微积分习题讲解与答案.docx
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微积分习题讲解与答案
习题8.1
1•指出下列微分方程的阶数,并指出哪些方程是线性微分方程:
(3)x2y4y(sinx)y=0⑷^Pp=sin2r
d6
解
(1)1阶非线性
(2)1阶线性
(3)3阶线性
(4)1阶线性
2•验证下列函数是否是所给微分方程的解
/八、亠sinx
(1)xyy=cosx,y=
x
(2)(4-x2)y'xy=2x,y=2•C"-x2(C为任意常数)
(3)y2y:
y=0,y二Cex(C为任意常数)
(4)y"—(X,+丸2)y'+餌丸2y=0,y=C4e"+C2e'2x(C1©为任意常数)
(5)(x-2y)y"=2x-y,x2-xy•y2=C(C为任意常数)
(6)(xy-x)yxy2yy1-2y=0,y=ln(xy)
xcosx—sinxsinx亠
解⑴是,左=x2cosx=右
xx
(2)是,左=(4—X2)-^=+x(2+C訥—X2)=2x=右
訥-x2
(3)是,左=Cex-2CexCex=0=右
(4)是,左=
G:
eixC22e2x)-(「-gre4xC2-e2x)i2(Se4xC2e»0
=右
2x—y
(5)是,左=(x-2y)2x-y二右
x—2y
y亠-2亠
xy_xxy_x
(6)是,左=(xy-x)2xy2—xy3;2xyx^^
(xy-x)(xy-x)
2xy2_xy3_2xyxy2
(xy-x)2(xy-x)2
=右
3•求下列微分方程的解
(1y2)x
2
(1x)y
(3)(1y)dx-(1-y)dy二0
解
(1)dy=2dx,y=2xC
(2)ydx二cosxdx,y=sinxC1
Jy"dx=f(six+CJdx,y=_cox+Gx+C2
1-y-(1+y)+2
(3)dy二dxdy二dx
1+y』1+y
2
解得-dydy二dx
•1+y
即「y2ln11yxC
dx
222
解得ln(1y)=ln(1x)6
4•已知曲线y二f(x)经过原点,并且它在点(x,y)处的切线的斜率等于2x2,试求这条曲线的方程。
解已知y—2x2
又知曲线过原点,得C=0
所求曲线方程为厂»3
习题8.2
(2)xy‘-yiny=0
1.用分离变量法求下列微分方程的解
⑴y=4x、y
⑶八10xy
22
(4)secxtanydxsecytanxdy二0
匚dx_丄dy
-0,y|x-1(6)y-ey,y|x~0
2x-y
解
(1)
1
——dy二4xdx
解得y=(x2•C)2
dy
dx
yiny
解得
y二eCx
10—ydy二
10xdx
解得
-10_^10xC即10x10」=C
2
secy
tanydy
2
secx.dxtanx
解得in|tany-in|tanx|C1
整理得tanxtany=C
121
x(1x)dx解得yy
23
由于y|x£=1
则与】y3
23
,解得
-x3
3
e今dy=je2xdx解得-e
-y
12x
eC
2
由于y|x=0=0贝VC=-3
2
—y2x
原方程解为2e=3-e
2.
dy
dx
求下列齐次方程的解
"y
(1)xy=yin
x
(3)xy-y-、y2-x2=0
x2dy
=(y2
xyx2)dx
(5)y2x2巴=xy也
dxdx
dx
x(x2y)y一y2二0,y|xj=1
-,代入方程得
x
分离变量得
两边积分得
du
ux—dx
ulnu
du
dx
u(lnu-1)
In|Inu「1|=In|x|6
整理得
IInu-11=C2Ix|
将u二上回代,即得原方程通解
x
In—一1=Cxx
dy
dx
(2)原式可化为
令u=上,代入方程得
x
分离变量得
两边积分得
arctan
du1u
ux一=dx
(1-u)du
1u2
dx
u-丄ln(1u2^In|x|C1
2
将u=y回代,即得原方程通解
2
yy2
2arctan——ln(4+弋)=Inx+C
xx
整理得
2arctan—-ln(x2+y2)=Cx
(3)原式可化为
业站竹_1
dxx\(X丿
令u=',代入方程得
x
du2
xu-1
dx
分离变量得
dudx
.u2-1x
两边积分得
In|uu2-1In|x|C1
即
|uu2-1C|x|
y
将U回代,即得原方程通解
x
(4)原式可化为
;_y+1
dxxx
令u=',代入方程得
x
+du2
uxu-u1
dx
分离变量得
dudx
2
u-2u1x
两边积分得
1-u
i
X=Ce口
=ln|x|C1
y
回代,即得原方程通解
x
x=Cex_y
y2(xjy)加0
dy=
dx
—u,则uxdu
dx
u-1
2
xy-x
udxx(1-u)du二0
1-u
xu
原式可化为
C<-u
=e
=ce
dy
dx
x2
2xy
_y
x
12
x
令u二',代入方程得
x
duu2
ux一
dx1+2u
分离变量得
(12u)du
uu2
两边积分得
将u=y回代,即得原方程通解
x
2
y亠xy=Cx
将ylxj=1代入得c=2
于是,特解为
2
yxy=2x
习题8.3
1•求下列微分方程的通解
(1)
-X
yy二e
(2)
xy
y=x
23x2
1
-2x
y二1
⑶
(x1)y2xy二4x
⑷
y
2
x
⑸
yinydx(x「Iny)dy二0
⑹
(2x-
y2)y
=2y
解
(1)这是一阶非齐次线性微分方程,先求对应的齐次方程
翌y=0dx
的通解。
分离变量得
dy.dxy
两端同时积分,得
In|y|—xC1
得通解为
y=Ce»
用常数变易法,把C换成C(x),即卩
y二C(x)e”
两边微分,得
鱼二C(x)e~x-C(x)e^dx
代入原方程,得
C(x)二1
两端同时积分,得
C(x)二xC
故所求微分方程通解为
其中C为任意常数。
12
⑵P(x),Q(x)=x3—
xx
八x!
