全等三角形难题集锦超级好.docx
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全等三角形难题集锦超级好
1.如图,已知等边厶ABCP在AC延长线上一点,以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M连接AM,求证:
(1)BP=CE
(2)试证明:
EM-PM=AM.
2、点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,线段AN,MC交于点E,BM,CN交于点F。
求证:
(1)AN=MB.
(2)将厶ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度,如图②所示,其他条件不变,
(1)中的结论是否依
5.已知,如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,.—BAC=-DAE,且点B,A,D在一条直
线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
(1)求证:
①BE二CD:
②AM二AN;
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写
出
(1)中的两个结论是否仍然成立
D
图①
N
D
M
A
图②
6.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形
0,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ以下五个结论:
1AD=BE;②PQ//AE;③AP=BQ;
④DE=DP⑤/AOB=60⑥CP=CQ⑦厶CPQ为等边三角形.
⑧共有2对全等三角形⑨C0平分/AOP⑩CO平分/BCD
恒成立的结论有(把你认为正确的序号都填上).
10.已知:
如图,△ABC是等边三角形,过AB边上的点D作DG//BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DB,连接AE,CD.
(1)求证:
△AGEDAC;
(2)
过点E作EF//DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断△AEF是怎样的三角形,试证明你的结论.
11、如图1,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形与△AEG面积之间的关系,并说明理由.
ABDE和正方形ACFG
连结EG,试判断△ABC
G
A
(把你认为正确的序号都填上)
(图1)
9如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDEAD与BE交于点0,
AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ以下五个结论:
1AD=BE;
2PQ//AE
3AP=BQ
4DE=DP
5/AOB=60.
恒成立的结论有
如图所示,已知△ABC和厶BDE都是等边三角形,且A、B、D三点共线.下列结论:
①AE=CD:
②BF=BG:
③HB平分/AHD;④/AHC=60。
,⑤△BFG是等边三角形;⑥FG()
A.3个B.4个C.5个D.6个
//AD.其中正确的有
1、在厶ABC中,AB二BC=2,.ABC=120。
,将△ABC绕
:
(0°「•:
:
:
90°)得厶ABG,A1B交AC于点E,AG分别交AC、BC于D、F两点•如图1,观察并猜想,在
旋转过程中,线段EA与FC有怎样的数量关系?
并证明你的结论;
Ci
1
ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,
2.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,/交AD于点F,求证:
/ADC=ZBDE.
3.
CBM
如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与/的平分线BF相交于点F
⑴如图14—1,当点E在AB边的中点位置时:
1通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是;
2连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是;
3请证明你的上述两猜想•
⑵如图14—2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
K14-1
已知Rt△ABC中,AC=BC,/C=90,D为AB边的中点,.EDF=90°
■EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.
1
当.EDF绕D点旋转到DE_AC于E时(如图1),易证S^DEFS^CEFS^ABC.
2
请给予证明;
当.EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,若不成立,Sadef、Sacef、Saabc又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
F图1
图2
F
1•已知AC//BD,/CAB和/DBA的平分线EA、求证:
AB=AC+BD.
2.等边△ABC,D为厶ABC外一点,/BDC=120°,BD=DC./MDN=60。
射线DM与直线AB相交
于点M,射线DN与直线AC相交于点N,
1当点MN在边ABAC上,且DM=DN^,直接写出BMNGMN之间的数量关系.
2当点MN在边ABAC上,且D昨DN时,猜想①中的结论还成立吗?
若成立,请证明.
3当点MN在边ABCA的延长线上时,请画出图形,并写出BMNCMN之间的数量关系.
3•如图1,BD是等腰RtAABC的角平分线,ZBAC=90.
(1)
求证BC=AB+AD;
1、已知,如图1,在四边形
ABCDK
BC>ABAD=DCBD平分/ABC
求证:
/BAB/BCD180°。
A
s图1
c
2、如图,四边形ABCD中,AC平分/BAD,CE丄AB于E,AD+AB=2AE,则/B与/ADC互补.为什么?
