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陕西省咸阳市西北农林科大附中15
陕西省咸阳市西北农林科大附中2015
2015-2016学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高二第二次月 考数学试卷 一、选择题 1.若命题p:
0是偶数,命题q:
2是3的约数,则下列命题中为真的是A.p且qB.p或qC.非pD.以上都不对2.与命题“若m∈M,则n?
M”等价的命题 A.若m?
M,则n?
MB.若n?
M,则m∈MC.若m?
M,则n∈MD.若n∈M,则m?
M3.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为 22 A.存在x0∈R,使得x0<0B.对任意x∈R,使得x<0C.存在x0∈R,都有 D.不存在x∈R,使得x2<0 4.在空间中,已知动点P满足z=0,则动点P的轨迹是A.平面B.直线 C.不是平面,也不是直线D.以上都不对 5.已知i,j,k是空间直角坐标系O﹣xyz的单位正交基底,并且=﹣i+j﹣k,则B点的坐标为A.B.C.D.不确定6.若平面α、β的法向量分别为 =, =,则 A.α∥βB.α⊥β C.α、β相交但不垂直D.以上均不正确7.设函数f=x2+mx,则下列命题中的真命题是 A.任意m∈R,使Y=f都是奇函数B.存在m∈R,使y=f是奇函数C.任意m∈R,使y=f都是偶函数D.存在m∈R,使y=f是偶函数8.若=,=,且⊥,则实数λ的值为A.﹣1B.0C.1D.﹣29.已知A,B,C,则向量与的夹角为A.30°B.45°C.60°D.90° 10.已知E,F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 A. B.C.D. 1 二、填空题 11.△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的 条件. 12.若命题“?
x∈R,x2+ax+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是 .13.在下列四个命题中,真命题的个数是 2 ①?
x∈R,x+x+3>0; ②?
x∈Q,x2+x+1是有理数; ③?
α,β∈R,使sin=sinα+sinβ;④?
x0,y0∈Z,使3x0﹣2y0=10.14.若空间三点A,B,C共线,则p= ,q= . 15.在空间平移△ABC到△A1B1C1,连接对应顶点,设=,=,M是BC1的中点,N是B1C1的中点,用基底{,,}表示向量结果是 . 三、解答题16.写出命题并判断它们的真假. 17.设p:
实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:
实数x满足 ;+=,的 ,则x=2且y=一1”的逆命题、否命题、逆否命题, 若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围; 若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 18.用向量证明:
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影,则这两条直线垂直. 19.如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.求证:
MN∥平面ABCD 求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值; 设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长. 2 2015-2016学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高二第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1.若命题p:
0是偶数,命题q:
2是3的约数,则下列命题中为真的是A.p且qB.p或qC.非pD.以上都不对【考点】复合命题的真假. 【分析】先判断出命题p与q的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出.【解答】解:
命题p:
0是偶数,是真命题;命题q:
2是3的约数,是假命题.则下列命题中为真的是p或q,故选:
B. 2.与命题“若m∈M,则n?
M”等价的命题 A.若m?
M,则n?
MB.若n?
M,则m∈MC.若m?
M,则n∈MD.若n∈M,则m?
M【考点】四种命题间的逆否关系. 【分析】根据原命题与它的逆否命题是等价命题,写出它的逆否命题即可.【解答】解:
命题“若m∈M,则n?
M”的逆否命题是“若n∈M,则m?
M”,所以与命题“若m∈M,则n?
M”等价的命题是“若n∈M,则m?
M”.故选:
D. 3.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为A.存在x0∈R,使得x02<0B.对任意x∈R,使得x2<0C.存在x0∈R,都有 D.不存在x∈R,使得x<0 2 【考点】命题的否定;全称命题. 【分析】根据全称命题“?
x∈M,p”的否定为特称命题:
“?
x0∈M,¬p”即可得出. 【解答】解:
根据全称命题的否定是特称命题可得:
命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“?