一
=e」n|x|'■(x2-3x2)dxC1
11332
x3—x22xC
x32
或:
这是一阶非齐次线性微分方程,先求对应的齐次方程
鱼」=0
dxx
的通解。
分离变量得
dydx
yx
Cy—x
用常数变易法,把C换成C(x),即卩
C(x)
两边微分,得
dyC(x)x_C(x)dxx2
代入原方程,得
两端同时积分,得
故所求微分方程通解为
其中C为任意常数。
2x
P(x)二厂,Q(x)
-P(x)dx
」JQ(x)e」
C(x)=x23x2
C(xTx
-x22xC
2
13
x
yd
4x2
x21
P(x)dx
」dx+Cj
IEL
「心1丿弋皿21)〔4x2dxC】
亠4x3C
x213
2x
2dxx21
二e
4x
1一2x
P(x)2,Q(x)=1
x
y=e
-P(x)dx
J(Q(x)e」
1
x2ex
i
x2ex
1
2ex
32
-x2xC2
x
雳dxdx+J
P(x)dx
xC
i_
exC
lnx2
=e
引jeEd
dx+d
1
2x=xe
厂1
fe^d
U\c
1 xdxC 「1 1Cex 十、一,dx,x1 原式可化为- dyylnyy P(y) 11 1,Q(y)=—ylnyy P(y)dy dy+C 十y Jylny =e 1.yIny _e y 1dy dy+C _Ln|lny| =e 1ln|lny| 7dyC 1 Iny InydyCy 1 Iny lln2 <2 dxxy1y ⑹原式可化为p(yH--,Q(y^-- _P(y)dyP(y)dy. J[Q(y)edy+C 2•某种商品的消费量X随收入I的变化满足方程 dX-Xae1(a是常数) dI 当I=0时,X=X0,求函数X=X(I)的表达式。 rlV 解原式可化为——X=aeIP(I)=-1,Q(I)=ae1 dl 一[P(I)dI一|P(I)dI 则X=eQ(I)edIC =e"ae〔edIc=eI-adIeI'aIC丨 又当I=0时,X=Xo,得C=Xo 则原方程解为^eI'aI-X01 习题8.4 1•某商品的需求函数与供给函数分别为 Qd=a-bP,Qs-c-dP(其中a,b,c,d,均为正常数) 假设商品价格P是时间t的函数,已知初始价格P(0)=P0,且在任一时刻t,价格P(t)的 (1)求供需相等时的价格Pe(均衡价格) (2)求价格P(t)的表达式 (3)分析价格P(t)随时间的变化情况 解 (1)当Qd二Qs时,即 a-bP--cdP,得P=Pe二 (2)由于竺=k(Qd—Qs)二k[(a—bP)—(—cdP)],即dt dP 『—ac) 方程通解为 P=—.ce上(bd)t=Pece*bd)t bd 已知价格P(0)=Pg,代入得C二P°-Pe,于是 P(t)二Pe(P。 -Pe)e山「小 (3)由于 ! imP(t)=tjimiPe+(p。 —R)e」(b切I-Pe p=1时,需求量Q=1,试求需求函数关系。 解设需求关系式为Q=Q(p),则由题设知 p^亠eP-1 Q(P)Q(P) 、丄1p Q(P)Q(p)=peP 此微分方程通解为 Q(p)=「讯[jepek"dp+c]=丄(p—1)ep+C】 -Jp 将Q (1)=1代入,得C=1,故所求需求函数为 Q(p)二口ep丄 pp 3.设某厂生产某种产品,随产量的增加,其总成本的增长率正比于产量与常数2之和, 反比于总成本,当产量为0时,成本为1,求总成本函数。 解设产量为x,总成本为C,比例系数为1,则依题意有 dyx2 ylxm" 解此微分方程,得 y2=(x2)2C 把初始条件y|x=p=1代入解得C=-3 于是总成本函数为 y2=(x2)2-3 4•在宏观经济研究中,发现某地区的国民收入y,国民储蓄S和投资I均是时间t的函 数,且储蓄额S是国民收入的—,投资额为国民收入增长率的-。 