2021年黑龙江省大庆市中考数学试卷及答案解析.docx
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2021年黑龙江省大庆市中考数学试卷
1.在π,12,−3,47这四个数中,整数是( )
A.π B.12 C.−3 D.47
2.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.北京故宫占地面积约为720000m2,数据“720000”用科学记数法表示是( )
A.72×104 B.0.72×106 C.7.2×105 D.7.2×104
4.下列说法正确的是( )
A.|x| C.若x>1>y>−1,则|x|<|y| D.若|x+1|≤0,则x=−1 5.已知b>a>0,则分式ab与a+1b+1的大小关系是( ) A.aba+1b+1 D.不能确定 6.已知反比例函数y=kx,当x<0时,y随x的增大而减小,那么一次函数y=−kx+k的图象经过第( ) A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限 D.二、三、四象限 7.一个几何体由大小相同的小立方块搭成,从上面看到的几何体的形状图如图所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数,能正确表示该几何体的主视图的是( ) A. B. C. D. 8.如图,F是线段CD上除端点外的一点,将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得到△ABE.连接EF交AB于点H.下列结论正确的是( ) A.∠EAF=120° B.AE: EF=1: 3 C.AF2=EH⋅EF D.EB: AD=EH: HF 9.小刚家2019年和2020年的家庭支出如下,已知2020年的总支出比2019年的总支出增加了2成,则下列说法正确的是( ) A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍 B.2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10% C.2020年总支出比2019年总支出增加了2% D.2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同 10.已知函数y=ax2−(a+1)x+1,则下列说法不正确的个数是( ) ①若该函数图像与x轴只有一个交点,则a=1; ②方程ax2−(a+1)x+1=0至少有一个整数根; ③若1a ④不存在实数a,使得ax2−(a+1)x+1≤0对任意实数x都成立. A.0 B.1 C.2 D.3 11.计算(−2)2=______. 12.已知x2=y3=z4,则x2+xyyz=______. 13.一个圆柱形橡皮泥,底面积是12cm2.高是5cm.如果这个橡皮泥的一半,把它捏成高为5cm的圆锥,则这个圆锥的底面积是______cm2. 14.如图,3条直线两两相交最多有3个交点,4条直线两两相交最多有6个交点,按照这样的规律,则20条直线两两相交最多有______个交点. 15.三个数3,1−a,1−2a在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范围为______. 16.如图,作⊙O的任意一条直径FC,分别以F、C为圆心,以FO的长为半径作弧,与⊙O相交于点E、A和D、B,顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA,得到六边形ABCDEF,则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为______. 17.某酒店客房都有三人间普通客房,双人间普通客房,收费标准为: 三人间150元/间,双人间140元/间.为吸引游客,酒店实行团体入住五折优惠措施,一个46人的旅游团,优惠期间到该酒店入住,住了一些三人间普通客房和双人间普通客房,若每间客房正好住满,且一天共花去住宿费1310元,则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共______间. 18.已知,如图①,若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线,通过证明可得ABAC=BDCD,同理,若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线,通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息,求解如下问题: 如图②,在△ABC中,BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线,则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是______. 19.计算|2−2|+2sin45°−(−1)2. 20.先因式分解,再计算求值: 2x3−8x,其中x=3. 21.解方程: x2x−3+53x−2=4. 22.小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向,并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向,继续向正西方向行走2km后到达D点,测得C点在D点的北偏东22.5°方向,求A,C两点之间的距离.(结果保留0.1km.参数数据3≈1.732) 23.