第11章梁的弯曲应力.docx
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第11章梁的弯曲应力
第11章梁的弯曲应力
教学提示:
梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力;梁横力弯曲时横截面上的切应力;提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。
教学要求:
掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程,理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。
熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。
了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。
从弯曲强度条件出发,掌握提高弯曲强度的若干措施。
在外荷载作用下,梁截面上一般都有弯矩和剪力,相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。
弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩;而剪力是切于横截面的分布内力的合力。
本章研究正应力C和剪应力T的分布规律,从而对平面弯曲梁的强度进行计算。
11.1梁的弯曲正应力
平面弯曲情况下,一般梁横截面上既有弯矩又有剪力,如图11.1所示梁的ACDB段。
而在CD段内,梁横截面上剪力等于零,而只有弯矩,这种情况称为纯弯曲。
下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。
应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方面。
.c
(a)
Ff
I
11.1.1弯曲正应力一般公式
1、变形几何关系
为研究梁弯曲时的变形规律,可通过试验,观察弯曲变形的现象。
取一具有对称截面的矩形截面梁,在其中段的侧面上,画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn,再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd,如图11.2(a)所示。
然后按图11.1(a)所示施加荷载,使梁的中段处于纯弯曲状态。
从试验中可以观察到图11.2(b)情况:
(1)
»fl
nEll
Ci)
nn
梁表面的横线仍为直线,仍与纵线正交,只是横线间作相对转动。
(2)纵线变为曲线,而且靠近梁顶面的纵线缩短,靠近梁底面的纵线伸长。
(3)在纵线伸长区,梁的宽度减小,而在纵线缩短区,梁的宽度则增加,情况与轴向拉、压时的变形相似。
根据上述现象,对梁内变形与受力作如下假设:
变形后,横截面仍保持平面,且仍与纵线正交;同时,梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。
前者称为弯曲平面假设;后者称为单向受力假设。
根据平面假设,横截面上各点处均无剪切变形,因此,纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。
根据平面假设,梁弯曲时部分纤维伸长,部分纤维缩短,由伸长区到缩短区,其间必存在一长度不变的过渡层,称为中性层,如图11.2(c)所示。
中性层与横
截面的交线称为中性轴。
对于具有对称截面的梁,在平面弯曲的情况下,由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面,因而中性轴必与截面的对称轴垂直。
综上所述,纯弯曲时梁的所有横截面保持平面,仍与变弯后的梁轴正交,并绕中性轴作相对转动,而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。
图11.3
又坐标为y的纵向纤维ab变形前的长度为
从梁中截取一微段dx,取梁横截面的对称轴为y轴,且向下为正,如图11.3(b)所示,以中性轴为y轴,但中性轴的确切位置尚待确定。
根据平面假设,变形前相距为dx的两个横截面,变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度d0,并仍保持为平面。
中性层的曲率半径为P,因中性层在梁弯曲后的长度不变,所以
ab=dx=田®
变形后为
ab=(P+y)d®
故其纵向线应变为
(P+y)d半-Pd®y
8==—
(a)
可见,纵向纤维的线应变与纤维的坐标y
成正
/I
屮P
比。
2、物理关系
