2012年数学建模集训小题目.doc
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2012年数学建模集训小题目
1.
(1)编写下列一元函数的函数M文件
要求输入变量可以取向量。
(2)编写脚本M文件,要求调用上述函数文件作出函数在区间上图形。
2.已知如下两类曲线
标准正态分布的概率密度曲线;
四叶玫瑰线;
(1)在同一个图形窗口画出上述两类曲线,并进行标注。
(2)在同一个图形窗口内用subplot命令,分成1×2的子窗口,分别做出上述两类曲线,并为每个图形加上标题。
3.作出下列曲面的三维图形
(1);
(2)环面:
4.生成一个10个数据的随机向量,绘制对应的直方图,并把画出的图形保存为jpg文件。
5.编程求解线性规划
6.编程求解下列最小值问题
,
7.先用解析方法求出方程组的精确解,再用LINGO软件解这个方程组,并与精确解进行比较,如何才能用LINGO求出这个方程组的所有解?
8.用LINGO编程,并将最终运算结果保存为文本文件。
9.用LINGO软件求解:
其中是三对角线矩阵,主对角线上元素全为-1,两条次对角线上元素全为2。
10.甲、乙两个煤矿分别生产煤500万吨,供应A,B,C三个电厂发电需要,各电厂用量分别为300,300,400(万吨)。
已知煤矿之间、煤矿与电厂之间以及各电厂之间相互距离(单位:
公里)如表1,表2,表3中所示。
又煤可以直接运达,也可经转运抵达,试确定从煤矿到各电厂间煤的最优调运方案。
表1两煤矿之间的距离
甲
乙
甲
0
120
乙
100
0
表2从两煤矿到三个电厂之间的距离
A
B
C
甲
150
120
80
乙
60
160
40
表3三个电厂之间的距离
A
B
C
A
0
70
100
B
50
0
120
C
100
150
0
11.编写求所有的“水仙花数”的Matlab程序。
所谓的“水仙花数”是指一个三位数,其各位数字的立方之和等于该数本身,如。
12.求函数在附近的零点。
13.解方程组
14.已知实验数据如下:
(1)设数据关系为,试用最小二乘法估计参数,;
(2)在同一图形窗口作出原始数据的散点图及函数的图形(,分别为参数,的估计值)。
15.用Matlab命令randint(5,2,[0,10])生成的随机矩阵,其中矩阵第1列的数据作为的观测值,矩阵第2列的数据作为对应的观测值,来拟合二次曲线方程
,
并画出拟合的二次曲线。
16.利用表4中的数据,求解下列问题
(1)求关于的线性回归方程
,
计算的估计值。
(2)分别利用Matlab的命令lsqcurvefit和nlinfit拟合非线性函数
.
表4已知数据资料
序号
y
x1
x2
序号
y
x1
x2
1
15.02
23.73
5.49
14
15.94
23.52
5.18
2
12.62
22.34
4.32
15
14.33
21.86
4.86
3
14.86
28.84
5.04
16
15.11
28.95
5.18
4
13.98
27.67
4.72
17
13.81
24.53
4.88
5
15.91
20.83
5.35
18
15.58
27.65
5.02
6
12.47
22.27
4.27
19
15.85
27.29
5.55
7
15.80
27.57
5.25
20
15.28
29.07
5.26
8
14.32
28.01
4.62
21
16.40
32.47
5.18
9
13.76
24.79
4.42
22
15.02
29.65
5.08
10
15.18
28.96
5.30
23
15.73
22.11
4.90
11
14.20
25.77
4.87
24
14.75
22.43
4.65
12
17.07
23.17
5.80
13
15.40
28.57
5.22
17.已知函数
,
给定的取值从0到1步长为0.1的数据点,用三次样条函数求该函数的导数,并且与理论结果进行比较。
18.已知函数
,
给定的取值从0到1步长为0.1的数据点,用三次样条函数求该函数在区间上的积分,并且与理论结果进行比较。
19.画出函数的梯度场。
20.求函数在点处沿着从点到点的方向导数。
21.已知
求数值积分。
22.被积曲面为球面在第一象限部分的外侧,计算曲面面积.