3、如图4,在厶ABC中,BD=CD/ABD=/ACD,求证AD平分/BAC.
A
4•如图,在△ABC中/ABC,/ACB的外角平分线交P求证:
AP是/BAC的角平分线
5、如图在四边形ABCD中,AC平分/BAD,/ADC+ZABC数量关系,并证明你的猜想,
6、如图,已知在厶ABC中,/B=60°,^ABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证:
0E=0D
0P所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作
8如图①,0P是/MON的平分线,请你利用该图形画一对以全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,/ACB是直角,/B=60°,
AD、CE分别是/BAC、/BCA的平分线,
AD、CE相交
于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)
如图③,在△ABC中,如果/ACB不是直角,而⑴中的其它条件不变,请问,你在⑴中所得结论是否仍然
9.已知:
如图,BF丄AC于点F,CELAB于点E,且BD=CD求证:
(〔)△BDE^ACDF
(2)点D在/A的平分线上
11、(2007年成都)已知:
如图,△ABC中,/ABC=45°,CD丄AB于D,BE平分/ABC,且BE丄AC于E,与CD
相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G。
⑴求证:
BF=AC;
1
⑵求证:
CE=BF;
(3)CE与BC的大小关系如何?
试证明你的结论。
12、(2009年赤峰市)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是/ABC的平分线,AF//DC,连接AC、CF,求证:
CA是/DCF的平分线。
1、数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点..AEF=90〃,且EF交
正方形外角•DCG的平分线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AMEECF,
所以AE=EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C夕卜)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)
小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
图1图2图3
3.AABC中,/BAC=60,/C=40,AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/ABC交AC于Q,求证:
AB+BP=BQ+AQ
BDC
4.问题背景,如下命题:
1如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角/ACK的平分线若/ANM=60,则AN=NM
2如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点,CM为正方形外角/DCK的平分线,
3如图3,在正五边形
AN=NM
ABCDE中,N为BC边上任一点,CM
为正五边形外角/DCK
若/ANM=90,贝UAN=NM
的平分线若/ANM=10°则
任务要求:
请你证明以上三个命题;请你继续完成下面的探索:
如图4,在正n(n>3边形等于多少度时,结论AN=NM
ABCDEF-中,N为BC边上任一点,CM为正n边形外角/成立(不要求证明)
DCK的平分线,问当/ANM
如图5,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为/DCN的平分线若/ANM=/ABC,请问AN=NM是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由•
图5
5.
(1)如图,已知在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN丄DM且交/CBE的平分线于N.试判定线段MD与MN的大小关系;
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上或AB延长线上任意一点”,其余条件不变.试问
(1)中的结论还成立吗?
如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
6•如图,在△ABC中,/A=90°,D是AC上的一点,足.求证:
PE+PF=AB.
BD=DC,P是BC上的任一点,PE丄BD,PF丄AC,E、F为垂
1..如图,已知△ABC中,AB=AC=6cm,/B=/C,BC=4cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与厶CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使厶BPD与厶CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,则经过后,点P与点Q第一次在厶ABC的
边上相遇?
(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)
2•已知:
在△ABC中,/ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角厶ADE,解答下列各题:
如果AB=AC,/BAC=90°.
(i)当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图甲,线段BD,CE之间的位置关系为(ii)当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,i)中的结论是否还成立?
为什么?
3.(2012?
内江)已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使/DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:
①BD=CF:
②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?
若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.
1.
在^ABC中,AD丄BC,BE丄AC,D、E为垂足,AD与BE交与点H,BD=AD
求证:
BH=ACBE!
AD
2.
(08河北中考第24题)如图14-1,在厶ABC中,BC边在直线I上,AC!
BC,且AC=BC.AEFP的边FP也在直线I上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)在图14-1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将厶EFP沿直线I向左平移到图14-2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;(3)将厶EFP沿直线I向左平移到图14-3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ.你认为
(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
3.(2006年辽宁沈阳25题).如图1,在正方形ABC冲,点E、F分别为边BCCD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:
①AF=DE②AF丄DE.(不需要证明)
⑴如图2,若点E、F不是正方形ABCD勺边BCCD的中点,但满足CE=DF则上面的结论①、②是否仍然成立?