因为纵向纤维之间无正应力,每一纤维都处于单向受力状态,当应力小于比例极限时,由胡克定律知
b=E呂
将(a)式代入上式,得
(b)
而在距中性轴为y的同一横线上各点处的
11.4来表示。
这就是横截面上正应力变化规律的表达式。
由此可知,横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比,正应力均相等,这一变化规律可由图
但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大
3、静力学关系以上已得到正应力的分布规律,
小均尚未确定,所以仍不能确定正应力的大小。
这些问题需再从静力学关系来解决。
如图11.5所示,横截面上各点处的法向微内力而且由于横截面上没有轴力,
Fn
(TdA组成一空间平行力系,仅存在位于x-y平面的弯矩M因此,
(c)
My
=bdA=0
(d)
Mz
=JyodA=0
(e)
以式(b)代入式(C),得
肿dA=EkydA=0
f)
上式中的积分代表截面对
Sz。
静距等于零意味着Z轴必须通过截面的形心。
以式(b)代入式(d),得
Z轴的静矩
2dA=EfyzdA=0
'Ap'AJ
(g)
式中,积分是横截面对y和Z轴的惯性积。
有Iyz=0,所示上式是自然满足的。
以式(b)代入式(e),得
由于y轴是截面的对称轴,必然
式中积分
Jy2dA=lZ
A
是横截面对Z轴(中性轴)的惯性矩。
于是,(h)式可以写成
(i)
(11.1)
此式表明,在指定的横截面处,中性层的曲率与该截面上的弯矩M成正比,
与Elz成反比。
在同样的弯矩作用下,Elz愈大,则曲率愈小,即梁愈不易变形,故Elz称为梁的抗弯刚度。
再将式(11.1)代入式(b),于是得横截面上y处的正应力为
(11.2)
M
c=——y
Iz
此式即为纯弯曲正应力的计算公式。
式中M为横截面上的弯矩;Iz为截面对中性轴的惯性矩;y为所求应力点至中性轴的距离。
当弯矩为正时,梁下部纤维伸长,故产生拉应力,上部纤维缩短而产生压应力;弯矩为负时,则与上相反。
在利用(11.2)式计算正应力时,可以不考虑式中弯矩M和y的正负号,均以绝对值代入,正应力是拉应力还是压应力可以由梁的变形来判断。
应该指出,以上公式虽然是纯弯曲的情况下,以矩形梁为例建立的,但对于具有纵向对称面的其他截面形式的梁,如工字形、T字形和圆形截面梁等仍然可以使用。
同时,在实际工程中大多数受横向力作用的梁,横截面上都存在剪力和
弯矩,但对一般细长梁来说,剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。
因此,
(11.2)式也适用于非纯弯曲情况。
11.1.2最大弯曲正应力
由式(11.2)可知,在y=ymax即横截在由离中性轴最远的各点处,弯曲正应力最大,其值为
◎max
M
=—ymax
1z
M
ymax
(11.3)
(11.4)
式中,比值Iz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关,称为抗弯截面系数,也叫抗弯截面模量。
用W表示。
即为
Wz=lz
ymax
于是,最大弯曲正应力即为
M
bmax—
Wz
可见,最大弯曲正应力与弯矩成正比,与抗弯截面系数成反比。
抗弯截面系数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
b
V
(a)
Cc) 图11.6 图11.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为 (11.5) 兀d3 W-32 (11.6) 而空心圆截面的抗弯截面系数则为 3 Wr(i4 (11.7) 式中a=d/D,代表内、外径的比值。 至于各种型钢截面的抗弯截面系数,可从型钢规格表中查得(见附录)。 b=12cm 例11.1图11.7所示悬臂梁,自由端承受集中荷载F作用,已知: h=18cmy=6cma=2mF=1.5KN。 计算A截面上K点的弯曲正应力。 z J A 1 1 r 么 b 图IL7 先计算截面上的弯矩 Ma =—Fa=—1.5咒2=-3kNm 截面对中性轴的惯性矩 Iz 33 bh12°"8°=5.832"07mm4 12 12 6 MA3x10cccccR仆 贝Ubk=y=X60=3.09MPa IZ5.832x107 A截面上的弯矩为负,K点是在中性轴的上边,所以为拉应力。 11.2平面图形的几何性质 构件在外力作用下产生的应力和变形,都与构件的截面的形状和尺寸有关。 反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量,如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等,统称为截面的几何性质。 为了计算弯曲应力和变形,需要知道截面的一些几何性质。 