最新初中数学命题与证明的易错题汇编附答案1.docx
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最新初中数学命题与证明的易错题汇编附答案1
最新初中数学命题与证明的易错题汇编附答案
(1)
一、选择题
1.下列三个命题:
①对顶角相等;②全等三角形的对应边相等;③如果两个实数是正数,它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】B
【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,再把逆命题进行判断即可.
【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角,逆命题错误;
②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等,正确;
③如果两个实数是正数,它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数,那么这两个数也是正数,逆命题错误,也可以有都是负数,
所以逆命题成立的只有一个,
故选B.
【点睛】本题考查了互逆命题,真命题与假命题,真命题要运用相关知识进行推导,假命题要通过举反例来进行否定.
2.下列命题是真命题的是( )
A.如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0
B.如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1
C.如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0
D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数是它本身的数为0;倒数等于这个数本身是±1;平方等于它本身的数为1和0;算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可.
【详解】
A、如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0,是真命题;
B、如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1,是假命题;
C、如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0,是假命题;
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0,是假命题;
故选A.
【点睛】
此题主要考查了命题与定理,关键是掌握正确的命题为真命题,错误的命题为假命题.
3.下列语句正确的个数是()
①两个五次单项式的和是五次多项式
②两点之间,线段最短
③两点之间的距离是连接两点的线段
④延长射线
,交直线
于点
⑤若小明家在小丽家的南偏东
方向,则小丽家在小明家的北偏西
方向
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质对各项进行分析即可.
【详解】
①两个五次单项式的和可能为零、五次单项式或五次多项式,错误;
②两点之间,线段最短,正确;
③两点之间的距离是连接两点的线段的长度,错误;
④延长射线
,交直线
于点
,正确;
⑤若小明家在小丽家的南偏东
方向,则小丽家在小明家的北偏西
方向,正确;
故语句正确的个数有3个
故答案为:
C.
【点睛】
本题考查语句是否正确的问题,掌握单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质是解题的关键.
4.下列命题中真命题是( )
A.
=(
)2一定成立
B.位似图形不可能全等
C.正多边形都是轴对称图形
D.圆锥的主视图一定是等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得.
【详解】A、
=(
)2,当a<0时不成立,假命题;
B、位似图形在位似比为1时全等,假命题;
C、正多边形都是轴对称图形,真命题;
D、圆锥的主视图不一定是等边三角形,假命题,
故选C.
【点睛】本题考查了真命题与假命题,涉及到二次根式的性质、位似图形、正多边形、视图等知识,熟练掌握相关知识是解题的关键.
5.下列命题是假命题的是( )
A.四个角相等的四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.对角线垂直的四边形是菱形
D.对角线垂直的平行四边形是菱形
【答案】C
【解析】
试题分析:
A.四个角相等的四边形是矩形,为真命题,故A选项不符合题意;
B.对角线相等的平行四边形是矩形,为真命题,故B选项不符合题意;
C.对角线垂直的平行四边形是菱形,为假命题,故C选项符合题意;
D.对角线垂直的平行四边形是菱形,为真命题,故D选项不符合题意.
故选C.
考点:
命题与定理.
6.已知:
中,
,求证:
,下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴
,这与三角形内角和为
矛盾,②因此假设不成立.∴
③假设在
中,
④由
,得
,即
.这四个步骤正确的顺序应是( )
A.③④②①B.③④①②C.①②③④D.④③①②
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
【详解】
题目中“已知:
△ABC中,AB=AC,求证:
∠B<90°”,用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:
应该为:
(1)假设∠B≥90°,
(2)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°,
(3)所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,
(4)因此假设不成立.∴∠B<90°,
原题正确顺序为:
③④①②,
故选B.
【点睛】
本题考查反证法的证明步骤,弄清反证法的证明环节是解题的关键.
7.现给出下列四个命题:
①等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形;②相似三角形的面积比等于它们的相似比;
③菱形的面积等于两条对角线的积;④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°.
