918
-0.3604
-0.9989
由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1).
[解] 因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.3125,两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.0625<0.1,因此1.3125是一个近似解.
课后作业 用二分法求方程的近似解
(建议用时:
60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.下面关于二分法的叙述中,正确的是( )
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位
C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成
D.只能用二分法求函数的零点
B [用二分法求函数零点的近似值,需要有端点函数值符号相反的区间,故选项A错误;二分法是一种程序化的运算,故可以在计算机上完成,故选项C错误;求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等,故D错误,故选B.]
2.函数f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程可得f
(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间为( )
A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)
C.(1.5,2)D.不能确定
A [由于f(1.25)·f(1.5)<0,则方程的解所在区间为(1.25,1.5).]
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f
(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.4375)=0.162
f(1.40625)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )
A.1.25B.1.375
C.1.42D.1.5
C [由表格可得,函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.40625,1.4375)之间.结合选项可知,方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.]
4.用二分法求函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( )
A.(0,1)B.(0,2)
C.(2,3)D.(2,4)
B [因为f(0)=20+0-7=-6<0,
f(4)=24+12-7>0,
f
(2)=22+6-7>0,所以f(0)·f
(2)<0,所以零点在区间(0,2)内.]
5.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )
A.[1,4]B.[-2,1]
C.
D.
D [∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],∴第三次所取的区间可能为
,
,
,
.]
二、填空题
6.已知函数f(x)=x3-2x-2,f
(1)·f
(2)<0,用二分法逐次计算时,若x0是[1,2]的中点,则f(x0)=________.
-1.625 [由题意,x0=1.5,f(x0)=f(1.5)=-1.625.]
7.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即得出方程的一个近似解为________.(精确度为0.1)
0.6875(答案不唯一) [∵f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,
∴方程的解在(0.6875,0.75)上,而|0.75-0.6875|<0.1,
∴方程的一个近似解为0.6875.]
8.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测________次.
6 [第1次取中点把焊点数减半为
=32,第2次取中点把焊点数减半为
=16,第3次取中点把焊点数减半为
=8,第4次取中点把焊点数减半为
=4,第5次取中点把焊点数减半为
=2,第6次取中点把焊点数减半为
=1,所以至多需要检测的次数是6.]
三、解答题
9.已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).
参考数值:
x
1.1875
1.125
1.25
1.3125
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
[解]
(1)令f(x)=2x+2x-5.
因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.
因为f
(1)=21+2×1-5=-1<0,f
(2)=22+2×2-5=3>0,
所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.3125
f(1.3125)>0
(1.25,1.3125)
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,
所以函数的零点近似值为1.3125,
即方程2x+2x=5的近似解可取为1.3125.
10.用二分法求方程x2-5=0的一个近似正解.(精确度为0.1)
[解] 令f(x)=x2-5,因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,所以f(2.2)·f(2.4)<0,
即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0,
取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=0.29,因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3),
再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.0625,因为f(2.2)·f(2.25)<0,
所以x0∈(2.2,2.25),由于|2.25-2.2|=0.05<0.1,
所以原方程的近似正解可取为2.25.
[等级过关练]
1.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( )
A.f(x)=3x-1B.f(x)=x3
C.f(x)=|x|D.f(x)=lnx
C [对于选项C而言,令|x|=0,得x=0,即函数f(x)=|x|存在零点,但当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)>0,所以f(x)=|x|的函数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧函数值同号,所以不能用二分法求零点的近似值.]
2.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.68B.0.72
C.0.7D.0.6
C [已知f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72],又0.68=
(0.64+0.72),且f(0.68)<0,所以零点在区间[0.68,0.72],且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7,因此,0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.]
3.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.6000)≈0.200
f(1.5875)≈0.133
f(1.5750)≈0.067
f(1.5625)≈0.003
f(1.5562)≈-0.029
f(1.5500)≈-0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度为0.01)可取________.
1.5625 [f(1.5625)≈0.003>0,f(1.5562)≈-0.029<0,方程3x-x-4=0的一个近似解在(1.5562,1.5625)上,且满足精确度为0.01,所以所求近似解可取为1.5625.]
4.某同学在借助计算器求“方程lgx=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lgx+x-2,算得f
(1)<0,f
(2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:
方程的近似解是x≈1.8,那么他再取的x的4个值依次是________.
1.5,1.75,1.875,1.8125 [第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.8125).]
5.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f
(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
[证明] ∵f
(1)>0,∴3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴c>0,则a>0.
在区间[0,1]内选取二等分点
,
则f
=
a+b+c=
a+(-a)=-
a<0.
∵f(0)>0,f
(1)>0,
∴函数f(x)在区间
和
上各有一个零点.
又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.
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