初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结范文.docx
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初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结范文
初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结【一】:
九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系_知识点整理
点、线和圆的位置关系
一、本节学习指导
和圆相关的概念比较多,一下全都记住是比较困难的,我们可以采取一些方法,我们可以归类似、联想记忆,当然最好是能先理解再记忆。
本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有
d<r<====>点P在⊙O内;
d=r<====>点P在⊙O上;
d>r<====>点P在⊙O外。
注点和圆的位置关系只有在圆上如图点P2,在圆内如图点P1,在圆外P3三种。
2、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系,具体如下
(1)相交直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;
(2)相切直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,
(3)相离直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么
直线l与⊙O相交<====>d 直线l与⊙O相切<====>d=r; 直线l与⊙O相离<====>d>r; 3、切线的判定和性质 (1)、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (2)、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 如右图中,OD垂直于切线。 4、切线长定理 (1)、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的 长叫做这点到圆的切线长。 (2)、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角。 如右图中圆外一点P与圆O相切与D,E两点,所以有PD=PE,可以通过连接OP来证明。 5、过三点的圆 (1)、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 (2)、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 如图圆 O是△ABC的外接圆 (3)、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的 交点,它叫做这个三角形的外心。 (4)、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件) 圆内接四边形对角互补。 (5)、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 如图圆O是△A'B'C'的内切圆。 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。 初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结【二】: 初三数学圆知识点总结 圆——知识点总结归纳 要点归纳 一.圆的认识1.圆的定义 (1)在一个平面内,线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,如右图所示。 (2)圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,定点为圆心,定长为圆的半径。 说明圆的位置由圆心确定,圆的大小由半径确定,半径相等的两个圆为等圆。 2.圆的有关概念 (1)弦连结圆上任意两点的线段。 (如右图中的CD)。 (2)直径经过圆心的弦(如右图中的AB)。 直径等于半径的2倍。 (3)弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧。 (如右图中的CD、CAD) 其中大于半圆的弧叫做优弧,如CAD,小初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结。 于半圆的弧叫做劣弧。 (4)圆心角如右图中∠COD就是圆心角。 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 (1)定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦的弦心距相等。 (2)推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.过三点的圆。 (1)定理不在同一条直线上的三点确定一个圆。 (2)三角形的外接圆圆心(外心)是三边垂直平分线的交点。 5.垂径定理。 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 推论 (1)①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;③平分弦所对的一条弦的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 (2)圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6.与圆相关的角 (1)与圆相关的角的定义 ①圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角 ②圆周角顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 ③弦切角顶点在圆上,一边和圆相交,另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。 (2)与圆相关的角的性质 A B ①圆心角的度数等于它所对的弦的度数; ②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;③同弧或等弧所对的圆周角相等;④半圆(或直径)所对的圆周角相等;⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角; ⑥两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等; ⑦圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 二.与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系 如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么 (1)点在圆外dr (2)点在圆上dr(3)点在圆内dr2.直线和圆的位置关系 设r为圆的半径,d为圆心到直线的距离 (1)直线和圆相离dr,直线与圆没有交点; (2)直线和圆相切dr,直线与圆有唯一交点;(3)直线和圆相交dr,直线与圆有两个交点。 3.圆的切线 (1)定义和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线,唯一公共点叫做切点。 (2)切线的判定定理 经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。 (3)切线的性质定理及推论 定理圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 ①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4.两圆的位置关系 设R、r为两圆的半径,d为圆心距 (1)两圆外离dR+r; (2)两圆外切dR+r;(3)两圆相交R(4)两圆内切d(5)两圆内含d r (注意如果为d=0,则两圆为同心圆。 )R-r(R>r)。 5.两圆连心线的性质 (1)相交两圆的连心线,垂直平分公共弦,且平分两条外公切线所夹的角。 (注平分两外公切线所夹的角,通过角平分线的判定“到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上”,很易证明。 ) (2)相切两圆的连心线必经过切点。 (3)相离两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线的夹角。 6.两圆公切线的性质 (1)如果两圆有两条外公切线,则两外公切线长相等。 (2)如果两圆有两条内公切线,则两内公切线长相等。 8.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法 (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论; (2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。 9.与圆相关的常用辅助线 (1)有弦,可作弦心距; (2)有直径,可作直径所对的圆周角;(3)有切点,可作过切点的半径;(4)两圆相交,可作公共弦;(5)两圆相切,可作公切线;(6)有半圆,可作整圆。 记忆口诀有弦可作弦心距,中心圆心相连;两圆相切公切线,两圆相交公共弦;遇到切点作半径,圆与圆心连心;遇到直径相直角,直角相对点共圆。 (注“心连心”为连心线。 )10.圆外切三角形和四边形的性质 (1)如右图,△ABC是⊙O的外切三角形,D、E、F为切点,则 AD=AF= AB+AC-BD 2 同理直角三角形内切圆半径R= a+b-c 。 (其中a、b为直角边,c为斜边)2 (2)圆外切四边形两组对边和相等,即如右图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,则AB+CD=AD+BC。 三.圆中的计算问题1.圆的有关计算 (1)圆周长c=2pR (2)弧长l= npR ;180 2 (3)圆面积S=pR; 1npR2 (4)扇形面积S扇形=lR=; 2360 (5)弓形面积S弓形=S扇形±SD 2.圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长等于圆柱的底面周长c,宽是圆柱的母线长l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧=cl=2prl。 3.圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面周长c,半径等于圆锥母线长l,若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为a,则a= r1 360,S圆锥侧=cl=prl。 l2 初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结【三】: 初三数学圆知识点总结 初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1.圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R,OP=d,则有d>r点P在⊙O外; d=r点P在⊙O上;d 3.与圆有关的角 (1)圆心角顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质 ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结。 (3)弦切角顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角.