高数下册单元测试题完全版.pdf
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高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-1-目录第9章单元测试题.-1-第9章单元测试题参考答案.-2-第10章单元测试题.-7-第10章单元测试题参考答案.-8-第11章单元测试题.-14-第11章单元测试题参考答案.-14-第12章单元测试题.-18-第12章单元测试题参考答案.-18-第第9章单元测试题章单元测试题1计算下列各题(每小题5分,共20分)
(1)设)1ln()1(yxxezyx+=+,求(1,0)dz
(2)设函数181261),(222zyxzyxu+=,向量(1,1,1)n=?
,求(1,2,3)un(3)设),(xyzzyxfz+=,求xz.(4)求旋转抛物面122+=yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程2(本题10分)设22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy+=,求(,)fxy的偏导数3(本题10分)设(,)wfxyzxyz=+,f具有二阶连续偏导数,求xw和zxw2.4(本题10分)设)(uf具有二阶连续导数,且)()(),(yxyfxyfyxg+=,求.222222ygyxgx5(本题10分)求曲线6222=+zyx,0=+zyx在点(1,2,1)处的切线及法平面方程.6(本题10分)cos(cossinyxyxz+=(0,2xy),求z的极值7(本题15分)已知函数),(yxfz=的全微分ydyxdxdz22=,并且2)1,1(=f,求),(yxfz=在椭高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-2-圆域14),(22+=yxyxD上的最大值和最小值.8(本题15分)设函数(,)()()()xyxyuxyxyxytdt+=+,其中函数具有二阶导数,具有一阶导数,求22ux,2uxy,22uy.第第9章单元测试题参考答案章单元测试题参考答案1计算下列各题(每小题5分,共20分)
(1)设)1ln()1(yxxezyx+=+,求(1,0)dz解:
)1ln(yxeexzyxyx+=+,yxxeyzyx+=+11,则(1,0)dz2
(2)edxedy=+
(2)设函数181261),(222zyxzyxu+=,向量(1,1,1)n=?
,求(1,2,3)un解:
函数(,)uxyz沿单位向量0(cos,cos,cos)n=?
的方向导数为:
coscoscoszuyuxunu+=本题n?
(,)mnl=非单位向量,则应先将其单位化,从而得方向余弦为:
2221cos3mmnl=+,2221cos3nmnl=+,2221cos3lmnl=+因为3xxu=,6yyu=,9zzu=,于是所求方向导数为(1,2,3)un11111133333333=+=(3)设),(xyzzyxfz+=,求xz.解:
令,zyxu+=,xyzv=则),(vufz=高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-3-把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz)1(xzfu+=),(xzxyyzfv+整理得xz1uvuvfyzffxyf+=(4)求旋转抛物面122+=yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程解:
1),(22+=yxyxf(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)nxy=?
(4,2,1)=,切平面方程为,0)4()1
(2)2(4=+zyx即0624=+zyx法线方程为214421xyz=2设22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy+=,求(,)fxy的偏导数解:
当(,)(0,0)xy时,22222)
(2)(),(yxxyxyxyyxfx+=,)()(22222yxxyy+=22222)
(2)(),(yxxyyyxxyxfy+=,)()(22222yxyxx+=当(,)(0,0)xy=时,按定义可知xfxffxx=)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0=xxyfyffyy=)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0=yy,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222=+=yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222=+=yxyxyxyxxyxfy3设(,)wfxyzxyz=+,f具有二阶连续偏导数,求xw和zxw2.解:
令,zyxu+=;xyzv=记,),(1uvuff=,),(212vuvuff=同理有,2f,11f.22f高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-4-=xwxvvfxuuf+;21fyzf+=zxw2)(21fyzfz+;221zfyzfyzf+=zf1zvvfzuuf+11;1211fxyf+=zf2zvvfzuuf+22;2221fxyf+=于是=zxw21211fxyf+2fy+)(2221fxyfyz+.)(22221211fyfzxyfzxyf+=4设)(uf具有二阶连续导数,且)()(),(yxyfxyfyxg+=,求.222222ygyxgx解:
)()(2yxfxyfxyxg+=,)
(1)()(242322yxfyyxfxyxyfxyxg+=,)()()(1yxfyxyxfxyfxyg+=,)()(12222yxfyxxyfxyg=)()(322yxfyxyxfyx+所以222222ygyxgx).(2xyfxy=5求曲线6222=+zyx,0=+zyx在点(1,2,1)处的切线及法平面方程.解:
方程两边对x求导得=+=+1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy=,zyyxdxdz=(1,2,1)0,dydx=(1,2,1)1,dzdx=由此得切向量(1,0,1),T=?