x0∈R,使得 ”. 故选A. 4.在空间中,已知动点P满足z=0,则动点P的轨迹是A.平面B.直线 C.不是平面,也不是直线D.以上都不对【考点】轨迹方程. 【分析】题意画出图形得答案.【解答】解:
如图, 在空间中,已知动点P满足z=0,则动点P的轨迹是坐标平面xOy面.故选:
A. 3 5.已知i,j,k是空间直角坐标系O﹣xyz的单位正交基底,并且=﹣i+j﹣k,则B点的坐标为A.B.C.D.不确定【考点】空间中的点的坐标. 【分析】利用空间向量知识直接求解. 【解答】解:
∵i,j,k是空间直角坐标系O﹣xyz的单位正交基底,并且=﹣i+j﹣k,A点坐标不确定, ∴B点的坐标也不确定.故选:
D. 6.若平面α、β的法向量分别为 =, =,则 A.α∥βB.α⊥β C.α、β相交但不垂直D.以上均不正确【考点】平面的法向量.【分析】可得出.【解答】解:
∵又∵ 与 =﹣6﹣3﹣20≠0,∴ 与 不垂直,∴两个平面不垂直; ≠0,可得两个平面不垂直;又 与 不共线,可得α与β不平行.即 不共线,∴α与β不平行. ∴α、β相交但不垂直. 故选;C. 2 7.设函数f=x+mx,则下列命题中的真命题是 A.任意m∈R,使Y=f都是奇函数B.存在m∈R,使y=f是奇函数C.任意m∈R,使y=f都是偶函数D.存在m∈R,使y=f是偶函数【考点】二次函数的性质. 【分析】从函数的奇偶性的定义进行判断,对于f=x2+mx,不论m为何值时,定义域总是R,故而只需求出f和﹣f,即f=2+m=x2﹣mx,﹣f,若函数为奇函数,则f=﹣f,即x2﹣mx=﹣x2﹣mx恒成立,而x2﹣mx=﹣x2﹣mx恒成立是不可能,故不论m为何值均不能使f为奇函数;若函数为偶函数,则f=f,即x2+mx=x2﹣mx恒成立,故只需要m为0时即可 4 【解答】解:
题意知函数的定义域均为R若函数为奇函数 则f=﹣f, 22 即x﹣mx=﹣x﹣mx恒成立, 2222 而x﹣mx=﹣x﹣mx只有在x=0时才成立,而题中给出的x是一切实数,故x﹣mx=﹣x﹣mx恒成立是不可能, 故不论m为何值均不能使f为奇函数;若函数为偶函数,则f=f, 22 即x+mx=x﹣mx恒成立,故只需要m为0时即可故选D 8.若=,=,且⊥,则实数λ的值为A.﹣1B.0C.1D.﹣2【考点】空间向量的数量积运算. 【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解:
∵⊥,∴?
= + = +λ×=0, 解得λ=﹣2.故选:
D. 9.已知A,B,C,则向量A.30°B.45°C.60°D.90° 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式.【分析】题意可得:
与的夹角为 ,进而得到与| |,||,再cos<,>=可得答案. 【解答】解:
因为A,B,C,所以所以所以cos< ═0×+3×1+3×0=3,并且|, >= = ,|=3, ,| |= , ∴的夹角为60° 故选C. 10.已知E,F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 5
A.B.C.D. 【考点】与二面角有关的立体几何综合题. 【分析】因为D1D⊥面ABCD,故可三垂线定理法作出二面角的平面角,再求解. 【解答】解:
因为D1D⊥面ABCD,过D做DH⊥AE与H,连接D1H,则∠D1HD即为截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的平面角, 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,在△D1HD中,D1D=1,因为△DAH~△ABE,所以DH= 所以D1H=,所以sin∠D1HD= 故选C 二、填空题 11.△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】正弦定理知asinA=bsinB,sinA>sinB,知a>b,所以A>B,反之亦然,故可得结论. 【解答】解:
正弦定理知 , 若sinA>sinB成立,则a>b,所以A>B. 反之,若A>B成立,则有a>b, ∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sinA>sinB, 所以,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件故答案为:
充要. 12.若命题“?
x∈R,x2+ax+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是∪.【考点】特称命题. 【分析】根据所给的特称命题的否定任意实数x,使x2+ax+1≥0,根据命题否定是假命题,得到判别式大于0,解不等式即可. 【解答】解:
∵命题“存在实数x,使x2+ax+1<0”的否定是任意实数x,使x2+ax+1≥0, 6 命题否定是假命题,∴△=a2﹣4>0∴a<﹣2或a>2故答案为:
∪. 13.在下列四个命题中,真命题的个数是①②③④①?
x∈R,x2+x+3>0; ②?
x∈Q,x+x+1是有理数; ③?