若当t=0时,国民收入 103 为5亿元,试求国民收入函数(假定在时间t的储蓄额全部用于投资) 解依题意得 1 S—y,l 1dy 10 3dt 因为储蓄额全部用于投资,故有 S= I 即国民收入函数应满足方程 1dy 1 y 3dt 10 2t 解得y=Ce10 将初始条件y|t=o二5代入上式,得 C=5 t 于是y二5e10 习题8.5 1求下列微分方程通解 (i)y=2 .2 ⑶y-(y)=0 解 (1)y=2dx=2xC1 (2)y=sinx 2 (4)(x1)y-2xy=0 2 y=(2xC1)dx=xC1xC2 y=sinxdx二-cosx6y=(-coxC)dx=-sirxQxC2 p',原方程降阶为 分离变量得 =dx dp 2 p 两边积分得 C1x 所以 1 ydx=-1n|C1x|C2 Ci+x p,原方程降阶为 dp2x dxx21 分离变量得 两边积分得 In|pFln(x21)C 即 所以 p=Ci(x21) 2 y=Ci(x1) y=C1(x21)d^=Cj^x3^'C2 2丿 2求解初值问题 32 y=3y y(3)=1,y(3)=1 (1+x)y“+y"=In(x+1) 』(o)=o,y(o)=o 解⑴设y=p,则y=pdP,代入原方程,得 dy dp3 分离变量得 pdp詔y2dy 2 积分得 p2=y3C,即y2二y3C 由y(3)=1,y(3)=1得C=0 33 则y2,由y'_0知y■单调增加,于是y丄y2 再积分一次,可得通解 i -2y2=xC1 由y(3)=i得g--5 ⑵令y'Jp,则yQp,原方程化为 (x1)pp=In(x1) p’xV-咛属于一阶线性方程 1 -x1 f[lnx+1)dx+C[L|nx+1)+C1_x 」x+1 由y(0)=0得C[=0 =(x1)ln(x1)-2xln(1x)C2 又由y(0)=0得C2=0 初值问题的解为 y=(x1)ln(x1)-2xln(1x) 习题&6 1•求下列方程通解 (1)y-2y-3y=0 (2)y7y12y=0 (3)y-6y9y=0(4)yyy=0 解 (1)y"「2y_3y=0 解特征方程为 2_2-3=0 解得两个不同实根=3,工--1,所求方程的通解为 其中C“C2是任意常数 (2)y7y12y=0 解特征方程为 2亠7亠12=0 解得两个不同实根\=-3,2=-4,所求方程的通解为 y=Cie -3x C2e -4x 其中Ci,C2是任意常数 (3)y“-6y9y=0 解特征方程为 其特征根・i二r=3为二重实根,所求方程通解为 y=(CiC2x)e3x 其中Ci,C2是任意常数 (4)yyy二0 解特征方程为 2亠亠1=0 解得两个共轭虚根,,二 丄已,2「1 222 所求方程通解为 4343 =(CtcosxC2sinx)e 22 其中Ci,C2是任意常数2•求方程y2y•3y=0满足初始条件yIxm=1,ylx=0=1的特解 解特征方程为 ■22〔: 3=0 解得两个共轭虚根-12i,-2i,所求方程通解为 y=(C1cos2xC2sin2x)e_x 由初始条件ylxT=1,yl厂1得C1=1 又由 y=(e*cos2x)C2(esin2x) =e"(cos2x2sin2x)C2e*(-sin2x2cos2x) 由yL^H1,得C2=、2于是满足初始条件的特解为 y=(cos、2x、2sin2x)e_x 3•求微分方程y“-2y'-3y=3x1的一个特解 解f(x)=3x•1=(3x•1)e0x,其中n=1,」-0不是特征方程2-20 的根,得 y=axb 为所给方程的一个特解,直接将y”代入原方程,得 -3ax-2a-3b=3x1 比较系数得 [-3^3 —2a—3b=1 1 解得a--1,b=— 3 所以y”二-x•丄即为所求特解 3 4•求微分方程y"-2y*y=12xex的通解 解f(x)=12xex,其中n=1,』=1对应的齐次方程为 y-2yy=0 特征方程■2一2先-3=0有二重特征根,=1 齐次方程通解为 xx y二6eCzxe 由于)=1是重特征根,所以设非齐次方程特解为 y=x2(axb)ex 直接将y”代入原方程,得 (2b6ax)ex二12xex 比较系数得 la=12 Nb=0 解得a=2,b=0,因此y=2x3ex为所给方程的一个特解,从而所求方程通解为 y=C1exC2xex2x3ex 其中Ci,C2是任意常数 5.