切线方程为,110211=+=zyx法平面方程为,0)1()2(0)1(=+zyx即0=zx.6(本题10分)cos(cossinyxyxz+=(0,2xy),求z的极值高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-5-解:
=+=0)sin(sin0)sin(cosyxyzyxxzyx,求得驻点:
36驻点处2222233,32zzzABCxxyy=,20BAC,且0A),0y=所围成的半圆柱体7(本题10分)求位于两圆sin2=r与sin4=r之间的均匀薄片的质心.8(本题10分)求均匀半球的形心,其中是由222zaxy=与0=z所围成的闭区域.高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-8-第第10章单元测试题参考答案章单元测试题参考答案1解答下列各题(每小题5分,共30分)
(1)交换()22022244,yydyfxydx+的积分次序解:
D:
+242242,20yxyy图形如右(上半圆),由图可知,D也可表为,40,402xxyx所以交换积分次序后,得()24400,xxdxfxydy
(2)改变积分212220010(,)(,)xxxdxfxydydxfxydy+的次序解:
212220010(,)(,)xxxdxfxydydxfxydy+212011(,)yydyfxydx=(3)化积分为极坐标形式的二次积分:
100d(,)dxIxfxyy=解:
过原点作射线穿过积分域内部,分别交边界于两点,在这条线上关于r积分.cos1rx=,secr=,故40sec0(cos,sin)Idfrrrdr=xy24Ooxy1yx=高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-9-(4)化积分为极坐标形式的二次积分:
1002(,)xIdxfxydy=.解:
过原点作射线穿过积分域内部,分别交边界于两点,在这条线上关于r积分.22sin(cos)ryxr=,tansecr=;cos1rx=,secr=,故40secsectan(cos,sin)Idfrrrdr=(5)化积分为极坐标形式的二次积分:
22002(,)aaxxIdxfxydy=.解:
图形如下所示(上半圆),过原点作射线穿过积分域内部,分别交边界于两点,在这条线上关于r积分.22yaxx=即为222xyax+=,22cos2cosrarra=,故202cos0(cos,sin)aIdfrrrdr=xoyoxy12xy=高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-10-(6)化积分为直角坐标形式的二次积分:
1400d(cos,sin)dIfrrrr=.解:
首先由题设画出积分区域的图形,图形如下所示,显然是Y型域,则22120d(,)dyyIyfxyx=2求Dydxdyex22,其中D是以(0,0)、(1,1)、(0,1)为顶点的三角形解:
dyey2无法用初等函数表示,积分时必须考虑次序。
22yDxedxdy12200yydyxedx=31203yyedy=212206yyedy=).e(2161=3利用二重积分求几何体的体积,几何体是由平面0z=及抛物面zyx=+622所围成的.解:
如图,几何体可看成是以xOy面内的区域D:
622+yx为底,以曲面226yxz=为顶的曲顶柱体.故体积22(6)dDVxy=令cosrx=,sinry=,则D:
0602r从而V=26200d(6)drrr=64202(3)184rr=.xOyzoxy1yx=221xy+=22高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-11-4(本题10分)设区域22(,)1,0Dxyxyx=+,计算221dd1Dxyxyxy+.解:
由于积分区域D关于x轴对称,故可先利用二重积分的对称性结论简化积分,又积分区域为圆域的一部分,则将其化为极坐标系下累次积分即可.积分区域D如下图所示,区域D关于x轴对称,设区域1D是其在x轴上方的部分.221(,)1fxyxy=+是变量y的偶函数,22(,)1xygxyxy=+是变量y的奇函数,则112222220011ln2dd2dd2dd1112DDrxyxyrxyxyr=+,22dd01Dxyxyxy=+故22222211ln2dddddd1112DDDxyxyxyxyxyxyxyxy+=+=+.?
