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离散时刻信号的时域变换
第七章 离散信号与系统时域分析
7-1 离散信号及其时域特性
一、离散时刻信号
若是信号仅在一些离散的刹时具有确信的数值,那么称之为离散时刻信号。
假设选取的离散刹时是等距离的,那么一样经常使用f(kT)表示,其中k=0,±1,±2,…;T为离散距离。
一样把这种按必然规那么有秩序排列的一系列数值称为序列,简记为f(k)。
本书仅讨论这种等距离的离散时刻信号。
离散时刻信号可用序列{f(k)}表示。
比如
也能够用数据表格形式给出,如图7-1(a)所示,或以图形方式表示,如图7-1(b)所示。
可见,f(k)具有双重意义:
既代表一个序列,又代表序列中第k个数值。
离散时刻信号获取的方式常有两种:
一种是持续时刻信号离散化,即依照抽样定理对持续时刻信号进行均匀时刻距离取样,使持续时刻信号在不失去有效信息的条件下转变成离散时刻信号,这是目前信号数字化处置中最经常使用的方式之一。
另一种是直接获取离散信号,比如运算机系统中经历器件上贮存的记录,地面对人造地球卫星或其他飞行体的轨道观测记录和一切统计数据等,这都是一些各不相同的离散时刻信号。
二、离散时刻信号的时域运算
离散时刻信号常有以下几种运算。
1.相加
两个离散信号f1(k)和f2(k)相加是指它们同序号的值逐项对应相加,其和为一新的离散信号f(k),即
f(k)=f1(k)+f2(k) (7-1)
例如,图7-2(a),(b)所示的离散时刻信号
和
进行相加,其结果为
用图形表示如图7-2(c)所示。
离散时刻信号的相加可用加法器实现。
2.相乘
两个离散信号f1(k)和f2(k)相乘是指它们同序号的值逐项对应相乘,其积为一新的离散信号f(k),即 f(k)=f1(k)f2(k) (7-2)
例如,图7-2(a),(b)中的f1(k)和f2(k)相乘,其结果为
用图形表示如图7-2(d)所示。
离散时刻信号的相乘可用乘法器实现。
3.数乘
数乘是指对离散信号f(k)每一个取样值均乘以一个实常数a, 而取得一个新的离散信号y(k),即
通常可用数乘器或比例器来实现这种运算。
4.累加和
离散信号f(k)的累加和是指对f(k)进行多项值累加而取得一个新的离散信号y(k),即
累加和的运算可用累加器实现。
三、离散时刻信号的时域变换
离散时刻信号时域变换要紧有以下几种。
1.移位
移位是指将离散信号f(k)沿k轴逐项依次移m位而取得一新的离散信号y(k),即
式中,m为大于零的整数。
若y(k)=f(k+m),那么y(k)比f(k)提早m位,对应图形左移m位;假设y(k)=f(k-m),那么y(k)比f(k)延迟m位,对应图形右移m位。
例如图7-3(a)所示离散信号f(k),即
则
其图形相对f(k)右移2个序号,如图7-3(b)所示。
而
其图形相对f(k)左移2个序号,如图7-3(c)所示。
2.折叠
折叠是将离散信号f(k)中变量k用-k取代而取得一新的离散信号y(k),即
从图形上看是将f(k)以纵坐标为轴翻转。
例如对图7-3(a)所示的f(k)进行折叠变换,所得结果y(k)=f(-k),其图形与图7-3(c)所示图形相同。
3.倒相
倒相是将离散信号f(k)乘以-1后而取得的另一离散信号y(k),即
从图形上能够看出,倒相是将f(k)以横坐标为轴进行翻转的一种变换。
例如图7-3(a)所示f(k)的倒相结果如图7-4(a)所示。
4.展缩
展缩是指将离散信号f(k)在时刻序号上进行紧缩或扩展,即
式中,a为非零值的正实常数。
假设a>1,那么所得y(k)在时刻上比f(k)紧缩a倍;假设0<a<1,那么y(k)比f(k)在时刻序号上扩展了1/a倍。
需要注意的是,对f(k)进行展缩变换后所得序列y(k)可能会显现k为非整数情形,在此情形下舍去这些非整数的k及其值。
例如图7-3(a)所示f(k),即
则
那个地址k不取奇数。
其图形如图7-4(b)所示,可见y(k)比f(k)在时刻序号上扩展了2倍。
而
其图形如图7-4(c)所示。
由于显现
的非整数序号,故舍去该点及其值,所得结果应为
可见, y(k)比f(k)在时刻序号上紧缩了1/2。
还应指出,关于离散信号紧缩后再展宽不能恢恢复序列。
5.差分
离散时刻信号的差分是指序列f(k)与其移位序列f(k±m)的运算。
一样有两种:
(1) f(k)的后向差分,记
(一阶后向差分)
(二阶后向差分)
(2) f(k)的前向差分,记
(一阶前向差分)
(二阶前向差分)
可见,差分事实上是离散信号时域变换与运算的综合形式。
四、经常使用的离散时刻信号
1.单位序列
单位序列
概念为
其图形如图7-5所示。
可见该序列仅在k=0处取单位值,其余点均为零值,因此又称之为“单位取样序列”、 “单位函数”、“单位脉冲序列”等。
单位序列作用类似于持续时刻信号中的
,也具有抽样性,即
可是
与
有本质的不同:
是一个奇异信号,可明白得为一个在t=0处宽度无穷小、幅度无穷大、面积为1的窄脉冲,实际中无法实现。
而
是一个非奇异信号,它在k=0处取有限值1,这在实际工程中是完全存在的。
2.单位阶跃序列
单位阶跃序列
概念为
其图形如图7-6所示。
可见单位阶跃序列类似于持续时刻信号中的单位阶跃函数
,它也是有截除性。
即可将一个双边序列截为一个单边序列
一样
与
也有本质的不同:
是一种奇异信号,它在t=0处发生跃变,
;而
是一种非奇异信号,它在k=0处明肯概念为1。
U(k)与
有如下关系:
3.单位矩形序列(门序列)
单位矩形序列概念为
对应图形如图7-7所示。
假设用单位阶跃序列表示,那么
4.单边实指数序列
实指数序列是指序列值随序号转变而按指数规律转变的离散时刻信号,经常使用的实指数序列为单边实指数序列,即当k<0时, f(k)=0,即
若|
|>1,那么f(k)为一个发散序列,如图7–8(a) 所示;
若|
|<1,那么f(k)为一个收敛序列,如图7–8(b) 所示;
当|
|=0时, f(k)=U(k)。
若是
,那么当|a|<1时, f(k)为发散序列;当|a|>1时, f(k)为收敛序列。
5.正弦序列
正弦序列概念为
或
式中,
为正弦序列的数字角频率; A,
或
为正弦序列的振幅和初相。
典型正弦序列如图7-9所示。
当
为整数时,正弦序列f(k)为一个周期性离散时刻信号,重复周期为
;当
为有理数时,正弦序列f(k)也是一个周期性的离散时刻信号,重复周期
;当
为无理数时,正弦序列f(k)再也不是周期离散时刻信号。
例如:
为周期
的正弦周期序列;
为周期
的周期序列;
那么不是周期序列。
因此,离散时刻信号从其值的重复性上可分为周期序列和非周期序列。
假设离散信号f(k)知足
则f(k)为周期离散时刻信号,其重复周期T=N,重复角频率为
。
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