四年级上册数学试题奥数第22讲图形的切拼二 全国用含答案.docx
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四年级上册数学试题奥数第22讲图形的切拼二全国用含答案
第22讲 图形的切拼
(二)
学校有一块正方形的绿地(如下图所示),里面恰好有12棵小松树。
现在学校要把它划分成四块交给四个班的同学认养,要求每块绿地的形状和大小都相同,并且恰好都有三棵小松树。
怎么分呢?
数学老师把这个问题交给了五
(1)班的同学们。
呵,大家讨论的可热烈啦。
一下课,同学们就交给了老师两种方案,见下图。
同学们,你们知道他们是采用什么方法分割的吗?
下面我们通过几个例题一起研究等分图形的技巧和一些图形的切拼问题。
例1 下图是一个直角梯形,请在它内部画一条直线段,把梯形分成形状相同、面积相等的两部分。
分析与解答:
从计算图形面积开始。
梯形面积=(20+40)×60÷2=1800(平方厘米)。
所以分成两部分后,每一部分的面积为900平方厘米。
设MN为梯形ABCD的中位线,MN=(20+40)÷2=30(厘米),这样MN把梯形ABCD分成了两部分,如图:
梯形ABNM的面积是:
(30+40)×30÷2=1050(平方厘米);梯形MNCD的面积是:
(20+30)×30÷2=750(平方厘米)。
两个梯形的面积一大一小相差:
1050-750=300(平方厘米),根据”移多补少”的原理,所以梯形MNCD的面积的面积应增加300÷2=150(平方厘米),梯形ABNM的面积也就相应减少150平方厘米.因为MN=30(厘米),比较简单的方法是:
以MN为三角形的高,在NB上找一点P,使三角形MPN面积为150平方厘米,所以线段NP:
150×2÷30=10(厘米),这样NP就把梯形分成了面积相等的两部分。
具体分法见上图,线段MP把梯形ABCD分成了面积相等的两部分。
说明:
下面我们来验证这两部分形状完全一样.在四边形ABPM中,过M点作ME垂直AB于E,则ME把四边形ABPM分成了两部分:
直角三角形 AEM和直角梯形EBPM.因为MN=EB=30(厘米),所以AE=10(厘米)。
又因为ME=NB=30(厘米),所以三角形AEM和MPN能完全重合,形状一样.同样DC=BP=20(厘米),CN=EB=30(厘米),MN=ME=30(厘米),所以梯形CDMN和EBPM也能完全重合,形状一样。
所以四边形CDMP和MABP的面积和形状都完全一样。
例2 如下图所示。
请将这个正方形切成四块,使得它们彼此之间的形状和大小都相同,而且每块图形中都含有A、B、C、D四个字母。
分析与解答:
先将图中两个相同字母挨在一起的之间划出切分线。
因为要把正方形切成形状大小完全相同的四块,其中一块绕中心点旋转90°、180°、270°之后必定分别和另外三块重合。
那么画出的切分线在绕中心旋转90°、180°、270°之后得到一些新的切分线,从而为我们解决问题提供了线索。
同时我们知道:
所分成的四块面积每一块都应是正方形面积的
,即一块里都应包含有四个小正方形。
本题解答如下图所示。
例3 如下图,甲、乙是两个大小相同的正方形。
请你把每一个正方形分成四块,两个正方形共分为八块,使每块的大小和形状都相同,而且都带一个○。
分析:
一个正方形分成大小和形状都相同的四块,一定是从中心点分开的,只要能找出其中符合题目要求的一块,然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90°、180°、270°就可以得到另外三块。
又因为这个正方形面积为36平方单位,所以分成的每一块的面积都是:
36÷4=9(平方单位)。
即每一块都由9个小正方格组成。
另外,由于两个正方形要切分成一样大小的四块,因此可将两个正方形重叠在一起考虑。
解答:
① 将两个正方形重叠在一起,如下图所示,为便于区别,将其中一组的“○”改写成“×”。
按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块,并且每块都有一个“○”和“×”。
② 图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开,在它们中间划上截线.并将这些截线绕中心点旋转90°、180°、270°得到另外三段截线。
如下图。
利用它们设想出划分线。
③ 设想分块从中心位置开始,逐步向外扩散,在里层方格中,先指定某一方格已分入到某小块中,并作上记号(斜线阴影),然后将它绕中心旋转180°后得到另一方格分入到另一小块中,也作上记号(横线阴影),如下图。
对于中间一层方格和最外一层方格,设想分块时一定要紧扣条件:
每一块中都要有一个“○”和一个“×”。
每一块都有9个方格组成,不能断开。
下图是分解了的分块过程示意图。
④ 注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“×”。
那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线阴影部分去了,而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分。
于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分。
空白部分是另外两块。
右图就是最后分得的结果。
