届高考数学一轮复习 第6章不等式推理与证明.docx
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届高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明
第六章不等式、推理与证明
第一节
不等关系与一元二次不等式
1.两个实数比较大小的依据
(1)a-b>0⇔ab.
(2)a-b=0⇔ab.
(3)a-b<0⇔ab.
2.不等式的性质
(1)对称性:
a>b⇔b (2)传递性: a>b,b>c⇒a>c; (3)可加性: a>b⇔a+cb+c; a>b,c>d⇒a+cb+d; (4)可乘性: a>b,c>0⇒acbc; a>b>0,c>d>0⇒acbd; (5)可乘方性: a>b>0⇒anbn(n∈N,n≥1); (6)可开方性: a>b>0⇒(n∈N,n≥2). 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实数根x1,x2(x1<x2) 有两相等实数根x1=x2=- 没有实数根 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x R 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可根据不等式的性质,将其转化为正数,再对照上表求解. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a (2)若>1,则a>b.( ) (3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数,不等号方向不变.( ) (4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性.( ) (6)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( ) (7)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( ) 答案: (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)× 2.函数f(x)=的定义域为( ) A.[0,3] B.(0,3) C.(-∞,0]∪[3,+∞)D.(-∞,0)∪(3,+∞) 解析: 选A 要使函数f(x)=有意义,则3x-x2≥0,即x2-3x≤0,解得0≤x≤3. 3.若a A.>B.> C.|a|>|b|D.a2>b2 解析: 选A 取a=-2,b=-1,则>不成立. 4.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围是( ) A.(0,4)B.[0,4) C.(0,4]D.[0,4] 解析: 选D 当a=0时,满足条件;当a≠0时,由题意知a>0且Δ=a2-4a≤0,得0 5.不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值是________. 解析: 由题意知-,是方程ax2+bx+2=0的两根, 则解得 所以a+b=-14. 答案: -14 6.若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是________. 解析: ∵-4<β<2,∴0≤|β|<4,∴-4<-|β|≤0. ∴-3<α-|β|<3. 答案: (-3,3) [考什么·怎么考] 不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容,一般涉及函数、数列等知识.多以选择题形式考查,难度较小. 考法 (一) 比较两个数(式)的大小 1.若a=,b=,则a____b(填“>”或“<”). 解析: 易知a,b都是正数,==log89>1,所以b>a. 答案: < 2.已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前n项和为Sn,则与的大小关系为________. 解析: 当q=1时,=3,=5,所以<. 当q>0且q≠1时, -=- ==<0, 所以<. 综上可知<. 答案: < [题型技法] 比较两个数(式)大小的两种方法 考法 (二) 不等式的性质 3.若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A.> B.< C.>D.< 解析: 选B 法一: 因为c<d<0,所以-c>-d>0, 所以>>0. 又a>b>0,所以>, 所以<.故选B. 法二: ⇒<<0⇒ ⇒>⇒<. 法三: 令a=3,b=2,c=-3,d=-2, 则=-1,=-1,排除选项C、D; 又∵-<-,排除A,故选B. 4.设a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“a A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选A (a-b)·a2<0,则必有a-b<0,即a<b;而a<b时,不能推出(a-b)·a2<0,如a=0,b=1,所以“(a-b)·a2<0”是“a<b”的充分不必要条件. 5.下列命题中,正确的是( ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac>bc,则a>b C.若<,则a D.若a>b,c>d,则a-c>b-d 解析: 选C 取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a0,∴a 6.已知-1 解析: ∵-1 ∴-3<-y<-2, ∴-4 由-1 得-3<3x<12,4<2y<6, ∴1<3x+2y<18. 答案: (-4,2) (1,18) [题型技法] 不等式性质应用问题的常见类型及解题策略 不等式成立问题 熟记不等式性质的条件和结论是基础,灵活运用是关键,要注意不等式性质成立的前提条件 与充分、必要条件相结合问题 用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确,要注意特殊值法的应用 与命题真假判断相结合问题 解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法 由a 可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围 一元二次不等式及分式不等式的解法,主要以选择、填空题的形式出现,常与集合的交、并、补结合,难度不大.含参数的一元二次不等式的解法是难点,应注意对参数的讨论. [典题领悟] 解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0; (2)0<x2-x-2≤4; (3)≥-1; (4)ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 解: (1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0.解得-2≤x≤, 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于⇔ ⇔⇔ 借助于数轴,如图所示, 原不等式的解集为. (3)将原不等式移项通分得≥0, 等价于解得x>5或x≤. 所以原不等式的解集为. (4)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0, 因为a>0,所以a(x-1)<0. 所以当a>1,即<1时,解为<x<1; 当a=1时,解集为∅; 当0<a<1,即>1时,解为1<x<. 综上,当0<a<1时,不等式的解集为; 当a=1时,不等式的解集为∅; 当a>1时,不等式的解集为. [解题师说] 1.解一元二次不等式的4个步骤 一化 把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 二判 计算对应方程的判别式 三求 求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根 四写 利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集 2.