弦切角的性质弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4.圆的性质 (1)旋转不变性圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.垂径定理及推论 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等. 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2)三角形的外心是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示. (3)三角形重心是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4)垂心是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质 (1)切线的判定 ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质 ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等. 8.直线和圆的位置关系 设⊙O半径为R,点O到直线l的距离为d. (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O有两个公共点直线l和⊙O相交d 9.圆和圆的位置关系设的半径为R、r(R>r),圆心距. (1) 外离 (2)含 (3) 外切 (4)d 每个圆上的点都在另一个圆外部d=R+r.的每个点都在 内部没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R+r.没有公共点,且的每一个点都在 外部内有唯一公共点,除这个点外,内切d=R-r.相交(5) 有两个公共点R-r 10.两圆的性质 (1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点. 11.圆中有关计算 圆的面积公式,周长C=2πR. 圆心角为n°、半径为R的弧长. 圆心角为n°,半径为R,弧长为l的扇形的面积 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.. 圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl ,全面积为.,侧 圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为l,高为h的圆锥的侧面积为πRl,全面积为 【经典例题精讲】 例1如图23-2,已知AB为⊙O直径,C为上一点,CD⊥AB于D,∠OCD的平分线CP交⊙O于P,试判断P点位置是否随C点位置改变 而改变? ,母线长、圆锥高、 底面圆的半径之间有. 分析要确定P点位置,我们可采用尝试的办法, 在上再取几个符合条件的点试一试,观察P点位置的变化,然后从中观察规律. 解 连结OP, P点为中点. 小结此题运用垂径定理进行推断. 例2下列命题正确的是() A.相等的圆周角对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.三点确定一个圆 D.平分弦的直径垂直于弦. 解 A.在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等,所以A不正确. B.等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧,因此B正确. C.三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆. D.平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦. 故选B. 例3四边形ABCD内接于⊙O,∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3,求∠D. 分析圆内接四边形对角之和相等,圆外切四边形对边之和相等. 解 设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠D=∠A+∠C-∠B=2x. x+2x+3x+2x=360°, x=45°. ∴∠D=90°. 小结此题可变形为四边形ABCD外切于⊙O,周长为20,且AB︰BC︰CD=1︰2︰3,求AD的长. 例4为了测量一个圆柱形铁环的半径,某同学采用如下方法将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度 尺,用如图23-4所示方法得到相关数据,进而可以 求得铁环半径.若测得PA=5cm,则铁环的半径是 __________cm. 分析测量铁环半径的方法很多,本题主要考查切 线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进 行合作解决,即过P点作直线OP⊥PA,再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角,这个角的另一边与OP的交点即为圆心O,再用三角函数知识求解. 解 . 小结应用圆的知识解决实际问题,应将实际问题变成数学问题,建立数学模型. 例5已知相交于A、B两点,的半径是10,的半径是17,公共弦AB=16,求两圆的圆心距. 解分两种情况讨论 (1)若位于AB的两侧(如图23-8),设与AB交于C,连结又∵AB=16 ∴AC=8.在在故 (2)若,则垂直平分AB,∴.中,中,...位于AB的同侧(如图23-9),设 . 的延长线与AB交于C ,连结 ∵垂直平分AB,∴. 又∵AB=16, ∴AC=8.在在故中,中,. .. 初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结【四】: 初三数学圆的知识点总结及经典例题详解 1.半圆或直径所对的圆周角是直角.2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等.5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.6.同圆或等圆的半径相等.7.过三个点一定可以作一个圆.8.长度相等的两条弧是等弧. 9.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等.10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1.直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.5.垂直于半径的直线必为圆的切线. 6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7.垂直于半径的直线是圆的切线.8.圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1.两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.2.相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3.两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.4.两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.5.相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1.正六边形的中心角为60°.2.矩形是正多边形. 3.正多边形都是轴对称图形.4.正多边形都是中心对称图形. 1.如图,四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A的度数是A.50°B.80°C.90°D.100°2.已知如图,⊙O中,圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数A.100°B.130°C.80°D.50°3.已知如图,⊙O中,圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数A.100°B.130°C.80°D.50° 4.已知如图,四边形ABCD内接于⊙O,则下列结论中正确的A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=90 5.半径为5cm的圆中,有一条长为6cm的弦,则圆心到此弦的距离为初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结。 A O A B C D O B C D A B C O A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm 6.已知如图,圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.507.已知如图,⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数A.100°B.130°C.200°D.50O 已知如图,⊙O中,圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD的度数A A.100°B.130°C.80°D.50° 在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为cm. A.3B.4C.5D.1010.已知如图,⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数A.100°B.130°C.200°D.50° 12.在半径为5cm的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm DA C B O D C C O A B 点、直线和圆的位置关系 1.已知⊙O的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为. A.相离B.相切C.相交D.相交或相离 2.已知圆的半径为5cm,直线l和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是. A.相切B.相离C.相交D.相离或相交 3.已知圆O的半径为5cm,PO=6cm,那么点PA.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定 4.已知圆的半径为5cm,直线l和圆心的距离为5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是. A.0个B.1个C.2个D.不能确定 5.一个圆的周长为acm,面积为acm2,如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是. A.相切B.相离C.相交D.不能确定 6.已知圆的半径为5cm,直线l和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系 是. A.相切B.相离C.相交D.不能确定 已知圆的半径为5cm,直线l和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是. A.相切B.相离C.相交D.相离或相交已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO.A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定 圆与圆的位置关系
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