其中不正确的命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】①根据等边三角形的性质知,等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,错误;
②由相似三角形的性质知相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方,错误;
③根据菱形的面积公式,错误;
④根据三角形内角和定理可知,三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°,正确.
综合以上分析,不正确的命题包括①②③.
故选C.
8.下列命题中,是真命题的是()
A.若
,则
B.若
,则a,b都是正数
C.两条直线被第三条直线所截,同位角相等
D.垂直于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】
正确的命题是真命题,根据定义依次判断即可得到答案.
【详解】
A.若
,则
,故A错误;
B.若
,则a,b中至少有一个数是正数,且正数绝对值大于负数的绝对值,故B错误;
C.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故C错误;
D.垂直于同一条直线的两条直线平行正确,
故选:
D.
【点睛】
此题考查判断真假命题,正确掌握命题的分类并理解事件的正确与否是解题的关键.
9.下列定理中,逆命题是假命题的是( )
A.在一个三角形中,等角对等边
B.全等三角形对应角相等
C.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D.等腰三角形两个底角相等
【答案】B
【解析】
【分析】
先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,再进行判断即可.
【详解】
解:
A、逆命题为:
在一个三角形中等边对等角,逆命题正确,是真命题;
B、逆命题为:
对应角相等的三角形是全等三角形,逆命题错误,是假命题;
C、逆命题为:
如果一个三角形是等边三角形,那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°,逆命题正确,是真命题;
D、逆命题为:
两个角相等的三角形是等腰三角形,逆命题正确,是真命题;
故选:
B.
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题.
10.下列命题中是假命题的是()
A.一个锐角的补角大于这个角
B.凡能被2整除的数,末位数字必是偶数
C.两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
D.相反数等于它本身的数是0
【答案】C
【解析】
试题分析:
利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项.
A、一个锐角的补角大于这个角,正确,是真命题,不符合题意;
B、凡能被2整除的数,末尾数字必是偶数,正确,是真命题,不符合题意;
C、两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角才互补,故错误,是假命题,符合题意;
D、相反数等于他本身的数是0,正确,是真命题,不符合题意
考点:
命题与定理.
11.在下列各原命题中,其逆命题为假命题的是()
A.直角三角形的两个锐角互余
B.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
C.等腰三角形两个底角相等
D.同角的余角相等
【答案】D
【解析】
【分析】
首先写出各个命题的逆命题,然后进行判断即可.
【详解】
A、逆命题是:
两个锐角互余的三角形是直角三角形,是真命题,故此选项不符合题意;
B、逆命题是:
如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形,是真命题,故此选项不符合题意;
C、逆命题是:
有两个角相等的三角形是等腰三角形,是真命题,故此选项不符合题意;
D、逆命题是:
如果两个角相等,那么它们是同一个角的余角,是假命题,故此选项符合题意.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.也考查了逆命题.
12.用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”,应先假设
A.三角形的三个外角都是锐角
B.三角形的三个外角中至少有两个锐角
C.三角形的三个外角中没有锐角
D.三角形的三个外角中至少有一个锐角
【答案】B
【解析】
【分析】
反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立.
【详解】
解:
用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”,应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角,
故选B.
【点睛】
考查了反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
13.下列命题中是真命题的是()
A.两个锐角的和是锐角B.两条直线被第三条直线所截,同位角相等
C.点
到
轴的距离是2D.若
,则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角的定义、平行线的性质、点的坐标及不等式的性质对各选项进行分析判断,即可得解.
【详解】
A.两个锐角的和是锐角是假命题,例如80°+80°=160°,是钝角,不是锐角,故本选项错误;
B.两条直线被第三条直线所截,同位角相等是假命题,两条平行线被第三条直线所截,同位角才相等,故本选项错误;
C.点
到
轴的距离是2是真命题,故本选项正确;
D.若
,则
是假命题,正确结果应为
,故本选项错误.
故选:
C.