23.设随机变量的分布密度为
且,求常数的值。
24.已知解析结果为,其中为摆线的一拱,.
(1)试将上述积分直接化为定积分,再利用Matlab的数值积分函数quad.m计算,并比较计算结果与解析结果的误差;
(2)用三次样条方法
插值曲线,然后再近似计算上述曲线积分。
25.已知一个地区的边界点数据,试估算该地区的边界线长及近似面积。
表5边界点数据表
x
7.0
10.5
13.0
17.5
34.0
40.5
44.5
48.0
56.0
y1
44
45
47
50
50
38
30
30
34
y2
44
59
70
72
93
100
110
110
110
x
61.0
68.5
76.5
80.5
91.0
96.0
101.0
104.0
106.5
y1
36
34
41
45
46
43
37
33
28
y2
117
118
116
118
118
121
124
121
121
x
111.5
118.0
123.5
136.5
142.0
146.0
150.0
157.0
158.0
y1
32
65
55
54
52
50
66
66
68
y2
121
122
116
83
81
82
86
85
68
26.最近,某节能灯具厂接到了订购16000套A型和B型节能灯具的订货合同,合同中没有对这两种灯具各自的数量做要求,但合同要求工厂在一周内完成生产任务并交货。
根据该厂的生产能力,一周内可以利用的生产时间为20000min,可利用的包装时间为36000min。
生产完成和包装完成一套A型节能灯具各需要2min;生产完成和包装完成一套B型节能灯具分别需要1min和3min。
每套A型节能灯具成本为7元,销售价为15元,即利润为8元;每套B型节能成本为14元,销售价为20元,即利润为6元。
厂长首先要求必须要按合同完成订货任务,并且既不要有不足量,也不要有超过量。
其次要求满意的销售额尽量达到或接近275000元。
最后要求在生产总时间和包装总时间上可以有所增加,但超过量尽量地小。
同时注意到增加生产时间要比增加包装时间困难得多。
试为该节能灯具厂指定生产计划。
27.某市教委需要对六所重点中学进行评价,其相应的指标如表6所示。
表6中的生均投入和非低收入家庭百分比是输入指标,生均写作得分和生均科技得分是输出指标。
请根据这些指标,评价哪些学校是相对有效的。
表6评价指标数据表
学校
生均投入(百元/年)
89.39
86.25
108.13
106.38
62.40
47.19
非低收入家庭百分比(%)
64.3
99
99.6
96
96.2
79.9
生均写作得分(分)
25.2
28.2
29.4
26.4
27.2
25.2
生均科技得分(分)
223
287
317
291
295
222
28.已知北京(Pe)、东京(T)、纽约(N)、墨西哥(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)六城市间的航线距离见表7。
以上述六个城市作为顶点,航线作为边构造赋权图,求图的最小生成树。
表7六城市间的距离
L
M
N
Pa
Pe
T
L
56
35
21
51
60
M
56
21
57
78
70
N
35
21
36
68
68
Pa
21
57
36
51
61
Pe
51
78
68
51
13
T
60
70
68
61
13
29.在9个顶点的有向图中,存在从顶点()到顶点()的弧的概率为0.8,各弧上的容量是上的随机整数,用计算机模拟生成该有向图,并求起点到终点的最大流量。
30.某项目工程由11项作业组成(分别用代号表示),其计划完成时间及作业间相互关系如表8所示,求作业的关键路径。
表8作业流程数据
作业
计划完成时间(天)
紧前作业
作业
计划完成时间(天)
紧前作业
5
-
21
10
-
35
11
-
25
4
15
4
20
15
31.利用Matlab的常微分方程数值解函数ode45求解微分方程
,,.