α,β∈R,使sin=sinα+sinβ;④?
x0,y0∈Z,使3x0﹣2y0=10.【考点】命题的真假判断与应用.【分析】①?
x∈R,x+x+3= 2 2 2 >0,可知正确; ②?
x∈Q,x+x+1是有理数,可知正确; ③取α=2kπ,则sin=sinα+sinβ成立;④取x0=10,y0=10,则使3x0﹣2y0=10成立.【解答】解:
①?
x∈R,x2+x+3= ②?
x∈Q,x2+x+1是有理数,正确; ③取α=2kπ,则sin=sinα+sinβ成立,正确; ④取x0=10,y0=10,则使3x0﹣2y0=10成立,因此?
x0,y0∈Z,使3x0﹣2y0=10成立,故正确.综上可得:
①②③④都是真命题.故答案为:
①②③④. 14.若空间三点A,B,C共线,则p=3,q=2.【考点】共线向量与共面向量. 【分析】将三点共线,转化为向量共线,再利用向量共线的条件,即可得到结论.【解答】解:
∵A,B,C∴ ∵空间三点共线∴ ∴p=3,q=2故答案为:
3,2 15.在空间平移△ABC到△A1B1C1,连接对应顶点,设=,结果是 =,M是BC1的中点,N是B1C1的中点,用基底{,,}表示向量 . +=,的 , >0,正确; 7 【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】可画出图形,并连接AB1,AC1,这样根据向量加法的平行四边形法则即可用 表示出 ,然后进行向量数乘运算即可用基底 表示出 向量. 【解答】解:
如图,连接AB1,AC1,M,N分别为BC1,B1C1的中点; ∴=== . . = 故答案为:
三、解答题16.写出命题 ,则x=2且y=一1”的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假. 【考点】四种命题的真假关系. 【分析】将原命题中的条件、结论互换得到逆命题;将原命题的条件、结论同时否定得到否命题、将原命题的条件、结论否定再交换得到逆否命题.【解答】解:
逆命题:
若x=2且y=﹣1,则否命题:
若 逆否命题:
若x≠2或y≠﹣l,则 17.设p:
实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:
实数x满足 ;真命题 ,则x≠2或y≠﹣1;真命题 ;真命题 ; 8 若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围; 若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 【考点】复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】p∧q为真,则p真且q真.分别求出p,q为真命题时x的范围,两者取交集即可. q是p的充分不必要条件,即q?
p,反之不成立.,设A={x|2<x<3},B={x|a<x<3a},则A?
B,转化为集合关系.【解答】解:
x2﹣4ax+3a2<0,<0,又a>0,所以a<x<3a?
.满足 ; 得2<x≤3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x≤3,?
..?
. 当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是2<x<3?
q是p的充分不必要条件,即q?
p,反之不成立.,设A={x|2<x<3},B={x|a<x<3a},则A?
B, 则0<a≤2,且3a>3所以实数a的取值范围是1<a≤2?
18.用向量证明:
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影,则这两条直线垂直. 【考点】直线与平面垂直的性质. 【分析】画出图形,根据条件,只需把直线表示出向量,利用向量的数量积为0,证明垂直.【解答】证明:
如图,PA、PO分别是平面α的垂线、斜线,AO是PA在平面α内的射影,设直线a上非零向量,要证a⊥OA?
a⊥PA,即证?
=0?
?
=0.∵a?
α,?
=0, ∵?
=?
=?
+?
=0+0=0.∴a⊥PA. 19.如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.求证:
MN∥平面ABCD 求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值; 设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长. 9 【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.【分析】以A为坐标原点,以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0,即得结论; 通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论;通过设 =λ ,利用平面ABCD的一个法向量与 的夹角的余弦值为,计算 即可.【解答】证明:
如图,以A为坐标原点,以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系, 则A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,又∵M、N分别为B1C、D1D的中点,∴M,N.题可知:
=是平面ABCD的一个法向量,∵?
=0,MN?
平面ABCD,∴MN∥平面ABCD; =, =, =, =, 解:
可知:
设=是平面ACD1的法向量, ,得 , 取z=1,得=, 设=是平面ACB1的法向量, ,得 , 取z=1,得=,∵cos<,>= =﹣ ,∴sin<,>= = , ∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为解:
题意可设 ; ,其中λ∈[0,1], 10 =λ ∴E=,=, 又∵=是平面ABCD的一个法向量,∴cos< ,>= = =, 整理,得λ2+4λ﹣3=0,解得λ= ﹣2或﹣2﹣ , ∴线段A1E的长为﹣2. 11
∴E=,=, 又∵=是平面ABCD的一个法向量,∴cos< ,>= = =, 整理,得λ2+4λ﹣3=0,解得λ= ﹣2或﹣2﹣ , ∴线段A1E的长为﹣2. 11
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