北大版高等数学答案Word文档格式.docx
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1x
sin(u)du?
sin(x?
1)?
sin(x).
5.试证明lim
h?
0?
f(x?
ht)dx?
f(x),其中f(x)是实轴上的连续函数.
证
lim
1
h
hx
ht)du?
u0
f(t)dt
u?
f(x).
6.求极限lim
n?
(1?
x)dx.
2n
解
x)dx?
/20
cos
2n?
tdt?
i2n?
(2n)!
!
(2n?
1)!
.
(2n?
2)!
n?
1dx.
0(n?
),lim
2(2n)!
0?
7.?
sinx?
cosx2sinx?
3cosx
解令sinx?
cosx?
a(2sinx?
3cosx)?
b(2sinx?
b(2cosx?
3sinx)?
(2a?
3b)sinx?
3a?
2b)cosx,
2a?
3b?
115
a?
b?
.?
1313?
2b?
2sinx?
3cosxdx?
cosx
2sinx?
113
513
dx
ax?
bln|2sinx?
3cosx|?
c?
ln|2sinx?
c.
8.通过适当的有理化或变量替换求下列积
分:
u,x?
ln(2?
u),dx?
2udu2?
u
2?
udu2?
du?
u?
(2)?
xe
c.?
x(e?
2)?
xd
22?
24?
2
(3)?
3
23
c
c.
12
(4)?
ln?
9.?
dxsinx?
24
secxdtanx1?
u)du1?
u1?
11?
222?
12?
112?
(u?
sin
arctan?
arctan?
1t
t0
10.设函数f(x)在(?
?
)上连续,以t为周期,令g(x)?
函数h(x)?
f(x)dx,证明:
x0
g(t)dt也以t为周期.
证(此即习题3.4第24题)
11.设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且使f(c)?
证若不然,f(x)在(a,b)没有零点,由f的连续性和连续函数的中间值定理,
f在(a,b)不变号.不妨设f(x)?
0,x?
(a,b).取c,d满足,a?
b,则f在[c,d]取最小值m?
0.于是
0.证明:
在(a,b)内至少存在一点c,
ca
dc
bd
m(d?
c)?
矛盾.
12.设函数f在区间[a,b]上连续,且
0,证明:
[a,b].
若不然,存在c?
[a,b],f(c)?
0.由f在c的连续性,存在区间[d,e]?
[a,b],|f(x)|?
|f(c)|
x?
[d,e].
ed
(d?
e)?
13.设f(x)在(-?
)上可积,证明
(1)对于任意实数a,有?
(3)?
a0
f(a?
x)dx;
xsinx1?
22
;
10a
sinxcosx?
sinx
dx?
证
(1)?
f(x)dx(x?
a?
t)?
t)dt?
(2)i?
i?
cosxsinxdx
(x?
)sinx1?
cosxdcosx1?
(?
x)sinx1?
02
cosx.
i,
/2
du
arctanu|0?
(3)i?
sin(?
/2?
x)cos(?
sin(?
/2x)cosx
cosxcosx?
dxcosx?
dx,2i?
cosx?
|csc(x?
/4)?
cot(x?
/4)||0
ln
cos?
sin?
4?
1),
1).
14.一质点作直线运动,其加速度a(t)?
(2t?
3)m/s.若t?
0时x?
0且v?
4m/s,求
(1)质点改变动方向的时刻;
(2)头5秒钟内质点所走的总路程.
解
(1)x?
(t)?
2t?
3,x?
t?
3t?
c1,?
c1,x?
4,x?
c2.x(t)?
t
32
t?
4t?
c2,
4t.x?
(t?
4)(t?
0,t0?
4.
32
s?
x(5)?
x(4)?
|x(4)|?
3?
5
4
432
m.
15.一运动员跑完100m,共用了10.2s,在跑头25m时以等加速度进行,然后保持等速运动跑完了剩余路程.求跑头25m时的加速度.?
at,0?
t0;
解v(t)?
at0,t0?
10.2.?
at
0?
s(t)?
att?
ct?