【点睛】
本题考查真假命题的判断,解题关键是认真判断由条件是否能推出结论,如果能举出一个反例,或由条件推出的结论与题干结论不一致,则为假命题.
14.下列语句中不正确的是()
A.同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线
B.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与己知直线垂直
C.如果两个三角形,两条对应边及其夹角相等,那么这两个三角形全等
D.角是轴对称图形,它的角平分线是对称轴
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线,正确;
B、同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故正确;
C、如果两个三角形,两条对应边及其夹角相等,那么这两个三角形全等,正确;
D、角是轴对称图形,它的平分线所在直线是它的对称轴,故错误;
故选:
D.
【点睛】
此题考查命题与定理的知识,解题的关键是了解平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形,难度不大.
15.下列命题为真命题的是()
A.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
B.两直线被第三条直线所截,同位角相等
C.垂直于同一直线的两直线互相垂直
D.三角形的外角和为
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理的推论、三角形外角和定理判断即可.
【详解】
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,A是真命题;
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,B是假命题;
在同一平面内,垂直于同一直线的两直线互相平行,C是假命题;
三角形的外角和为360°,D是假命题;
故选A.
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
16.下列命题中,真命题的是( )
A.两条直线被第三条直线,同位角相等
B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
C.点p(x,y),若y=0,则点P在x轴上
D.若
=a,则a=﹣l
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质对A进行判断;根据平行线的判定方法对B进行判断;根据x轴上点的坐标特征对C进行判断;根据二次根式的性质对D进行判断.
【详解】
A、两条平行直线被第三条直线,同位角相等,所以A选项为假命题;
B、在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c,所以B选项为假命题;
C、点p(x,y),若y=0,则点P在x轴上,所以C选项为真命题;
D、若
=a,则a=0或a=1,所以D选项为假命题.
故选:
C.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
17.下列命题中,是真命题的是()
A.同位角相等B.若两直线被第三条直线所截,同旁内角互补
C.同旁内角相等,两直线平行D.平行于同一直线的两直线互相平行
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的判定、平行线的性质判断即可.
【详解】
A、两直线平行,同位角相等,是假命题;
B、若两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补,是假命题;
C、同旁内角互补,两直线平行,是假命题;
D、平行于同一直线的两条直线互相平行,是真命题;
故选:
D.
【点睛】
此题考查命题与定理,解题关键在于掌握正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.
18.下列命题是真命题的是( )
A.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理以及矩形、正方形的判定即可逐一判断.
【详解】
解:
如下图,若四边形ABCD,AD∥BC,∠A=∠C,
∵AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=∠C,
∴∠C+∠B=180°,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故A正确;
B、对角线相等的四边形也可能为等腰梯形,故B错误;
C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形,故C错误;
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故D错误.
故选:
A.
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定定理,是基础知识要熟练掌握.
19.下列五个命题:
①如果两个数的绝对值相等,那么这两个数的平方相等;
②内错角相等;
③在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
④两个无理数的和一定是无理数;
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
其中真命题的个数是()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系的概念,在两直线平行的条件下,内错角相等,两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数,进行判断即可.
【详解】
①正确;
②在两直线平行的条件下,内错角相等,②错误;
③正确;
④反例:
两个无理数π和-π,和是0,④错误;
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的,正确;
故选:
B.
【点睛】
本题考查实数,平面内直线的位置;牢记概念和性质,能够灵活理解概念性质是解题的关键.
20.下列命题中是假命题的是().
A.同旁内角互补,两直线平行
B.直线
,则
与
相交所成的角为直角
C.如果两个角互补,那么这两个角是一个锐角,一个钝角
D.若
,
,那么
【答案】C
【解析】
根据平行线的判定,可知“同旁内角互补,两直线平行”,是真命题;
根据垂直的定义,可知“直线
,则
与
相交所成的角为直角”,是真命题;
根据互补的性质,可知“两个角互补,这两个角可以是两个直角”,是假命题;
根据垂直的性质和平行线的性质,可知“若
,
,那么
”,是真命题.
故选C.
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