如图①是甲,乙两个圆柱形水槽的横截面示意图,乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中(圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上),现将甲槽中的水匀速注入乙槽,甲,乙两个水槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图②所示,根据图象解答下列问题: (1)图②中折线EDC表示______槽中水的深度与注入时间之间的关系;线段AB表示______槽中水的深度与注入时间之间的关系;铁块的高度为______cm. (2)注入多长时间,甲、乙两个水槽中水的深度相同? (请写出必要的计算过程) 24.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,点E为线段AB的三等分点(靠近点A),点F为线段CD的三等分点(靠近点C),且CE⊥AB.将△BCE沿CE对折,BC边与AD边交于点G,且DC=DG. (1)证明: 四边形AECF为矩形; (2)求四边形AECG的面积. 25.某校要从甲,乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛,在最近的8次选拔赛中,他们的成绩(成绩均为整数,单位: 分)如下: 甲: 92,95,96,88,92,98,99,100 乙: 100,87,92,93,9■,95,97,98 由于保存不当,学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清, (1)求甲成绩的平均数和中位数; (2)求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率; (3)当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时,请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛. 26.如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A,与反比例函数y=4x的图象交于P,D两点.以AD为边作正方形ABCD,点B落在x轴的负半轴上,已知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1: 4. (1)求一次函数y=kx+b的表达式; (2)求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长. 27.如图,已知AB是⊙O的直径.BC是⊙O的弦,弦ED垂直AB于点F,交BC于点G.过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P (1)求证: PC=PG; (2)判断PG2=PD⋅PE是否成立? 若成立,请证明该结论; (3)若G为BC中点,OG=5,sinB=55,求DE的长. 28.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A,且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1). (1)求抛物线的函数表达式; (2)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=−2的距离总相等. ①证明上述结论并求出点F的坐标; ②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点. 证明: 当直线l绕点F旋转时,1MF+1NF是定值,并求出该定值; (3)点C(3,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小,直接写出P,Q的坐标. 答案和解析 1.【答案】C 【解析】解: 在π,12,−3,47这四个数中,π是无理数,12是分数,47是分数,整数是−3, 故选: C. 根据有理数的有关概念解答即可. 此题考查了有理数,熟练掌握有理数的相关概念是解本题的关键. 2.【答案】B 【解析】解: A: 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故A选项不符合题意; B: 是中心对称图形,但不是轴对称图形,故B选项符合题意; C: 既是轴对称图形,也是中心对称图形,故C选项不符合题意; D: 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故D选项不符合题意; 故选: B. 根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项进行判断即可得出答案. 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念,熟练应用相关的概念进行判定是解决本题的关键. 3.【答案】C 【解析】解: 720000=7.2×105, 故选: C. 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 4.【答案】D 【解析】解: A、当x=0时,|x|=x,故此选项错误,不符合题意; B、∵|x−1|≥0, ∴当x=1时,|x−1|+2取最小值,故此选项错误,不符合题意; C、∵x>1>y>−1, ∴|x|>1,|y|<1, ∴|x|>|y|,故此选项错误,不符合题意; D、∵|x+1|≤0,|x+1|≥0, ∴x+1=0, ∴x=−1,故此选项正确,符合题意. 故选: D. 根据绝对值的定义以及绝对值的非负性逐一分析四个选项,即可得出结论. 本题考查了绝对值,牢记绝对值的定义以及绝对值的非负性是解题的关键. 5.【答案】A 【解析】解: ∵ab−a+1b+1 =a(b+1)−b(a+1)b(b+1) =a−bb(b+1), ∵b>a>0, ∴a−b<0,b>0,b+1>0, ∴a−bb(b+1)<0, ∴ab−a+1b+1<0, ∴ab 故选: A. 利用作差法,与0比较大小,从而得到ab与a+1b+1的大小. 本题考查了分式的加减,利用作差法比较大小是解题的关键. 6.