例4 如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米,正中央开有小长方形孔,长为80厘米,宽为10厘米,要拼成面积为100平方厘米的正方形。
请问:
如何切分,能使划分的块数最少。
分析与解答:
切分前面积为:
12×90-80×10=10000(平方厘米)应与拼成后的正方形面积相等。
所以拼成后正方形的边长=100厘米。
因为把100可以拆分成:
100=120-20=90+1O。
假设上图切成两块如下左图,然后将右块向上平移10厘米,再向左平移20厘米,就拼成了一个正方形,切分线不可能是直线,一定是折线段。
切分后的两块类似“阶梯”形,然后由两个“阶梯”互相啮合,组成一个正方形,如下右图。
例5 如下图所示,这是一张十字形纸片,它是由五个全等正方形组成,请你试着沿一直线将它剪成两片,然后再沿另一直线将其中一片剪成两片,使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形。
分析:
实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形,其长是宽的2倍,设十字形面积是5个平方单位,长方形的长为x长度单位,宽为
长度单位,那么有
,即
,由勾股定理可知:
所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边。
它恰是两个对角顶点的连线。
剪拼方法如下图所示,甲拼在甲′位置,乙拼在乙′位置,就可得符合题意的图形。
说明:
假若沿第二条线把另一片也剪成两片,那么共剪成的4片是4个全等多边形,这时两条直线都经过十字形的中心,并且互相垂直。
剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转90°也和另一个重合。
由此我们便得到一个重要结论:
对于一个正方形来讲,如果从中心沿
角的两边切开,得到整个图形的
,这个
的图形若绕中心旋转90”一定和另外的
的图形重合,对于一个正三角形来讲,如果从中心沿
角的两边切开,得到整个图形的
,这个
的图形若绕中心旋转120°一定也和另外的
重合,一般情况:
对于一个正n边形,如果从它的中心沿
的角的两边剪开,得到整个图形的
,这个
的图形若绕中心旋转
角,一定也和另一个
图形重合,如下图所示。
例6 如下图两个正方形的边长分别是a和b(a>b),将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形,与另一个正方形拼在一起组成一个正方形。
分析:
拼成大正方形的面积应是a2+a2,设拼成大正方形的边长是c,则有等式c2=a2+b2,又因为将边长为a的正方形切成四个全等形,那么分割线一定经过正方形中心,假设切割线MN为大正方形边长,如下图(左),一定有MN2=a2+b2,而MH=a,则NH=b。
所以AN=CM=BH=
(a-b)。
由此可以确定MN,然后将MN绕中心O旋转90°到EF位置,即可把正方形切成符合要求的4块。
如下图(中)及下图(右)。
这种分法同时确保图(右)的中间部分就是边长为b的小正方形。
这是因为:
① 中心四边形的角即边长为a的正方形的四个角,∠A,∠B,∠C,∠D,又因为各边长度相等。
因此中心四边形是正方形。
② 中心正方形的边=
=a-(a-b)=b。
因此,中间部分是边长为b的正方形。
阅读材料
精明的鲁班锁
传说春秋时代鲁国工匠鲁班为了测试儿子是否聪明,用6根木条制作一件可拼可拆的玩具,叫儿子拆开。
儿子忙碌了一夜,但终于拆开了。
这种玩具后人就称作鲁班锁。
其实这只是一种传说,鲁班锁亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难人木等。
它本起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构。
据美国智力大师马丁·加德纳考证,鲁班锁约在几百年前传到外国。
1857年美国出版的《魔术师手册》中就提到了这种玩具。
加德纳还采用单元分割法来标示缺口,指出理论上的4096种样式。
英文中常用burr(刺果)来称呼鲁班锁。
全称是Six-pieceburrpuzzle,意为“六根刺的刺果拼凑难题”。
中外艺术家都想到用鲁班锁结构来创作雕塑艺术品。
中国秦筱春为北京金融中心设计了“噬嗑”,结构为卦形 ,寓意“汇通天下,成为世界金融中心”。
西班牙雕塑家贝罗卡利用鲁班锁结构创作了许多 举世闻名的杰出作品,如《米歇尔像》、《小型玛丽来像》、《向毕加索致敬》等。
练习题
1.如下图所示,请将这个正方形分切成两块,使得两块的形状、大小都相同,并且每一块都含有A、B、C、D、E五个字母。
分析:
图中有相同字母挨在一起的情况,肯定要从它们之间切开,因此,首先要在它们之间划出切分线。
因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形,所以其中一块绕中心点旋转180°必定与另一块重合。
要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线。
这就为我们解决问题提供了线索,本题的两种解法如下图所示。
2.如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的。
如图那样放着4颗黑子,4颗白子,现在要把它切割成形状、大小都相同的四块,并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子。
试问如何切割?