现在来讨论截面的一些主要的几何性质。 11.2.1形心和静矩 若截面形心得坐标为yc和ZC(C为截面形心),将面积得每一部分看成平行力系,即看成等厚、均质薄板的重力,根据合力矩定理可得形心坐标公式 (a) •AzdA^ydA 静矩又称面积矩。 其定义如下,在图11.8中任意截面内取一点M(乙y),围绕M点取一微面积dA,微面积对z轴的静矩为ydA,对y轴的静矩为zdA,则整个截面对z和y轴的静矩分别为: Sz=JAydA Sy=JAzdA (b) 有形心坐标公式 JAydA=Aye JAzdA=Aze 知: Sz=fydA=Aye (c) Sy=JAzdA=Azc 上式中ye和Ze是截面形心e的坐标,A是截面面积。 当截面形心的位置已知时可以用上式来计算截面的静矩。 从上面可知,同一截面对不同轴的静矩不同,静矩可以是正负或是零;静矩的单位是长度的立方,用m3或cm、mm等表示;当坐标轴过形心时,截面对该轴的静矩为零。 当截面由几个规则图形组合而成时,截面对某轴的静矩,应等于各个图形对 该轴静矩的代数和。 其表达式为 n Sz=WAiyi iJn Sy=2Aiz i丄 (d) (e) Zc f) 而截面形心坐标公式也可以写成 SAz (g) yC= SAi 11.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理 在图11.8中任意截面上选取一微面积性矩为z2dA和VdA。 则整个面积对Z轴和性积记为Izy,则定义: dA,则微面积dA对z轴和y轴的惯y轴的惯性矩分别记为Iz和ly,而惯 2iz=JAydA,ly=JAz2dA (h) Izy=JAzydA 极惯性矩定义为: Ip珂p2dA=JA(z2+ (i) 2 y)dA=iz+iy (j) 因为坐标的平方总是正数,惯性积可 用m或 LU、聽 II 从上面可以看出,惯性矩总是大于零, 以是正、负和零;惯性矩、惯性积和极惯性矩的单位都是长度的四次方,cm、mr^等表示。 同一截面对不同的平行的轴,它们的惯性矩和惯性积是不同的。 同一截面对二根平行轴的惯性矩和惯性积虽然不同,但它们之间存在一定的关系。 下面讨论二根平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。 图11.9所示任意截面对任意轴对z'轴和y'轴的惯性矩、惯性积分别为Iz、丨y,和2y^0过形心C有平行于z'、y'的两个坐标轴z和y,截面对Z、y轴的惯性矩和惯性积为Iz、Iy和Izy。 对oz'y'坐标系形心坐标为C(a,b)。 截面上选取微面积dA,dA的形心坐标为 z,=z+ay,=y+b 图IL9 则按照惯性矩的定义有 22 Iy,=Jz'dA=J(z+a)dA “A°A 22 =JzdA+2aJzdA+afdA “A“A°A 上式中第一项为截面对过形心坐标轴y轴的惯性矩;第三项为面积的a2倍;而第二项为截面过形心坐标轴y轴静矩乘以2a。 根据静矩的性质,对过形心轴的静矩为零,所以第二项为零。 这样上式可以写为 ly,=lyc+a2A (k) 同理可得: Iz,=Izc+b2A (I) IzyUIzcyc+abA (m) 也就是说,截面对于平行于形心轴的惯性矩,等于该截面对形心轴的惯性矩再加上其面积乘以两轴间距离的平方;而截面对于平行于过形心轴的任意两垂直轴的惯性积,等于该面积对过形心二轴的惯性积再加上面积乘以相互平行的二轴距之积。 这就是惯性矩和惯性积的平行移轴定理。 例11.2计算图11.10所示T形截面的形心和过它的形心z轴的惯性矩。 解 (1)确定截面形心位置 选参考坐标系oz'y',如图11.10所示。 将截面分解为上面和下面两个矩形部分,截面形心 _2Aiy^_A|yC1+A2yc2 yc=送Ai=A _1000咒102X850+1600X102X400 _2 2600X102 500— C2 500^ IE— 0 20Q "- 图11.10 C的纵坐标为 =573mm Zc=0 (2)计算截面惯性矩 上面矩形与下面矩形对形心轴z的惯性矩分别为 13294 lz1=一"000"00+1000X100X277=7.75勺0mm12 Iz2=丄咒200咒8003+800^200咒1732=13.32"09mm4 12 94 Iz=lz1+1z2=21.1咒10mm 11.3梁的弯曲剪应力 当进行平面弯曲梁的强度计算时,一般来说,弯曲正应力是支配梁强度计算的主要因素,但在某些情况上,例如,当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用,这时梁的最大弯矩比较小,而剪力却很大,如果梁截面窄且高或是薄壁截面,这时剪应力可达到相当大的数值,剪应力就不能忽略了。 下面介绍几种常见截面上弯曲剪应力的分布规律和计算公式。 