(请直接回答“成立”或“不成立”)
⑵如图3,若点E、F分别在正方形ABCD勺边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF此时上面的结论①、②是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由
4.如图1,A、E、F、C在同一条直线上,AE=CF过E、F分别作DEIAC,BF丄AC,若AB=CD试说明BD平分EF;若将
△DEQ的边EC沿AC方向移动变为图2时,其余条件不变,BD是否还平分EF,请说明理由。
5•如图,△ABC中,/ACB=90°AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF丄AE,垂足为F,过B作BD丄BC交
CF的延长线于D.
求证:
(1)AE=CD;
(2)若AC=12cm,求BD的长.
6.如图,两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起,/DEA=/ACB=90,/DAENABC=30,
E、A、C三点在一条直线上,连接BD取BD中点M连接MEMC试判断△EMC勺形状,并说明理由.
7.
已知BE,CF是厶ABC的高,且BP=ACCQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
8.在Rt△ABC中,AC=BC,ZACB=90°D是AC的中点,DG丄AC交AB于点G.
(1)如图1,E为线段DC上任意一点,点F在线段DG上,且DE=DF,连结EF与CF,过点F作FH丄FC,交直线AB于点H.
1求证:
DG=DC
2判断FH与FC的数量关系并加以证明.
(2)若E为线段DC的延长线上任意一点,点F在射线DG上,
(1)中的其他条件不变,借助图2画出图形。
在你所
画图形中找出一对全等三角形,并判断你在
(1)中得出的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论,不必证明)
30、如图,AD//BC,AD=BCAELAD,AF丄AB,且AE=ADAF=AB求证:
AC=EF
1•直线CD经过•BCA的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且•BEC=•CFA=•:
-.
(1)若直线CD经过/BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若.BCA=90;,/二=90:
;,则EF
BE—AF(填“〉”“c”或“=”号);
②如图2,若0「:
:
■BCA:
:
:
180°,若使①中的结论仍然成立,则.:
•与.BCA应满足的关系是
(2)如图3,若直线CD经过.BCA的外部,
.:
■=■BCA,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予
证明.
CA
图1
图2图3
2•已知:
如图,四边形ABCD中,AC平分乙BAD,CE_AB于E,且乙B+ND=180,求证:
AE=AD+BE
3•操作:
如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角/BDC=120°的等腰三角形,以两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.
探究:
线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.
D为顶点作一个60°角,角的
4.如图,已知E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,且/DAE2FAE
求证:
AF=AD-CF
5.
如图所示,已知△ABC中,AB=ACD是CB延长线上一点,/ADB=60,E是AD上一点,且DE=DB求证:
AC=BE+BC
6、在厶ABC中,BD=DCED丄DF.求证:
BE+CF>EF.
旋转
已知,如图,三角形ABC是等腰直角三角形,/ACB=90,F是AB的中点,直线I经过点C,分别过点A、B作I的垂线,即AD丄CE,BE丄CE
(1)如图1,当CE位于点F的右侧时,求证:
△ADC^^CEB
(2)如图2,当CE位于点F的左侧时,求证:
ED=BE-AD
(3)如图3,当CE在厶ABC的外部时,试猜想EDADBE之间的数量关系,并证明你的猜想.
考点:
全等三角形的判定与性质•专题:
证明题;探究型•分析:
(1)利用同角的余角相等得出/CAD=BCE进而根
据AAS证明△AD3ACEB
(2)根据AAS证明△ADC^ACEB后,得其对应边相等,进而得到ED=BE-AD
(3)根据AAS证明△ADC^ACEB后,得DC=BEAD=CE又有ED=CE+D,进而得至UED=AD+BE解答:
(1)证明:
tAD丄CE,BE!