32.隐式微分方程求解
隐式微分方程就是不能转换成显式常微分方程组的微分方程,在Matlab中提供专门的函数ode15i来直接求解隐式微分方程。
若隐式微分方程的形式如下
,
给定初始条件,,则可以编写函数描述该隐式微分方程,然后调用如下命令
sol=ode15i(fun,[t0,tn],x0,xp0,options)
就可以求解该隐式微分方程。
其中,fun为Matlab函数描述隐式微分方程,[t0,tn]为微分方程的求解区间;x0为的初始值,xp0为的初始值。
但是隐式微分方程不同于一般的显式微分方程,求解之前,除了给定的初始值,还需要的初始值,的初始值不能任意赋值,必须满足微分方程的相容性条件,否则将可能出现矛盾的初始值。
通常使用函数decic求出这些未完全定义的初值条件,函数decic的使用格式为
[x0mod,xp0mod]=decic(fun,t0,x0,fixed_x0,xp0,fixed_xp0)
其中x0是给定的的初始值,xp0是任意给定的的初始值,fixed_x0和fixed_xp0是与xp0同维数的列向量,其分量为1表示需要保留的初值,为0表示需要求解的初始值。
若fixed_x0和fixed_xp0等于空矩阵[],表示允许所有的初值分量可以发生变化。
分别用显式和隐式解法求下列微分方程的数值解
33.求解隐式微分方程组
的数值解,其中初值条件为,,。
34.微分代数方程的求解
微分代数方程是指在微分方程中,某些变量间满足一些代数方程的约束,其一般形式为
,
其中,矩阵通常是奇异矩阵。
在Matlab语言提供了ode15s来求解。
求解如下微分代数方程组
其中初始值为,,。
35.时滞微分方程的求解
许多动力系统随时间的演化不仅依赖于系统当前的状态,而且依赖于系统过去某一时刻或若干个时刻的状态,这样的系统被称作时滞动力系统。
时滞非线性动力系统有着比用常微分方程所描述的动力系统更加丰富的动力学行为,例如,一阶的自治时滞非线性系统就可能出现混沌运动。
时滞微分方程的一般形式为
,
其中,为时滞常数。
在Matlab中提供了命令dde23来直接求解时滞微分方程。
其调用格式为
sol=dde23(ddefun,lags,history,tspan,options),
其中,ddfun为描述时滞微分方程的函数,lags为时滞常数向量,history为描述时的状态变量值的函数,tspan为求解的时间区间,options为求解器的参数设置。
该函数的返回值sol是结构体数据,其中sol.x成员变量为时间向量,sol.y成员变量为各个时刻的状态向量构成的矩阵,其每一个行对应着一个状态变量的取值。
求解如下时滞微分方程组
已知,在时,,,,试求该方程组在上的数值解。
36.求解如下具有混沌状态的时滞微分方程
,
已知,在时,,试求该方程在的相位图。
37.常微分方程两点边值的求解
求解区间上的边值问题
,
边界条件为和。
38.首先介绍偏微分方程的类型,对于关于变量和的二阶偏微分方程可以写成如下形式
,
偏微分方程的分类见表9。
表9偏微分方程的分类表
条件
方程类型
典型方程
椭圆型
拉普拉斯方程
抛物型
热传导方程
双曲型
波方程
Matlab工具箱可以求解所有的椭圆型方程和抛物型方程,也可以求解空间变量是两维的双曲型方程,但无法直接求解空间变量是一维的双曲型方程。
下面我们首先讨论双曲型偏微分方程的解。
双曲型方程典型的形式是
,
(1)
当给定初始条件
,,
(2)
以后,容易验证,双曲型方程
(1)的解为
,,.(3)
也就是说,在平面上,沿着
,是常数,
这样的直线,的值保持不变,这种直线叫做特征线。
在物理学上常见到的双曲型方程
,(4)
可以化为
(1)式这种形式的联立方程组。
事实上,令,,则(4)式就化为一阶偏微分方程组
(1)无限长的弦的自由振动
自由振动的弦满足的振动方程是
,
无限长的弦没有边界,所以只有初始条件
,,
问题的解是达朗贝尔公式
.
(2)两端固定的弦振动问题
两端固定的均匀弦的自由振动的定解问题是
(5)
它的解是
,
其中的系数是
,
.
取,,设初速度,初位移为
i)画出定解问题(5)的解析解的图形。
ii)求定解问题(5)的数值解,并画出数值解的图形。
39.求解抛物型方程定解问题
的精确解和数值解。
40.在密码学中经常会用到素数。
计算10000到20000之间素数的个数。
41.桌上有52张牌,一次拿5张牌,共有多少种可能?