分式不等式的解法 求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形,转化为整式不等式(组)求解. (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0); (2)≥0(≤0)⇔ 3.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式. [冲关演练] 1.设函数f(x)=则不等式f(x)>f (1)的解集是( ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3) 解析: 选A 由题意知f (1)=3,故原不等式可化为或解得-3 2.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集是( ) A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) C. D.∪ 解析: 选A 由题意知-,-是方程ax2-bx-1=0的两根, 所以由根与系数的关系得 解得 不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3). 3.求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 解: 原不等式可化为12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0, 令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=. 当a>0时,不等式的解集为∪; 当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞); 当a<0时,不等式的解集为∪. 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.常见的命题角度有: (1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围; (2)形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围; (3)形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围. [题点全练] 角度 (一) 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 1.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,2] B.[-2,2] C.(-2,2]D.(-∞,-2) 解析: 选C 当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切x∈R恒成立. 当a≠2时,则 即解得-2 ∴实数a的取值范围是(-2,2]. [题型技法] 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2+bx+c>0 a>0,Δ<0 ax2+bx+c≥0 a>0,Δ≤0 ax2+bx+c<0 a<0,Δ<0 ax2+bx+c≤0 a<0,Δ≤0 角度 (二) 形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围 2.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,求实数b的取值范围. 解: 由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,即=1,解得a=2. 又因为f(x)的图象开口向下, 所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数, 所以当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2, 若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立, 则b2-b-2>0恒成立, 解得b<-1或b>2. 所以实数b的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). [题型技法] 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围). (2)转化为函数值域问题,即 已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a. 角度(三) 形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围 3.对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围. 解: 由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m =(x-2)m+x2-4x+4, 令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零, 所以 解得x<1或x>3. 故当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零. [题型技法] 一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解. [冲关演练] 1.若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( ) A.(-3,0) B.[-3,0) C.[-3,0]D.(-3,0] 解析: 选D 当k=0时,显然成立; 当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立, 则解得-3 综上,满足不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3,0]. 2.若不等式x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]都成立,则实数m的取值范围是________. 解析: 由题意,得函数f(x)=x2+mx-1在[m,m+1]上的最大值小于0,又抛物线f(x)=x2+mx-1开口向上, 所以只需 即解得- 答案: (一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 1.已知a1∈(0,1),a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( ) A.M C.M=ND.不确定 解析: 选B M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0, ∴M>N. 2.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是( ) A.B. C.D. 解析: 选B ∵-<α<π,-<β<π, ∴-π<-β<,∴-<α-β<. 又∵α<β,∴α-β<0,从而-<α-β<0. 3.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于( ) A.-3B.1 C.-1D.3 解析: 选A 由题意得,A=,B=,所以A∩B=,由根与系数的关系可知a=-1,b=-2,则a+b=-3. 4.若m<0,n>0且m+n<0,则下列不等式中成立的是( ) A.-n<m<n<-mB.-n<m<-m<n C.m<-n<-m<nD.m<-n<n<-m 解析: 选D 法一: (取特殊值法)令m=-3,n=2分别代入各选项检验,可知D正确. 法二: m+n<0⇒m<-n⇒n<-m,又由于m<0<n, 故m<-n<n<-m成立. 5.(2018·广东清远一中一模)若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(1,3) C.