11.3.1矩形截面梁的弯曲剪应力 (a) 1 I 1 1 h/2 L c Ht ■fit i g 1 'r 1 CM x+di 2 遶2 z pdA y 图II”11 图11.11(a)所示矩形截面梁,在纵向对称面内承受荷载作用。 设横截面的高度为h,宽度为b,为研究弯曲剪应力的分布规律,现作如下假设: 横截面上各点处的剪应力的方向都平行于剪力,并沿截面宽度均匀分布。 有相距dx的横 11.12(a)。 然 截面从梁中切取一微段,如图 m-n,将该微段的下部切出,,则由剪应力互等定理可知,纵。 因此,当剪应力T确定后,T也随 (d 图ll.12 后,在横截面上纵坐标为y处,再用一个纵向截面如图11.12(b)。 设横截面上y处的剪应力为T横面m-n上的剪应力T在数值上也等于T之确定。 如图11.12(a)所示,由于存在剪力Fq,截面1-1与2-2的弯矩将不相同,分别为M和M+dM,因此,上述两截面的弯曲正应力也不相同。 设微段下部横截 面m与n2的面积为3,在该两截面上由弯曲正应力所构成的轴向合力分别为N 与2,则由微段下部的轴向平衡方程 2x=0可知, Tbdx=Tbdx=Nj—N2 由此得 N1-N2 (a) T= bdx 由图11-12(c)可知 式中,积分代表截面3对z轴的静矩,并用 Sz*表示,因此有 N1 (b) N2 (M+dM)S: (M+FQdx)SZ IzIz 将式(b)和式(c)代入式(a),于是得 (C) FqSz T=Izb 式中: Iz代表整个横截面对中性轴矩z的惯性距;而Sz*则代表y处横线一侧的部分截面对z轴的静距。 对于矩形截面,如图 Mh1hbh22 S;=b^-y^-H+yH-^-y 22224 将上式及Iz=bh3/12代入式(11.8) (11.8) 11.13所示,其值为 f hZ2 J c z 1 h/2 1 1.; 1 b/2r*—==* b/2 -4* 得 (a) 0 (b) 图II.13 3Fq4y2 (11.9) T=——(1-斗 2bhh2 由此可见: 矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线分布(图11.13); 在截面的上、下边缘(y=±h),剪应力T=0;在中性轴(y=0),剪应力最大,其 2 值为 3Fq Imax —2bh (11.10) 11.3.2工字形截面梁的弯曲剪应力 工字形截面梁由腹板和翼缘组成。 其横截面如图11.14所示。 中间狭长部分为腹板,上、下扁平部分为翼缘。 梁横截面上的剪应力主要分布于腹板上,翼缘部分的剪应力情况比较复杂,数值很小,可以不予考虑。 由于腹板比较狭长,因此可以假设: 腹板上各点处的弯曲剪应力平行于腹板侧边,并沿腹板厚度均匀分布。 腹板的剪应力平行于腹板的竖边,且沿宽度方向均匀分布。 根据上述假设,并采用前述矩形截面梁的分析方法,得腹板上y处的弯曲剪应力为: FqSZ T= Izb 式中,Iz为整个工字形截面对中性轴z的惯性矩,Sz*为y处横线一侧的部分截面对该轴的静矩,b为腹板的厚度。 ——*1 -J i 1 1 y 1 A- (a) 圏1114 -——3 ■1 1 TBLh 由图11.14(a)可以看出,y处横线以下的截面是由下翼缘部分与部分腹板的组成,该截面对中性轴z的静矩为 “"Hh\「h1Hh\ 22*2222J 丿、「1,h、"[ +b(——yny+——y)\ 2『22」 2B/II2.2\丄b/h2\ =(H—h)+(-y) 824 因此,腹板上y处的弯曲剪应力为 FQ「B2以、丄b『2\ Izb[824” (11.11) 由此可见: 腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布,如 图11.14(b)所示。 在中性轴处(y=0),剪应力最大,在腹板与翼缘的交接处(y=±h/2),剪应力最小,其值分别为 Fq S^b Fq「BH2eJ2 Sa"I: bh—(B—b)§ (11.12) Jin FqBH2Bh2 =——() rzb(-^--8 (11.13) 从以上两式可见,当腹板的宽度b远小于翼缘的宽度B,Tmax与Tmin实际上相差不大,所以可以认为在腹板直剪应力大致是均匀分布的。 可用腹板的截面面积除剪力Fq,近似地得表示腹板的剪应力,即 Fq T=—— bh (11.14) 在工字形截面梁的腹板与翼缘的交接处,剪应力分布比较复杂,而且存在应 力集中现象,为了减小应力集中,宜将结合处作成圆角。 11.3.3圆形截面梁的弯曲剪应力 对于圆截面梁,在矩形截面中对剪应力方向所作的假设不再适用。 由剪应力 互等定理可知,在截面边缘上各点剪应力T的方向必与圆周相切,因此,在水平弦AB的两个端点上的剪应力的作用线相交于y轴上的某点P,如图11.15(a)。 由于对称,AB中点C的剪应力必定是垂直的,因而也通过P点。 由此可以假设,AB弦上各点剪应力的作用线都通过P点。 