42.作用点的力矩定义为力与力臂的叉积
.
已知方向矢量,力矢量,求力矩.
43.已知经管、汽车、信息、材化、计算机、土建、机械学院7个学院学生四门基础课(数学,物理,英语,计算机)的平均成绩见表10。
试用模糊聚类分析方法对学生成绩进行评价。
表10基础课平均成绩表
经管
汽车
信息
材化
计算机
土建
机械
数学
62.03
62.48
78.52
72.12
74.18
73.95
66.83
物理
59.47
63.70
72.38
73.28
67.07
68.32
76.04
英语
68.17
61.04
75.17
77.68
67.74
70.09
76.87
计算机
72.45
68.17
74.65
70.77
70.43
68.73
73.18
44.PageRank算法是基于网页链接分析对关键字匹配搜索结果进行处理的。
它借鉴传统引文分析思想:
当网页甲有一个链接指向网页乙,就认为乙获得了甲对它贡献的分值,该值的多
少取决于网页甲本身的重要程度,即网页甲的重要性越大,网页乙获得的贡献值就越高。
由于网络中网页链接的相互指向,该分值的计算为一个迭代过程,最终网页根据所得分值进行检索排序。
互联网是一张有向图,每一个网页是图的一个顶点,网页间的每一个超链接是图的一个边,邻接矩阵,如果从网页到网页有超链接,则,否则为0。
记矩阵的列和及行和分别是
,,
它们分别给出了页面的链入链接数目和页面的链出链接数目。
假如我们在上网时浏览页面并选择下一个页面的过程,与过去浏览过哪些页面无关,而仅依赖于当前所在的页面。
那么这一选择过程可以认为是一个有限状态、离散时间的随机过程,其状态转移规律用Markov链描述。
定义矩阵如下
,,
其中是模型参数,通常取,是Markov链的转移概率矩阵,表示从页面转移到页面的概率。
根据Markov链的基本性质,对于正则Markov链存在平稳分布,满足
,,
表示在极限状态(转移次数趋于无限)下各网页被访问的概率分布,Google将它定义为各网页的PageRank值。
假设已经得到,则它按分量满足方程
.
网页的PageRank值是,它链出的页面有个,于是页面将它的PageRank值分成份,分别“投票”给它链出的网页。
为网页的PageRank值,即网络上所有页面“投票”给网页的最终值。
根据Markov链的基本性质还可以得到,平稳分布(即PageRank值)是转移概率矩阵的转置矩阵的最大特征值()所对应的归一化特征向量。
已知一个的网络如图16所示,求它的PageRank取值。
图16网络结构示意图
45.随着现代科学技术的发展,每年都有大量的学术论文发表。
如何衡量学术论文的重要性,成为学术界和科技部门普遍关心的一个问题。
有一种确定学术论文重要性的方法是考虑论文被引用的状况,包括被引用的次数以及引用论文的重要性程度。
假如我们用有向图来表示论文引用关系,“A”引用“B”可用图18表示。
图18引用关系图
现有A、B、C、D、E、F六篇学术论文,它们的引用关系如图19所示。
图19六篇论文的引用关系
设计依据上述引用关系排出六篇论文重要性顺序的模型与算法,并给出用该算法排得的结果。
46.种群增长模型
Leslie在20世纪40年代建立了一个具有年龄结构的人口离散模型。
由于男、女性人口通常有一定的比例,为了简单起见只考虑女性人口数。
现将女性人口按年龄划分成个年龄组,即组。
每组年龄段可以是1岁,亦可是给定的几岁为一组,如每5年为一个年龄组。
现将时间也离散为时段,。
记时段第年龄组的种群数量为,第年龄组的繁殖率为;第年龄组的死亡率为,,称为第年龄组的存活率。
在此假设和不随时段变化,基于上述符号和假设,在已知时段的各值后,在时段,第一年龄组种群数量是时段各年龄组繁殖数量之和,即
,
时段第年龄组的种群数量是时段第年龄组存活下来的数量,即
,.
记时段种群各年龄组的分布向量为
,
并记
,
则有
,.