(-1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞) 解析: 选C 关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),即不等式ax ∴不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0, 解得-1 6.若<<0,给出下列不等式: ①<;②|a|+b>0;③a->b-;④lna2>lnb2.其中正确的不等式的序号是( ) A.①④B.②③ C.①③D.②④ 解析: 选C 法一: 因为<<0,故可取a=-1,b=-2.显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为lna2=ln(-1)2=0,lnb2=ln(-2)2=ln4>0,所以④错误,综上所述,可排除A、B、D,故选C. 法二: 由<<0,可知b ①中,因为a+b<0,ab>0,所以<,故①正确; ②中,因为b-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误; ③中,因为b->0,所以a->b-,故③正确; ④中,因为ba2>0,而y=lnx在定义域(0,+∞)上为增函数,所以lnb2>lna2,故④错误.由以上分析,知①③正确。 7.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________. 解析: 不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即x(x-2)<0的解集,解得0 答案: {x|0 8.若00的解集是________. 解析: 原不等式为(x-a)<0, 由0 答案: 9.已知a+b>0,则+与+的大小关系是______. 解析: +-=+=(a-b)·=. ∵a+b>0,(a-b)2≥0, ∴≥0. ∴+≥+. 答案: +≥+ 10.若不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是________. 解析: ∵不等式x2+ax+4<0的解集不是空集, ∴Δ=a2-4×4>0,即a2>16. ∴a>4或a<-4. 答案: (-∞,-4)∪(4,+∞) B级——中档题目练通抓牢 1.如果a,b,c满足c A.ab>acB.c(b-a)>0 C.cb2 解析: 选C 由题意知c<0,a>0,则A、B、D一定正确;当b=0时,C不正确. 2.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2 解析: 选B 由根与系数的关系得=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2,∴f(x)=-x2-x+2(经检验知满足题意),∴f(-x)=-x2+x+2,其图象开口向下,顶点为,结合图象知选B. 3.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( ) A.12元B.16元 C.12元到16元之间D.10元到14元之间 解析: 选C 设销售价定为每件x元,利润为y, 则y=(x-8)[100-10(x-10)], 依题意有,(x-8)[100-10(x-10)]>320, 即x2-28x+192<0, 解得12<x<16, 所以每件销售价应为12元到16元之间. 4.a,b∈R,a<b和<同时成立的条件是________. 解析: 若ab<0,由a<b两边同除以ab得,>,即<;若ab>0,则>. 所以a<b和<同时成立的条件是a<0<b. 答案: a<0<b 5.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是________. 解析: 由Δ=a2+8>0,知方程x2+ax-2=0恒有两个不等实数根,又知两根之积为负,所以方程x2+ax-2=0必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-,故a的取值范围为. 答案: 6.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于a的不等式f (1)>0; (2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值. 解: (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6, ∴f (1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3, ∴原不等式可化为a2-6a-3<0, 解得3-2 ∴原不等式的解集为{a|3-2 (2)f(x)>b的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3, 等价于 解得 7.已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R. (1)若a=2,试求函数y=(x>0)的最小值; (2)对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,试求实数a的取值范围. 解: (1)依题意得y===x+-4. 因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=时,即x=1时,等号成立.所以y≥-2. 所以当x=1时,y=的最小值为-2. (2)因为f(x)-a=x2-2ax-1, 所以要使“∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”, 只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”. 不妨设g(x)=x2-2ax-1, 则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可. 所以 即 解得a≥. 则实数a的取值范围为. C级——重难题目自主选做 1.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则实数a的取值范围是( ) A.[-4,1]B.[-4,3] C.[1,3]D.[-1,3] 解析: 选B 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1 2.不等式x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立,则实数λ的取值范围为________. 解析: 因为x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立, 所以x2+8y2-λy(x+y)≥0对于任意的x,y∈R恒成立,即x2-λyx+(8-λ)y2≥0恒成立, 由二次不等式的性质可得, Δ=λ2y2+4(λ-8)y2=y2(λ2+4λ-32)≤0, 所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4. 答案: [-8,4] (二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 1.已知a1∈(0,1),a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( ) A.M C.M=ND.不确定 解析: 选B M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,∴M>N. 2.不等式>1的解集为( ) A.B.(-∞,1) C.∪(1,+∞)D. 解析: 选A 原不等式等价于-1>0, 即>0,整理得<0, 不等式等价于(2x-1)(x-1)<0,解得 3.(2018·广东清远一中一模)若关于x的不等式ax-
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- 届高考数学一轮复习 第6章 不等式推理与证明 高考 数学 一轮 复习 不等式 推理 证明