只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题,就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性,以便简化计算.5求dxdyxyyxD+)(22,D是由21xy=和x轴所围的半圆形区域.解:
积分区域D如下图所示,区域D关于y轴对称,xy是关于变量x的奇函数,则0Dxydxdy=.而0:
D,10r,于是,2222()DDxyxydxdyxydxdy+=+=1200drdr13003rd=3=xoy高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-12-6计算22zxydxdydz+,其中是由柱面xyx222=+与平面0z=,za=(0a),0y=所围成的半圆柱体解:
利用直角坐标与柱坐标的关系为=zzryrxsincos,在柱面坐标系下,az020cos20:
,于是22zxydxdydz+2zdddz=200022cosaddzdz=dcos342032=a398a=7求位于两圆sin2=r与sin4=r之间的均匀薄片的质心解:
利用对称性可知0=x;而xoy2axyzocos2=42DoyxC高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-13-=DyxyAydd1=Drrddsin312=0dsin3124sin2sinrdrdsin95604=dsin2956204=37221432956=.8求均匀半球的形心,其中是由222zaxy=与0=z所围成的闭区域.解1:
利用柱面坐标计算,由对称性知:
0,0=yx,32()3a=表示的体积.()zdVz=222300032aardrdrzdza=2223003()22ararddra=43388aaa=解2:
利用“先二后一”方法计算。
由于(,)(,),0,zxyzxyDza=2222:
zDxyaz+,所以zdV2200()aaDzzdzdxdyzazdz=414a=xyzO高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-14-第第11章单元测试题章单元测试题1(本题10分)求曲线:
Lxa=,yat=,212zat=(01t,0a)的质量,设其线密度为az2=2(本题10分)求线密度为21),(xyyx+=的曲线段:
ln,12Lyxx=关于y轴的转动惯量yI3(本题10分)计算积分+Lyxdxdy1,其中L是下半圆周)0(22=+aaxyx沿x增加的方向.4(本题10分)求全微分dyxyxyxydxxyyxy)sin()sin1(22+的原函数),(yxu.5(本题10分)设为圆锥面222yxz+=介于0=z与1=z之间的部分,求+=dSyxI)(22.6(本题15分)计算积分dxdyyxydzdxdydzyxS)()(222+,其中S为旋转抛物面22yxz+=在1z的部分并取曲面外侧7(本题10分)计算=xzdydzI,其中是上半球面222yxRz=的上侧.8(本题15分)利用斯托克斯公式计算曲线积分dddWyxzyxz=+?
,其中是平面1xyz+=被三个坐标面所截三角形的整个边界,若从z轴的正向看去取顺时针方向.9(本题10分)计算2yDedxdy,其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)OAB为顶点的三角形闭区域.第第11章单元测试题参考答案章单元测试题参考答案1求曲线L:
xa=,yat=,212zat=(01t,0a)的质量m,设其线密度为az2=解:
11222200()1Lmdstaatdttatdt=+=+ata312201)1(3221232=+=2(本题10分)求线密度为21),(xyyx+=的曲线段:
ln,12Lyxx=关于y轴的转动惯量yI高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-15-解:
434lnln1111212212222=+=+=xdxxdxxxyxdsxyxILy3(本题10分)计算积分+Lyxdxdy1,其中L是下半圆周)0(22=+aaxyx沿x增加的方向.解:
设11),(,11),(+=+=yxyxQyxyxP,则xQyxyP=+=2)1(1因为),(yxP和),(yxQ在直线01=+yx上无定义,除该直线上的点外,),(yxP和),(yxQ处处具有一阶连续偏导数,曲线积分+Lyxdxdy1的积分路径不与直线01=+yx相交,所以+Lyxdxdy1只与起点、终点有关,取从)0,0(到)0,(a的直线段1L,则有)1ln(101101axdxyxdxdyyxdxdyaLL+=+=+=+.4(本题10分)求全微分dyxyxyxydxxyyxy)sin()sin1(22+的原函数),(yxu.解:
因为xyxyxyyxyxyxyxxyyxyycossin1)sin()sin1(222=+在整个坐标平面上成立,所以存在定义在整个坐标平面上的函数),(yxu,使得dyxyxyxydxxyyxydu)sin()sin1(22+=)cos3121()(cos)()3121()sinsin()1()()sin()sin1(32322222xyyxyxdxydyxdyxdxydyxxydxydyyxdxydyyxdxdyxyxyxydxxyyxy+=+=+=+所以Cxyyxyxyxu+=cos3121),(32(C为任意常数).?