求方程y”•4y'4y=cos2x的通解 解对应齐次方程为 y4y4y=0 它的特征方程240有重根 故对应齐次方程的通解为 —_2x y=e(CiC2X) 由于0_2i不是特征根,因此设所给方程的特解为 y=asin2xbcos2x 代入原方程得 -8bsin2x8acos2x=cos2x 比较系数得 「8b=0 8a=1 11 解得a,b=0,因此ysin2x为所给方程的一个特解,从而通解为 88 2x1 y=e(C1C2x)sin2x 8 习题&7 1.设某种产品就要推向市场,t时刻的销量为x(t),由于产品良好性能,每个产品都是一个 dx 宣传品,t时刻产品销售的增长率竺与x(t)成正比,同时,考虑到产品销售存在一定的市场 dt 方程,并求销量达到多少时最为畅销。 解 其中k为比例系数,分离变量积分,可得 x(t) 以及 d2xCNBkZe^NtceANt_1)dT=(1Ce^Nt)2 半时,产品最为畅销,当销量不足N的一半时,销售速度不断增大,当销量超过一半时,销售速度逐渐减少。 2、某商品的价格由供求关系决定,若供给量S与需求量Q均是价格P的线性函数: S=13P,Q=4-P 若价格P是时间t(年)的函数,且已知在时刻t时,价格P的变化率与过剩需求Q-S成正比,比例系数为2,试求价格P与时间t(年)的函数关系,且已知初始价格P0=2元,问当 t=0.3年时价格应为多少? 解依题意,得 dP 2(Q_S)=2(5_4P) dt 解得 5_8t PCe 由已知P0=2,代入得C 于是p=53e-t 44 则当t=0.3时,P(0.3)1.32 习题&8 1计算下列各题的差分 (1)yn=f(n)=n23n (2)yn=n(n-1)(n-2)(n-m1) 解 (1)冷n=(n1)23n1一n23n=3n(2n2•6n3) (2)yn=n(n-1)(n-2)(n-m1) 解Lyn=(n1)n(n-1)(n-m2)-n(n-1)(n-2)(n-m1) =n(n-1)(n-m2)[(n1)-(n-m1)] =mn(n-1)(n-m2) 2、求下列差分方程的通解 2 (1)yn1-yn=n3 (2)yn1-2yn=2n-1 (3)yn12yn=32n(4)yn15yn" 解 (1)因a--1,对应齐次方程通解为 y=C1n=C(C为任意常数) 设y”(n)二a0n2a1n代入原方程,有 22 a0(n1)a1(n1^a0n-a1^=n3 比较系数得ao=-,a^-,所以y”(n)=丄n2■5n 2222 所求方程通解为 y(n)=C」n25n 22 C为任意常数 (2)因a2,对应齐次方程通解为 y=C2n(C为任意常数) 设y”(n)二a0n2a1na2代入原方程,有 222 ao(n1)a'n1)a? -2a°n-2a1n-2a2=nT 比较系数得 a°二-2,a^——4,a? 二-5 故有y(n)-_2『-4n一5 所求方程通解为 n2 y(n)二C2-2n-4n-5 (3)对应齐次方程通解为 y=CC2)n(C为任意常数) 又f(n)=32n,即b=3,d=2,且a*4=4=0,因此,原方程的特解为 故原方程通解为 y(n)=—W a+d6 故原方程通解为 y(n)#C(-5)n 3、求下列二阶差分方程的通解 解 (1)特征方程2-2川%-1=0得特征根 从而得到方程的通解 yn=Ci(-i)nC22 其中Ci,C2为任意常数。 (2)原方程对应的特征方程为 2_22二0 特征方程有两个共轭复根且r=、23: =1,即sin: =#,cos一乎,七 知方程有两个特解 于是原方程通解为 Tt y(n)二2 C4cos—nC2sin 4 其中C4,C2为任意常数。 (3)特征方程为22^0 解得重根■4=■2=-1,于是原方程通解为 yn+C2n)(-1)n 其中Ci,C2为任意常
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