10.2.
at0/2?
at0?
a?
3m/s.?
25
100?
10.2at0?
c2?
16.
(1)利用积分的几何意义证明:
1n?
1n12
1n
n?
1,2,?
1n?
1n
lnn,
(2)令xn?
yn?
12
证明序列xn单调上升,而序列yn单调下降.
111?
(3)证明极限lim?
lnn?
存在(此极限称为euler常数).
2n?
证
(1)
dxn?
dxx
n+1
lnx|ndxn?
1n.
ln(n?
n
1111?
(2)xn?
xn?
2n2n?
0(由
(1)).nn?
11?
yn?
2nn?
0(由
(1)).n?
(3)yn?
x2?
ln2?
2).yn单调下降有下界,故有极限limyn.
17.证明:
当x?
0时,
1x
t
21
1/x
dt.
t(x?
1/u)?
1/u
1u
t.
18.设f(x)在(?
)上连续(书上为可积,欠妥),且对一切实数x,均有f(2?
f(x).求实数a?
2,使
2a
解(条件f(2?
f(x)相当f关于x?
1为奇函数f(1?
f(1?
1))
20
f(2?
u)du?
f(u)du,?
0.取a?
0即可.
19.利用定积分的性质,证明不等式ln(1?
arctanx,0?
1.证
t?
[0,1],在[0,x]上积分得
dt1?
ln(1?
1.20.
(1)设f(x)在[0,a]上可积,证明?
f(x)dxf(x)?
f(a?
x)
a2
(2)利用
(1)中的公式求下列积分的值:
【篇二:
北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题
(二)】
0的两个实根.证明方程f(x)?
0在(a,b)内至少有一个实根.
证设g(x)=ef(x),g(a)?
g(b)?
0,g在[a,b]连续,在(a,b)可导),.
根据rolle定理,存在c?
(a,b),使得g?
e(f(x)?
(x))?
0,即f(x)?
19.决定常数a的范围,使方程3x?
8x?
6x?
24x?
a有四个不相等的实根.解p(x)?
3x?
24x,p?
12x?
24
12(x?
2x?
12[x(x?
(x?
2)]?
2)(x?
1)(x?
0,.
x1?
1,x2?
1,x3?
2.p(x1)?
19,p
(1)?
13,p
(2)?
8.
根据这些数据画图,由图易知当在区间(?
p
(1),?
p
(2))?
13,?
8)时3x?
a有四个不相等的实根.
20.设f(x)?
1)
.证明:
方程f(x)?
0当n为奇数时有一个
实根,当n为偶数时无实根.
证当x?
0时f(x)?
0,故f只有正根,当n?
2k?
1为奇数时,limf(x)?
limf(x)?
存在a,b,a?
b,f(a)?
0,f(b)?
根据连续函数的中间值定理,存在x0?
(a,b),使得f(x0)?
0.f?
x实根唯一.
当n?
2k为偶数时,f?
(x)=?
2k?
0(x?
0),当x?
0时,f严格单调递减,故
2k
1.
1,f?
0,f
(1)是x?
0时的最小值,f
(1)?
0,故当n为偶数时f(x)无实根.
21.设函数u(x)与v(x)以及它们的导函数u?
(x)与v?
(x)在区间[a,b]上都连续,且uv?
v在[a,b]上恒不等于零.证明u(x)在v(x)的相邻根之间必有一根,反之也对.即有u(x)与v(x)的根互相交错地出现.试句举处满足上述条件的u(x)与
v(x).
证设x1,x2是u(x)的在[a,b]的两个根,x1?
x2.由于u?
v?
uv?
0,v(x1)?
0,v(x2)?
0.如果v(x)在[x1,x2]上没有根,则w=w?
(c)?
v
uv
在[a,b]连续,w(x1)?
w(x2)?
0,由rolle定理,存在c?
[x1,x2],使得
(c)?
0,即(u?
)(c)?
0,此与u?
恒不等于零的假设矛盾.故v(x)
在[x1,x2]上有根.
例如u?
cos(x),v?
u?
v-uv?
-1?