当第时段各年龄组的人数已知时,即已知时,可以求得时段的按年龄组的分布向量为
,,
由此可算出各时段的种群总量。
假设,出生率向量,存活率向量,初始种群数量,研究该种群的发展变化情况,特别要给出该种群当的极限状态。
47.高维(四维)数据可视化方法
在实际问题中,可能会涉及高维数据可视化,比如三维网格图、曲面图的第四维输入数据等,要求基于四维数据进行可视化显示。
解决高维数据可视化问题,一般是利用低维信息处理高维数据,比如用颜色属性表达高维信息,就经常使用。
通过高维数据的显示,可以在可视化意义上反映出数据意义。
在Matlab中对四维数据的显示可以用切片图表现,用slice命令。
slice函数的调用格式如下:
(1)slice(V,sx,sy,sz)
其中,V为体数据,为的矩阵,默认对应的三维坐标为,,;sx,sy,sz为坐标轴方向的切片平面向量。
显示三维坐标所确定的超立体V在轴、轴和轴方向上的若干点的切片图,各点的坐标由sx,sy,sz确定。
(2)slice(X,Y,Z,V,sx,sy,sz)
其中X,Y,Z为对应于V的三维坐标;V为体数据,为的矩阵;sx,sy,sz为坐标轴方向的切片平面向量。
显示三维坐标所确定的超立体V在轴、轴和轴方向上的若干点的切片图,各点的坐标由sx,sy,sz确定。
(3)slice(V,XI,YI,ZI)
其中,V为体数据,为的矩阵;XI,YI,ZI为三维曲面坐标点。
沿着由矩阵XI,YI和ZI定义的曲面画穿过超立体V的切片。
(4)slice(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)
其中,X,Y,Z为对应于V的三维坐标;V为体数据,为的矩阵;XI,YI,ZI为三维曲面坐标点。
沿着由矩阵XI,YI和ZI定义的曲面画穿过超立体V的切片。
(5)slice(…,’method’)
其中,’method’为插值方法,有linear三线性插值(默认),cubic三立体插值和nearest近邻插值3种。
例在区间,,上可视化。
[x,y,z]=meshgrid(-2:
.2:
2,-2:
.25:
2,-2:
.16:
2);
v=x.*exp(-x.^2-y.^2-z.^2);
xslice=[-1.2,.8,2];yslice=2;zslice=[-2,0];
slice(x,y,z,v,xslice,yslice,zslice)
colormaphsv
可视化效果见图21。
图21四维数据的可视化效果图
例利用slice命令对球运动过程作切割。
[x,y,z]=meshgrid(-2:
.2:
2,-2:
.25:
2,-2:
.16:
2);
[xsp,ysp,zsp]=sphere;
hold
slice(x,y,z,v,[-2,2],2,-2)%Drawsomevolumeboundarie
fori=-2:
1:
2
hsp=surface(xsp+i,ysp,zsp);
rotate(hsp,[100],90)
xd=get(hsp,'XData');
yd=get(hsp,'YData');
zd=get(hsp,'ZData');
delete(hsp)
hslicer=slice(x,y,z,v,xd,yd,zd);
end
view(-10,35)
可视化效果见图22。
图22球运动的可视化图
利用切片函数slice可以方便地显示四维数据的截图图像。
如果需要将第四维数据作为颜色参数来显示曲面,就需要通过设置颜色映射表来进行。
例利用颜色映射表作图。
clc,clear
A=[12225
13321
14420
25519
26731];
x=A(:
1)';y=A(:
2)';z=A(:
3)';s=A(:
4)';
xmm=minmax(x);%求x的最小值和最大值
ymm=minmax(y);
zmm=minmax(z);
y1=linspace(ymm
(1),ymm
(2),30);
z1=linspace(zmm
(1),zmm
(2),30);
x1=ones(size(y1))*x
(1);
[x0,y0]=meshgrid(x1,y1);
z0=zeros(length(z1));
fori=1:
size(z0,1)
z0(i,:
)=z1;
end
[r,c]=size(z0);
rgb=ones(r,c);%颜色矩阵赋初值
fori=1:
length(s)
rgb((i-1)*6+1:
i*6,:
)=rgb((i-1)
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