分析 首先在相同颜色的棋子之间划出切分线,以中心旋转90°、180°、270°之后,得一些新的切分线,同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求,以及每块面积是正方形面积的
,即含有9个小正方格找到了符合要求的其中一块之后,让它绕中心旋转90°、180°、270°便得到其他三块,如下图。
3.如下图所示,请将这个正方形分成大小和形状都一样的四块,并且使每一块都有A、B、C、D四个字母。
分析:
这个正方形的面积是8×8=64(平方单位),切开后每一小块应是16平方单位(即由16个小方格组成),由于要求分成的四块形状、大小都相同,必定是由中心点分开的。
而且其中一块若绕中心点旋转90°、180°、270°后必定和其他三块重合。
解答:
①将两个相同字母并列在一起的中间划出切分线,并将它们分别绕中心点旋转90°、180°、270°,得到相应的另三段切分线.如下左图所示。
②从最里层开始,沿着画出的切分线作设想分块,注意到题目的要求,找到满足要求题目的一块,如下右图中阴影部分
③ 将上面的阴影部分绕中心点旋转180°,可以得到符合条件的另一块,这样两块空白部分也符合条件,最后划分的结果如下图所示。
4.下图是一个正六边形,过A点在正六边形内引两条直线段,把正六边形分成面积相等的三部分。
分析与解答:
把正六边形分成面积相等的三部分,先想其中一份与正六边形面积之间有什么关系。
为此,连CF、BE、AD,三者相交于O点。
这一来,三条相交于O的线段CF、BE、AD将正六边形分为六个面积相等的三角形,所以从A点引两条线段后,每一部分的面积正好等于两个小三角形面积之和。
分别取CD、DE的中点为M、N,连结AM、AN,如下左图,容易看出四边形ABCM和ANEF的面积与形状完全一样,所以问题转化为要说明四边形AMDN的面积等于两个小三角形面积之和。
连结OM、ON,根据等底等高的三角形面积相等这一事实,可知三角形AMO、OMD、ODN、ONA的面积相等,而且等于三角形OCD面积的一半.所以四边形AMDN的面积正好等于两个小三角形面积之和。
具体分法如下右图所示,其中M、N分别为CD、DE的中点。
5.一个等腰三角形,如下图所示,它的高是底的2倍,把它剪成三部分,拼成一个正方形。
解答:
分法拼法分别见下图。
6.将下图分成四个形状和大小都相同的图形,然后将分得的四个图形拼合成一个正方形。
解答:
分法拼法分别见下图.原图形的面积为3×2×2+6×(1+2+1)=36(平方厘米),所以拼成的正方形边长应是6厘米。
由于原图形的最长边是12厘米,因此可以设想将原图形二等分,然后再将每一部分二等分,拼成正方形。
7.将下列各图均切成三块,每三块拼成一个正方形。
解答:
见下图。
8.请把下图所示的图形切分成两块,然后拼成一个正方形(每个小正方形的边长为1)。
分析与解签:
例4中介绍了一种很特殊的“阶梯形”分法,我们可以从这一分法中得到一些启示。
因为拼成的正方形面积为16,所以正方形边长为4。
而这个缺角长方形长为6,宽为3,切分后,须将右片向左平移2个单位,再向上平移1个单位。
作切分线时,应注意到缺角这一特点,因此这里的“阶梯”不是直角形的,而是锯齿形的。
首先沿下左图中的粗线将缺角长方形剪成两块,把右块推至左块之上,恰好拼成一个边长为4的正方形。
见下右图。
9.下图是一块废木板,阴影部分为空缺,如图所示(单位:
厘米)。
把它锯成两块,然后拼成一个正方形。
解答:
分法拼法分别见下图,本题应首先计算出正方形边长。
长方形面积=100×70-60×10=6400(平方厘米)
所以正方形边长为80厘米,因此将原图形的长减少20厘米,宽增加10厘米,利用“阶梯形”分法拼成正方形。
10.下图是由36个大小一样的正方形组成的一个“S”型图案。
能不能把它分成形状、面积都一样的四块,最后拼成一个正方形?
如果能,指出具体的分法。
分析与解答:
因为上图14由36个大小一样的正方形组成,所以拼成的正方形每边正好是大小一样的6个小正方形。
把上图分成面积相等的四块,每块的面积都是9个小正方形。
再考虑形状。
如果能将上图先分成两个面积相等、形状一样的图形,然后再将其中的一个又分成两个面积相等、形状一样的图形,那么目的就能达到。
将上图先分成两个面积相等、形状一样的图形,比较容易。
只要沿图14中间最长的那条横线剪开即可,其中的一个见下图。
现在再设法把下图分成两个面积相等、形状一样的图形。
上图中最长边为6,其次为5,要把它分成形状一样的两个图形,每一部分的最长边只能为5,用两种阴影分别表示出来。
同样继续重复上面的方法,可将题目所给的图分成两个形状一样的图形。
首先,按左上图将它分成形状和面积都一样的四块,再按右上图拼成一个正方形。
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