将军饮马综合题练习(1).pdf
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将军饮马综合题练习(1).pdf
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将军饮马练习【例1】如图1,直线同侧有两点A、B,在直线上求一点C,使它到A、B之和最小(保留作图痕迹不写作法)知识拓展:
如图2,点P在AOB内部,试在OA、OB上分别找出两点E、F,使PEF周长最短(保留作图痕迹不写作法)解决问题:
如图3,在五边形ABCDE中,在BC,DE上分别找一点M,N,使得AMN周长最小(保留作图痕迹不写作法)若BAE=125,B=E=90,AB=BC,AE=DE,AMN+ANM的度数为【例2】在ABC中,A=45,AB=7,AC=42,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点求DEF的最小周长【例3】知识再现如图:
若点A,B在直线l同侧,A,B到l的距离分别是3和2,AB=4现在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小,做法如下:
作点A关于直线L的对称点A,连接BA,与直线l的交点就是所求的点P,线段BA的长度即为AP+BP的最小值请你求出这个最小值实践应用如图,O的半径为2,点A、B、C在O上,OAOB,AOC=60,P是OB上一动点,则PA+PC的最小值是;如图,RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,3),点C的坐标为(1,0),点P为斜边OB上的一动点,则PA+PC的最小值为如图,菱形ABCD中AB=2,A=120,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为如图,在RABC中,C=90,B=60,点D是BC边上的点,CD=3,将ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则PEB的周长的最小值是拓展延伸如图,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使APB=APD保留作图痕迹,不必写出作法【例4】唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说:
“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题将军饮马问题:
如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营请问怎样走才能使总的路程最短?
做法如下:
如图1,从B出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取B关于河岸的对称点B,连接AB,与河岸线相交于P,则P点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到P,饮马之后,再由P沿直线走到B,所走的路程就是最短的观察发现再如图2,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,D=120,点E、F是底边AD与BC的中点,连接EF,在线段EF上找一点P,使BP+AP最短作点B关于EF的对称点,恰好与点C重合,连接AC交EF于一点,则这点就是所求的点P,故BP+AP的最小值为实践运用如图3,已知O的直径MN=1,点A在圆上,且AMN的度数为30,点B是弧AN的中点,点P在直径MN上运动,求BP+AP的最小值拓展迁移如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(1,0)、C(0,3)两点,与x轴交于另一点B求这条抛物线所对应的函数关系式;在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M,使ACM周长最小,请求出此时点M的坐标与ACM周长最小值(结果保留根号)将军饮马练习(答案)【例1】【解析】作A关于直线MN的对称点E,连接BE交直线MN于C,连接AC,BC,则此时C点符合要求作图如下:
作图如下:
BAE=125,P+Q=180125=55,AMN=P+PAM=2P,ANM=Q+QAN=2Q,AMN+ANM=2(P+Q)=255=110【例2】【解析】过B点作BMAC于M,AEBC于E,作E关于直线AB的对称点E,点E关于直线AC的对称点E,连接EE交AB于D,交AC于F,此时DEF周长最小A=45,AM=BM=722,AC=42,CM=ACAM=22,BC=22BMCM+=5,12BCAE=12BMAC,AE=285,BAC=45,EAB=BAE,EAC=CAE,EAE=90,AE=AE=AE=285,EE=2AE=2825,EDF周长=DE+DF+EF=ED+DF+FE=2825【例3】【解析】如图1中,作BMAA于M,连接AB在RTBMA中,BMA=90,AB=4,AM=1,BM2=AB2AM2=15,在RTBMA中,BMA=90,MA=5,BA=22BMMA+=1525+=210如图2中,延长AO交O于H,连接CH交OB于点P,此时PA+PC最小,OA=OH,POAH,PA=PH,PA+PC=PH+PC=HC,AH是直径,ACH=90,AOC=60,OA=OC,AOC是等边三角形,HAC=60,在RTACH中,AHC=30,AC=2,AH=4,CH=22AHAC-=23故答案为23如图3中,作点C关于直线OB的对称点C,连接AC交OB于点P,此时PC+PA最小,最小值=AC,点C坐标(12,32)AC=2235()()22+=7,故答案为7如图4中,当KPBC,KQCD时,KP+KQ最小,连接AC交BD于点O,由题意:
12BDCO=12BCKP+12CDKQ,KP+KQ=3,故答案为3如图5中,E、C关于AD对称,当点P与点D重合时,PEB周长最小,在RTDEB中,DEB=90,DE=CD=3,DBE=60,BD=2EB,设EB=x,则BD=2x,(2x)2=x2+(3)2,x=1,x0,x=1,EB=1,DB=2,PEB周长最小值=3+3故答案为3+3作点B关于AC的对称点B,连接DB并延长交AC于点P,此时APB=DPA【例4】【解析】在等腰梯形ABCD中,ADBC,且BAD=D=120,ABC=60;在ADC中,AD=CD=2,D=120,所以DAC=DCA=30;BAC=BADDAC=12030=90,即BAC为直角三角形;在RtBAC中,ABC=60,BCA=9060=30,AB=2,所以AC=ABtan60=23;由于B、C关于直线EF对称,根据阅读资料可知BP+AP的最小值为线段AC的长,即23如图,作点A关于直径MN的对称点C,连接BC,则BC与直径MN的交点为符合条件的点P,BC的长为BP+AP的最小值;连接OA,则AON=2AMN=60;点B是AN的中点,BON=12AON=30;A、C关于直径MN对称,CN=AN,则CON=AON=60;BOC=BON+CON=90,又OC=OB=12MN=12,在等腰RtBOC中,BC=2OB=22;即:
BP+AP的最小值为22依题意,有:
1203baabcc=-+=-,解得123abc=-=-抛物线的解析式:
y=x22x3;取点C关于抛物线对称轴x=1的对称点D,根据抛物线的对称性,得:
D(2,3);连接AD,交抛物线的对称轴于点M,如图;设直线AD的解析式为y=kx+b,代入A(1,0)、D(2,3),得:
023kbkb-+=+=-,解得11kb=-=-直线AD:
y=x1,M(1,2);ACM的周长最小值:
lmin=AC+AD=10+32
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