初中数学竞赛中的概率问题.pdf
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初中数学竞赛中的概率问题.pdf
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2中等数学数学活动锯程讲屋初中数学竞赛中的概率问题邹守文(安徽省南陵县实验中学,241300)(本讲适合初中)概率是课程标准新增加的内容之一,在近两年的初中数学竞赛中,也是一个重要的考点例1一项“过关游戏”规定:
在第关要掷一颗骰子7,次,如果这次抛掷所出现的点数之和大于,则算过关;否则,不算过叶:
关现有下列说法:
过第一关是必然事件;过第二关的概率是薹;可以过第四关;过第五关的概率大于零其中,正确说法的个数为()(A)4(B)3(c)2(D)1(2008,全国初中数学联赛天津赛区初赛)讲解:
要过第一关,点数需大于,显然,抛掷一颗骰子至少有一点,故对要过第二关,点数之和而八J9,即点数之和至少是3而抛掷两次的点数之和至少为2,因此,不能过第二关的只有一种可能:
两次抛掷的点数都是1,即两次抛掷的36种可能中,有35种结果可以通过第二关所以,:
一,33b5故对收稿El期:
20080505修回13期:
20080716要过第四关,点数之和需大于寺=1201若每次抛掷的点数均为6,则点数之和为24,大于201所以,第四关是可以通过-r的故对5要过第五关,点数之和需大于寺显然,这是不可能的,所以,过第五关是不可能事件,概率为0故错注:
本题是关于概率概念的基础题,关键在于正确理解闯关的含义例2用红、蓝、黄三色将图1中区域A、B、C、D染色,要求有公共边界的相邻区域不能染成相同的颜色则满足区域A恰图1好染成蓝色的概率是(2007,江苏省初中数学竞赛(初三第二试)、讲解:
解本题需用列举法列出所有可能情形,如图2个由图2知A天天天共有12种情平午平形,其中A染成c天天天天蓝色的共有4D红黄红蓝红蓝黄蓝红黄蓝黄种情形,故概率图2为:
注:
本题若从整体考虑,A中有红、黄、蓝维普资讯http:
/2008年第9期3三种染色方法,且染成每种颜色的机会均等,故A染成蓝色的概率为了1例3六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体表面如图3所示掷这个立方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标,朝下一面的数为该点的纵坐标按照这样的图3规定,每掷一次该立方体,就能得到平面内的一个点的坐标已知小明前两次掷得的两个点能确定一条直线f,且这条直线f经过点(4,7)那么,他第三次掷得的点也在这条直线上的概率是()(A)吾(B)(c)吉(D)吉(2007,全国初中数学联赛浙江赛区初赛)讲解:
每掷一次可能得到六个点的坐标是(其中有两个点是重合的):
(1,1),(1,1),(2,3),(3,2),(3,5),(5,3)通过描点和计算可以发现,经过(1,1)、(2,3)、(3,5)三点中的任意两点所确定的直线都经过点P(4,7)故小明第三次掷得的点也在直线f上的概率是;=注:
解本题的关键在于列出所有点的坐标,通过画图确定一次函数的解析式例4把一颗六个面编号分别为1,2,3,4,5,6质地均匀的正方体骰子先后投掷2次若两个正面朝上的编号分别为m、n,则二次函数Y=+懈+n的图像与轴有两个不同交点的概率是()(A)(B)导(c)(D)(2008,数学周报杯全国初中数学竞赛)讲解:
基本事件总数有6x6=36,即可以得到36个二次函数利用一元二次方程根的判别式=b一4ac=m一4n0,知m4n通过枚举法知,满足条件的m、有l7对,故P=例5如图4,将3枚相同硬币依次放入一个44的正方形格子中(每个正方形格子只能放1枚硬币)求所放的3枚硬币中,任意两枚都不同行且不同列的概率图4(2008,全国初中数学联赛四川初赛)讲解:
(1)计算总的放法数n:
第一枚硬币放入l6个格子有l6种放法;第二枚硬币放入剩下的l5个格子有l5种放法;第三枚硬币放入剩下的l4个格子有l4种放法所以,总的放法数n=。
1615X14=3360
(2)计算满足题目要求的放法数m:
第一枚硬币放入l6个格子有l6种放法,与它不同行且不同列的格子有9个因此,与第一枚硬币不同行且不同列的第二枚硬币有9种放法与前两枚硬币不同行且不同列的格子有4个,第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法所以,满足题目要求的放法数m:
】694=576故所求概率P=m16946例6某广场地面铺满了边长为36cm的正六边形地砖现在向上抛掷半径为63cm的圆碟,圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是(2006,太原市初中数学竞赛)讲解:
如图5,欲使圆碟不压地砖间的间维普资讯http:
/4中等数学隙,则圆碟的圆心必须落在与地砖同心、边与地砖边彼此平行、距离为6f3em的小正六边形内作OC1上A1A2,且cc,:
6em图5因为lA2=A20=36,A2C1=18,所以,C10=A20=18则C20=C10一C1C2:
18一6:
12又C20=BO,所以,B20=21224而B=B0,则小正六边形的边长为24em故所求概率为小正六边形面积天正天迈形面积=(麓)一)=吾注:
解本题的关键在于,准确理解“圆碟落地后与地砖间的间隙不相交”,进而将问题转化为两个正六边形的面积的比例7从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数则所组成的数是3的倍数的概率是()。
(A1(B)(c)詈(D1(2008,全国初中数学联赛)讲解:
能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中,是3的倍数的数为12,l5,21,24,42,45,5l,54,共8个所以,所组成的数是3的倍数的概率是一205例8一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行。
裁判在黑板上先写出整数2,3,2006,然后随意擦去一个数,接下来由甲、乙两人轮流擦去一个数(即乙先擦去其中的一个数,然后甲再擦去一个数,如此下去)若最后剩下的两个数互质,则判甲胜;否则,判乙胜按照这种游戏规则,求甲获胜的概率(用具体数字作答)(2007,全国初中数学联赛四川初赛)讲解:
获胜的关键是看裁判擦去的是哪个数。
注意到2,3,2006,共有1002个奇数,1003个偶数
(1)若裁判擦去的是奇数,此时,乙一定获胜乙不管甲取什么数,只要还有奇数,就擦去奇数,这样,最后剩两个数一定是偶数,从而,所剩的两个数不互质故乙胜
(2)若裁判擦去的是偶数,此时,甲一定获胜设裁判擦去的数是2m则剩下的数配成1002对:
(2,3),(2ra2,2m一1),(2m+1,2m+2),(2005,2006)这样,不管乙擦去哪一个数,甲都擦去所配对中的另一个数,最后剩下的两个数必然互质故甲胜所以,甲获胜的概率为注:
解本题的关键在于,一是必须根据裁判擦去的数是奇数还是偶数进行讨论;二是对数组进行有效的分类练习题1甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4x100m接力跑比赛如果任意安排四维普资讯http:
/2008年第9期位同学的跑步顺序,那么,恰好由甲将接力棒交给乙的概率是()(A)(B)丢(c)吉(D)(2008,全国初中数学竞赛浙江赛区初赛)(提示:
由列举法知,有24种可能,符合题意的有6种可能,概率为)咔2小丁、小明、小倩在一起做游戏时,需要确定做游戏的先后顺序他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定那么,在一个回合中三个人都出“布”的概率是(2008,全国初中数学竞赛海南赛区初赛)(提示:
用列表、画树形图或用乘法原理知概率为)3一只盒子中有红球m个,白球10个,黑球rt个,每个球除颜色外都相同从中任取一个球,取得是白球的概率与不是白球的概率相同那么,m与rt的关系是()(A)m+rt=10(B)m+rt=5(C)m=rt=10(D)m=2,rt=3(2007,山东省初中数学竞赛)(提示:
由概率的意义知,选(A)4书架上有两套同样的教材,每套分上、下两册,在这四册教材中随机抽取两册,恰好组成一套教材的概率是()(A)了2(B)(c)(D)(2006,全国初中数学竞赛浙江赛区初赛)(提示:
由列举法知概率为)5在6X6的方格纸中,每一个小方格是边长为1的正方形,A、B两点在小方格的顶点上,位置如图6所示请你在小方格的顶点上标出满足题意的所有点C,使ABC的面积为2个平方单A图6位,顺次联结各点c得一多=边形则蚂在这张方格纸上、停留在这多边形上的概率为()(A)吾(B)蠢(c)吾(D)导(提示:
蚂蚁停留的多边形是平行四边形,概率为P=吾)敬告读者1我部在连续四年推出国内外数学竞赛套题及精解之后,今年继续推出2006-2007国内外数学竞赛套题及精解。
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2我部目前还有少量(2003-2004国内外数学竞赛套题及精解)(2oo4-2oo5国内外数学竞赛套题及精解(20o5-2oo6国内外数学竞赛套题及精解,余量有限,欲购从速。
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