如再假设AB弦上各点剪应力的垂直分量Ty是相等的,于是对Ty来说,就与对矩形截面所作的假设完全相同,所以,可用公式来计算,即 FqSZ TZb" 中阴影部分的面积对z轴的静矩。 其值为 式中,b为AB弦的长度,Sz*是图11.15(b) 在中性轴上,剪应力为最大值Tmax。 4Fq4Fq t== maxc2r八 3兀r3A (11.16) 式中,FQA是梁横截面上平均剪应力。 例11.3梁截面如图11.16(a)所示,横截面上剪力Fc=15KN试计算该截面的最大弯曲剪应力,以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。 截面的惯性矩lz=8.84X10-6m。 EIIIE 解 (1)最大弯曲剪应力。 最大弯曲剪应力发生在中性轴上。 中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为 2 S如ax=(20mm+120mm—45mm)^mm=9.025>c104mm3 所以,最大弯曲剪应力为 ^max FcS^Zmax(15>d03N)(9.025咒104mm3)一, =='八64=7.66MPa Izb(8.84>d06mm4)(20mm) (2)腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力。 由图11.16(b)可知,腹板、翼缘交接线一侧的部发截面对中性轴z的静矩 &=(20mmx120mmx35mm)=8.40>d04mm3 所以,该交接处的弯曲剪应力为 “仝=(^泌兽沁机7.13MPa Izb8.84x10mmx20mm 11.4梁的强度条件 在一般情况下,梁内同时存在弯曲正应力和剪应力,为了保证梁的安全工作,梁最大应力不能超出一定的限度,也即,梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。 以下将据此建立梁的正应力强度条件和剪应力强度条件。 11.4.1弯曲正应力强度条件 最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处,而该处的剪应力一般为零或很小,因而最大弯曲正应力作用点可看成是处于单向受力状态,所以,弯曲正应力强度条件为 max一lWz' 即要求梁内的最大弯曲正应力(Tmax不超过材料在单向受力时的许用应力[(T]。 对于等截面直梁,上式变为 . 」max (11.16) bmax =兰k] Wz (11.17) 利用上述强度条件,可以对梁进行正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。 11.4.2弯曲剪应力强度条件 最大弯曲剪应力通常发生在中性轴上各点处,而该处的弯曲正应力为零,因此,最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态,相应的强度条件为 (FQSZmax 丿max 即要求梁内的最大弯曲剪应力Tmax不超过材料在纯剪切时的许用剪应力[T]。 对于等截面直梁,上式变为 FQSz,maxf1Tmax==」 Izb 最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力。 通常强度的计算由正应力强度条件控制。 在一般细长的非薄壁截面梁中,此,对于一般细长的非薄壁截面梁, 此,在选择梁的截面时,一般都是按正应力强度条件选择,选好截面后再按剪应 后 则不仅应考虑弯曲正应力强 力强度条件进行校核。 但是,对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁,者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁等,度条件,而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用。 横截面为T字形,并承受 q=25N/mm截面形心离底边 (T 例11.4图11.17(a)所示外伸梁,用铸铁制成,均布荷载q作用。 试校该梁的强度。 已知荷载集度与顶边的距离分别为y1=95mn和y2=95mr,惯性矩Iz=8.84X10-6m,许用拉应力[t]=35MPa许用压应力[(Tc]=140Mpa。 解 (1)危险截面与危险点判断。 梁的弯矩如图11.17(b)所示,在横截面D与B上,分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩,因此,该二截面均为危险截面。 截面D与B的弯曲正应力分布分别如图11.17(c)与(d)所示。 截面D
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- 11 弯曲应力