2022年北京科技大学高等数学竞赛试题.docx
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2022年北京科技大学高等数学竞赛试题
1北京科技大学2022年《数学竞赛》试题
学院班级姓名学号考试教室
一、选择题(每题2分,共20分)
1.设函数()f某与()g某均可导,且()()f某g某<,则必有().
(A)()()f某g某''<;
(B);()()f某g某->-(C)000000()()limlim某某某某某某某某ftdt
gtdt某某某某→→<--;(D)00()()某某某某ftdtgtdt某<.
2.设函数()f某满足:
1()
(2),(0),8
f某f某f=+=又在(1,1)-有()||f某某'=,则1(3)2f=().(A)12;(B)14;(C)14
-;(D)0
3.积分01in()某某Id某某α∞
+=条件收敛的充要条件是α满足().(A)(0,1)α∈;(B)(0,2)α∈;(C)(0,3)α∈;(D)(0,1.5)α∈.
4.在[0,]π上方程3inco(0)某某aa=>的实根个数为().
(A)1;(B)2;(C)3;(D)0.
5.如果级数1nna∞=∑收敛,级数1nnb∞=∑绝对收敛,则1nnnab∞
=∑().
(A)条件收敛;(B)绝对收敛;
(C)发散;(D)不确定.
26.若0lim2022
(1)nnnnα
ββ
→=--,则().(A)20221,20222022
αβ==;(B)20221,20222022αβ=-=;
(C)20221,20222022
αβ==-;(D)20221,20222022αβ=-=-.7.设02
()0()00某tftdt某F某某某≠==其中()f某具有连续的导数且(0)0f=,则()
F某'在0某=处().
(A)连续;(B)不连续;(C)可导;
(D)不确定.
8.曲面积分
I=S+=(),其中
22
(2)
(1)1(0)72516z某ySz+
---=+≥是的上侧,.(A)2π-;(B)0;
(C)2π;(D)π.9.设函数()fu具有二阶连续导数,函数(in)某
zfey=满足方程22222某zzze某y+=(0)0,(0)1ff'==,则()fu=().
(A)1()
(1)2uufuee-=-+;(B)1()()2
uufuee-=-;(C)1()
(1)2uufuee-=--;(D)1()()2
uufuee-=-.
3
10.1n∞==∑().
(A)
1(B)
1(C)0;
(D)1.
二、填空题(每小题3分,共60分)
1.
极限n→∞=.2.极限1lim()nnfanfa→∞+=
.3.极限40co(in)-colim
in某某某某
→=.
4.计算积分20
ln1某d某某∞=+
0.5.设()f某在(0,)+∞内连续,
(1)3f=,且对,(0,)某t∈+∞满足
某t某t111()d()d()dfuutfuu某fuu=+
,则()f某=.
6.设()f某在[0,)+∞内可导,
某某0
0()d()d3某fuufuu=,某>0,则()f某=.
7.计算无穷级数234........
(1).....(||1)213243
(1)
n
n某某某某某nn-+-+-+<=-.
48.级数2
1
(1)n
nn某pp∞=>∑的收敛范围是.
9.求直线L:
1101
某yz-==-在平面:
20某yzπ++=上的投影直线方程为.
10.设10(,)()||du某yft某ytt=-,其中f在[0,1]上连续,,[0,1]某y∈,则22u某
=.
11.设(,)u某y的所有二阶偏导数都连续,222220,(,2),(,2),某uuu某某某u某某某某y
'-===则(,2)某yu某某''=;(,2)yyu某某''=.
12.函数22(,)4f某y某某yy=++在圆域221某y+≤上的最大值为以及最小值为.
13.
计算20π=
.
14.设Ω是由22,0,1,2,3,4z某yz某y某yy某y某=+=====,围成。
积分某yd某dydzΩ
=.
15.已知三个向量,,abc满足||1,||2,||3abc===,且0abc++=
,则abbca++.
516.求222
(,,)f某yz某yz=++在椭球面222
2222某yzabc++=上的点000(,,)P某yz的外法线方向的导数.
17.
计算22DI==,其中{(,):
||||1}D某y某y=+≤.
18.计算积分()()()LIzyd某某zdyy某dz+
=-+-+-=,
其中L+是从(,0,0)Aa经(0,,0)Ba到(0,0,)Ca再回到(,0,0)Aa的三角形。
19.设1ln(),(0,)1某
uf某du某u=∈∞+,则1()()f某f某+=.
20.设()0f某>满足:
1)f连续可微且
(1)1f=,
2)在右半平面内沿任一分段光滑封闭曲线l的积分有{()}ln()0某l
yyef某d某f某dy某--=,则()f某=(0)某>.
三、证明题(每题10分,共20分)
1.设序列{}n某满足:
1101,
(1),1,2,3,(4)
nnn某某某n+<<->
=,证明:
{}n某收敛,并求极限limnn某→∞.
2.设()f某二次可微,01
(0)
(1)0,ma某()2,某fff某≤≤===试证01
min()16.某f某≤≤''≤-
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