0,sinxcosx的根交错出
现.
22.证明:
0时函数f(x)?
arctanxtanhx
单调?
递增,且arctanx?
(tanhx).
tanhxarctanx
22sinhxcoshx?
(1?
x)arctanx?
arctanx?
证f?
2222
tanhxtanhx(1?
x)tanhxcoshx?
sinh2x?
x)arctanx(1?
x)tanhxcoshx
g(x)
g(0)?
g?
cosh2x?
2xarctanx,g?
(0)?
0,g?
2sinh2x?
2arctanx?
g?
4cosh2x?
41?
2x1?
g?
0,
21?
2x(1?
2(1?
x)1?
4x
0(当x?
0时coshx?
1),
由taylor公式,对于x?
0有g(x)?
g(?
x)3!
0,f?
0,f严格单调递增.
故对于x?
0有
23.证明:
当0?
时有
xsinx
tanxx
证f(x)?
sinxtanx?
x,
cosxtanx?
sinxsecx?
sinx?
2x,
secx?
2sinxsecxtanx?
(cosx?
2sinxsecx?
(cosx?
1cosx
2,x?
(0,?
/2)).
f(0)?
0,根据taylor公式,f(x)?
x)2
0,sinxtanx?
24.证明下列不等式:
(1)e?
0.
(2)x?
(3)x?
xx
ln(1?
x),x?
e
6
证
(1)e?
(2)ln(1?
0.1
23(1?
(3)f(x)?
sinx,f(0)?
0,仅当x?
时f?
0,故当x?
0时f严格单调递增,f(x)?
g(x)?
6?
g?
0.g当x?
0时
严格单调递增,g(x)?
g(0)?
25.设xn?
q)(1?
q)?
q),其中常数q?
[0,1).证明序列xn有极限.
证xn单调递增.lnxn?
q
lnxn
i?
i
q?
q
q1?
.xn有上界.故xn有极限.
xn?
e
26.求函数f(x)?
tanx在x?
/4处的三阶taylor多项式,并由此估计tan(50)的值.
22224
解f?
secx,f?
2secxtanx,f?
4secxtanx?
2secx.
f(
)?
(
2,f?
4,f?
16.
8?
f(x)?
o?
.
233
tan(50)?
tan?
1.191536480.
4363636336?
27.设0?
b,证明(1?
a)ln(1?
a)?
b)ln(1?
b)?
b).证f(x)?
x),f?
f在x?
0上凸,(1?
a)(1?
b)
b)(1?
b)11?
f?
1(1?
a)a(1?
b)b?
b)a(1?
b).
28.设有三个常数a,b,c,满足
b?
c,a?
2,ab?
bc?
ca?
1.证明:
114
?
1,1?
.333
证考虑多项式f(x)?
(x-a)(x-b)(x-c)?
abc.
4x?
(3x?
0,x1?
13
x2?
1.13
11时f?
0,f严格单调递减.
当x?
或x?
1时f?
0,f严格单调递增,当
如果f(0)?
f
(1)?
abc?
0,f将至多有两个
144
实根.如果f()?
f()?
0,f也将至多有两个
3327
根(见附图).而f实际有根a,b,c.故f(0)?
0,并且f()?
3327考虑到严格单调性,于是f
在(0,),(,1),(1,)各有一实根,正是a,b,c,故结论成立.
333
29.设函数f(x)的二阶导数f?
(x)在[a,b]上连续,且对于每一点x?
[a,b],f?
(x)与f(x)同号.证明:
若有两点c,d?
[a,b],使f(c)?
f(d)?
0,则f(x)?
[c,d].
证由于f?
(x)与f(x)同号,(f(x)f?
=f?
f(x)f?
0,g(x)?
(x)单调,2
g(c)=g(d)=0,故f(x)f?
[c,d].(f(x))?
2f(x)f?
c,x?
[c,d].f(c)?
0,故f(x)?
[c,d],即f(x)?
[c,d].30.求多项式p3(x)?
7x?
13x?
9在x?
1处的taylor公式.解p3?
14x?
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