【答案】B 【解析】解: ∵反比例函数y=kx,当x<0时,y随x的增大而减小, ∴k>0, ∴−k<0 ∵y=−kx+k, ∴函数图象经过一、二、四象限, 故选: B. 由反比例函数当x<0时,y随x的增大而减小,可以判断k>0;再由一次函数图象的特点可以进一步确定y=−kx+k的图象经过第一、二、四象限. 本题考查一次函数与反比例函数图象的性质,解答本题的关键是要灵活掌握k在函数图象中的作用,才能正确解题. 7.【答案】B 【解析】解: 由所给图可知,这个几何体从正面看共有三列,左侧第一列最多有4块小正方体,中间一列最多有2块小正方体,最右边一列最多有3块小正方体, 所以主视图为B. 故选: B. 由所给条件分析几何体从正面看的每一列最多有几个小正方体,从而得到答案. 本题考查几何体的三视图,能够读懂所给图形,并从所给平面图中还原空间几何体的形状是解题的关键. 8.【答案】D 【解析】解: ∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得到△ABE, ∴△ABE≌△ADF, ∴∠EAB=∠DAF, ∴∠EAF=∠BAE+∠FAB=90°=∠DAF+∠FAB=90°, 故A不正确; ∵∠EAF=90°,AE=AF, ∴△AEF是等腰直角三角形, ∴EF=2AE, ∴AE: EF=1: 2, 故B不正确; 若AF2=EH⋅EF成立, ∵AE: EF=1: 2, ∴EH=22AF, ∴EH=12EF, 即H是EF的中点,H不一定是EF的中点, 故C不正确; ∵AB//CD, ∴EB: BC=EH: HF, ∵BC=AD, ∴EB: AD=EH: HF, 故D正确; 故选: D. 由已知可得△ABE≌△ADF,从而得到∠EAB=∠DAF,AE=AF;由∠EAF=∠BAE+∠FAB=90°=∠DAF+∠FAB=90°,可知A不正确;由∠EAF=90°,AE=AF,可知△AEF是等腰直角三角形,所以EF=2AE,则B不正确;若AF2=EH⋅EF成立,可得EH=12EF,即H是EF的中点,而H不一定是EF的中点,故C不正确;由AB//CD,由平行线分线段成比例可得EB: BC=EH: HF,故D正确. 本题考查正方形的性质,三角形的旋转;抓住三角形旋转的本质,旋转前后的三角形全等,得到△AEF是等腰直角三角形是解本题的关键. 9.【答案】A 【解析】解: 设2019年总支出为a元,则2020年总支出为1.2α元, A.2019年教育总支出为0.3a,2020年教育总支出为1.2a×35%=0.42a,0.42a÷−0.3a=1.4,故该项正确,符合题意; B.2019年衣食方面总支出为0.3a,2020年衣食方面总支出为1.2a×40%=0.48a,(0.48a−0.3a)÷0.3a≈53%, 故该项错误,不符合题意; C.2020年总支出比2019年总支出增加了20%,故该项错误,不符合题意; D.2020年其他方面的支出为1.2ax15%=0.18a,2019年娱乐方面的支出为0.15a,故该项错误,不符合题意; 故选: A. 设2019年总支出为α元,则2020年总支出为1.2a元,根据扇形统计图中的信息逐项分析即可. 本题考查扇形统计图,利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题. 10.【答案】C 【解析】解: ①当a=0时,y=−x+1,此时函数图象与x轴交点为(1,0),故①错误; ②当a=0时,−x+1=0,解得x=1; 当a≠0时,ax2−(a+1)x+1=(x−1)(ax−1)=0, 解得x=1或x=1a, 故②正确; ③当a=0时,y=−x+1,若1a 当a>0时,函数图象开口向上,若1a 当a<0时,函数图象开口向下,若1a 故③错误; ④当a≠0时,y=ax2−(a+1)x+1,Δ=(a−1)2≥0, 此时ax2−(a+1)x+1≤0函数与x至少有一个交点, 不能使ax2−(a+1)x+1≤0对任意实数x都成立; 当a=0时,−x+1≤0,不能使ax2−(a+1)x+1≤0对任意实数x都成立; 故④正确; 故选: C. ①当a=0时,函数图象与x轴只有一个交点;②当a=0时,−x+1=0,解得x=1;③当a=0时,y=−x+1,若1a 本题考查函数与方程的关系;由于a是二次项系数,因此a具有特殊性,则对a的特殊的讨论是解题的关键. 11.【答案】2 【解析】解: (−2)2=22=2. 故答案为: 2. 直接利用二次根式的性质化简得出答案. 此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确化简二次根式是解题关键. 12.【答案】56 【解析】解: 设x2=y3=z4=k, ∴x=2k,y=3k,z=4k, ∴x2+xyyz=4k2+2k⋅3k3k⋅4k=10k212k2=56, 故答案为56. 设x2=y3=z4=k,分别求出x、y、z的值,代入所求式子化简即可. 本题考查比例的性质,利用比值相等的特点,将已知等式进行转化得到x=2k,y=3k,z=4k是解题的关键. 13.【答案】18 【解析】解: 设这个圆锥的底面积为Scm2, 根据题意得13×S×5=12×52,解得S=18. 故答案为18. 设这个圆锥的底面积为Scm2,根据圆锥的体积公式和圆柱的体积公式得到得13×S×5=12×52,然后解方程即可. 本题考查了圆锥的计算: 把圆柱形的橡皮泥捏成圆锥形时体积不变,这是解决问题的关键. 14.【答案】190 【解析】解: ∵每两条直线相交有两个交点, ∴n条直线相交最多有n(n−1)2个交点, ∴20条直线相交最多有190个交点. 故答案为190. 由所给条件可得n条直线相交最多有n(n−1)2个交点,令n=20即可求解. 本题考查相交线交点个数问题,直线两两相交时去掉重复交点是解题的关键. 15.【答案】−3 【解析】解: ∵3,1−a,1−2a在数轴上从左到右依次排列, ∴3<1−a<1−2a, ∴a<−2, ∵这三个数为边长能构成三角形, ∴3+(1−a)>1−2a, ∴a>−3,
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