专题52 等差数列及其前n项和届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版.docx
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专题52等差数列及其前n项和届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版
第五篇数列及其应用
专题5.02 等差数列及其前n项和
【考试要求】
1.理解等差数列的概念;
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题;
4.体会等差数列与一次函数的关系.
【知识梳理】
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式:
an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A=
.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:
Sn=na1+
=
.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:
an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列
也为等差数列.
【微点提醒】
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性:
当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
【教材衍化】
2.(必修5P46A2改编)设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )
A.31B.32C.33D.34
3.(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________.
【真题体验】
4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.-12B.-10C.10D.12
5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为( )
A.-3B.-
C.-2D.-4
6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1,S2,…,S9中最小的是______.
【考点聚焦】
考点一 等差数列基本量的运算
【例1】
(1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1B.2C.4D.8
(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=( )
A.9B.10C.11D.15
【规律方法】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
【训练1】
(1)等差数列log3(2x),log3(3x),log3(4x+2),…的第四项等于( )
A.3B.4C.log318D.log324
(2)(一题多解)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=________.
考点二 等差数列的判定与证明
【例2】(经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=
.
(1)求证:
成等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【迁移探究1】本例条件不变,判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由.
【迁移探究2】本例中,若将条件变为a1=
,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an}的通项公式.
【规律方法】
1.证明数列是等差数列的主要方法:
(1)定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数.
(2)等差中项法:
验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到结论:
(1)通项公式:
an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(2)前n项和公式:
Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
【训练2】(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
考点三 等差数列的性质及应用
角度1 等差数列项的性质
【例3-1】(2019·临沂一模)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为( )
A.6B.12C.24D.48
角度2 等差数列和的性质
【例3-2】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
A.63B.45C.36D.27
【规律方法】
1.项的性质:
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
2.和的性质:
在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
(2)S2n-1=(2n-1)an.
【训练3】
(1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2015,
-
=6,则S2019=________.
(2)(2019·荆州一模)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是( )
A.15B.30C.31D.64
(3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若
=
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
考点四 等差数列的前n项和及其最值
【例4】(2019·衡水中学质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1≠0,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列
的前n项和最大?
【规律方法】 求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法:
(1)函数法:
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn(a≠0),通过配方或借助图象求二次函数的最值.
(2)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,进而求Sn的最值.
①当a1>0,d<0时,满足
的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最大值);
②当a1<0,d>0时,满足
的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最小值).
【训练4】
(1)等差数列{an}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a5=5,Sn为数列{an}的前n项和,则数列
的前n项和取最小值时的n为( )
A.3B.3或4
C.4或5D.5
(2)已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为________.
【反思与感悟】
1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质,另外还常用前n项和Sn=An2+Bn及通项an=pn+q来判断一个数列是否为等差数列.
2.等差数列基本量思想
(1)在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于a1,d的方程组进行求解.
(2)若奇数个数成等差数列,可设中间三项为a-d,a,a+d.
若偶数个数成等差数列,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
(3)灵活使用等差数列的性质,可以大大减少运算量.
【易错防范】
1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”,如证明了an+1-an=d(n≥2)时,应注意验证a2-a1是否等于d,若a2-a1≠d,则数列{an}不为等差数列.
2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时,一定要注意自变量n是正整数.
【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )
A.100B.99C.98D.97
2.(2019·淄博调研)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若
=
,则
=( )
A.1B.-1C.2D.
3.(2019·中原名校联考)若数列{an}满足
-
=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列
为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=( )
A.10B.20C.30D.40
4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:
“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:
把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( )
A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,
-
=-4,则Sn取最大值时的n为( )
A.4B.5C.6D.4或5
二、填空题
6.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为________.
7.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=2anan+1,则a6=________.
8.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S10=16,S100-S90=24,则S100=________.
三、解答题
9.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
10.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.
(1)求a及k的值;
(2)设数列{bn}的通项公式bn=
,证明:
数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.
【能力提升题组】(建议用时:
20分钟)
11.(2019·济宁模拟)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=( )
A.
B.
C.3D.
12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn(n∈N*),若
=
,则
=( )
A.
B.
C.
D.3
13.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.
14.(2019·长沙雅礼中学模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1+a13=26,S9=81.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bn=
,Tn=b1+b2+…+bn,若30Tn-m≤0对一切n∈N*成立,求实数m的最小值.
【新高考创新预测】
15.(多填题)设Sn为等差数列{an}的前n项和,满足S2=S6,
-
=2,则a1=________,公差d=________.
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