CE
•••/ADC2CEB=90•
•••/ACD丄ECB=90,/CAD+/ACD=90,
•••/CAD/BCE(同角的余角相等).
在厶ADC与△CEB中
/ADC/CEB/CAD/BCEAC=BC,
•△ADC^ACEB(AAS•
(2)证明:
TAD!
CEBE丄CE,
•/ADC/CEB=90.
•••/ACD/ECB=90,/CAD+ZACD=90,
•/CAD/BCE(同角的余角相等).
在厶ADC与△CEB中
/ADC/CEB/CAD/BCEAC=BC,
•△ADC^ACEB(AAS•
•DC=BEAD=CE
又•••ED=CD-CE
•ED=BE-AD
(3)ED=AD+BE
证明:
•••AD!
CE,BE!
CE
•/ADC/CEB=90•
•••/ACD/ECB=90,/CAD+ZACD=90,
•/CAD/BCE(同角的余角相等).
在厶ADC与△CEB中
/ADC/CEB/CAD/BCEAC=BC,
•△ADC^ACEB(AAS•
•DC=BEAD=CE
又•••ED=CE+D,C
•ED=AD+BE点评:
本题考查了全等三角形的判定和性质;禾U用全等三角形的对应边相等进行等量交换,证明线段之间的数量关系,这是一种很重要的方法,注意掌握
3.如图1、图2、图3,\AOB△COD匀是等腰直角三角形,/AOB=ZCOD=90o,
(1)在图1中,AC与BD相等吗,有怎样的位置关系?
请说明理由。
(2)若厶COD绕点O顺时针旋转一定角度后,至U达图2的位置,请问AC与BD还相等吗,还具有那种位置关系吗?
为什么?
(3)若厶COD绕点O顺时针旋转一定角度后,至U达图3的位置,请问AC与BD还相等吗?
还具有上问中的位置关系
吗?
为什么?
(1)根据等腰三角形的两腰相等进行解答.
(1)相等.
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形•分析:
(2)证明△DOB^ACOA根据全等三角形的对应边相等进行说明•解答:
解:
在图1中,•••△AOB△COD匀是等腰直角三角形,/AOB=ZCOD=90,
•••OA=OBOC=OD
•••OA-OC=OB-OD,
•AC=BD
相等..
在图2中,OD=OC/DOB=/COAOB=OA
•••△DOB^ACOA
•BD=AC点评:
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题,在旋转的过程中要注意哪些量是不变的,找出图形中的对应边与对应角.
4.(2008河南).(9分)复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:
“如图①,已知在厶ABC中,AB=AC
P是厶ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ使/QAP/BAC连接BQCP贝UBQCP”
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了厶ABQ^^ACP从而证得BQ=CP之后,将点P移到等腰
三角形ABC之外,原题中的条件不变,发现“BOCP仍然成立,请你就图②给出证明.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质•专题:
证明题;探究型•分析:
此题的两个小题思路是一致的;
已知/QAP=/BAC,那么这两个等角同时减去同一个角(2题是加上同一个角),来证得/QAB=/PAC;而根据旋转的性质知:
AP=AQ,且已知AB=AC,即可由SAS证得△ABQACP,进而得出BQ=CP的结论.解答:
证明:
(1)•••/QAP=/BAC,
•••/QAP-/BAP=/BAC-/BAP,
即/QAB=/CAP;
在厶BQA和厶CPA中,
AQ=AP/QAB=/CAPAB=AC,
•△BQA◎△CPA(SAS);
•BQ=CP.
(2)BQ=CP仍然成立,理由如下:
•••/QAP=/BAC,
•••/QAP+/PAB=/BAC+/PAB,
即/QAB=/PAC;
在厶QAB和厶PAC中,
AQ=AP/QAB=/PACAB=AC,
•△QAB◎△PAC(SAS),
•BQ=CP•点评:
此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质;选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键.
5.(2009山西太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片△ABC和厶DEF•且
△ABCDEF。
将这两张三角形胶片的顶点
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