用不定积分法求原函数亦可.高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-16-5(本题10分)设为圆锥面222yxz+=介于0=z与1=z之间的部分,求+=dSyxI)(22.解:
方程为22yxz+=,在xy平面上的投影区域为1),(22+=yxyxD,又22yxxxz+=,22yxyyz+=,所以+=DdxdyyzxzyxI22221)(+=Ddxdyyx)(222drrd=1032024122=22=.6(本题15分)计算积分dxdyyxydzdxdydzyxS)()(222+,其中S为旋转抛物面22yxz+=在1z的部分并取曲面下侧解:
曲面2212:
:
(1)SxzySxzyz=在yz坐标平面上有相同的投影yzD,故有1222222()()()()()0yzyzSSSDDxydydzxydydzxydydzzyydydzzyydydz+=+=+=曲面2234:
:
(1)SyzxSyzxz=在zx坐标平面上有相同的投影:
2:
1,1,1zxDxzx,有342222311122211()242
(1)32zxzxzxSSSDDDxydzdxydzdxydzdxzxdzdxzxdzdxzxdzdxdxzxdzxdx=+=S在xy坐标平面上的投影为1:
22+yxDxy,得2)()(103202222=+=+drrddxdyyxdxdyyxxyDS,综上可得=+=+)2(20)()(222dxdyyxydzdxdydzyxS高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-17-7(本题10分)计算=xzdydzI,其中是上半球面222yxRz=的上侧.解:
补2221:
0,(,):
xyzxyDxyR=+,取下侧,是由222zRxy=与0=z所围成的闭区域.则有11(00)0Ixzdydzxzdydzxzdydzzdv+=+?
2342000sincos4RddrdrR=或:
22222200()RRxyzRIzdvzdzdxdyzRzdz+=44R=(“先二后一”方法)8(本题15分)利用斯托克斯公式计算曲线积分dddWyxzyxz=+?
,其中是平面1xyz+=被三个坐标面所截三角形的整个边界,若从z轴的正向看去取顺时针方向.解:
取为三角形1xyz+=的上侧,的单位法向量)1,1,1(31=n,即31coscoscos=,由斯托克斯公式,有11133331(3)d33dd23xyDWdSSxyxyzyzx=其中Dxy为在xOy平面上的投影区域9(本题10分)计算2yDedxdy,其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)OAB为顶点的三角形闭区域.解:
令0P=,2yQxe=,则2yQPexy=,有格林公式,有22yyDOAABBOedxdyxedy+=2210yxOAxedyxedx=11
(1)2e=高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-18-第第12章单元测试题章单元测试题1判别下列级数的敛散性(每小题5分,共20分)
(1)=1222)!
(nnn;
(2)=11nnnn;(3)=12cosnnnan()0a;(4)=+2ln1sinnnn.2判别下列级数是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
(每小题5分,共10分)
(1)()=+11ln1nnnn;
(2)=2sincosnnn.3求下列幂级数的收敛域或收敛区间(每小题5分,共10分)
(1)13
(2)
(1)nnnnxn=+;
(2)()()=112!
122nnnx.4(本题15分)求幂级数2012!
nnnnxn=+的收敛域,并求其和函数.5(本题15分)将341)(2+=xxxf展开成)1(x的幂级数.6(本题10分)将)(sin)(=xxxf展成傅里叶级数7(本题10分)将函数2()1(0)fxxx=展开成余弦级数,并求121
(1)nnn+=的和.8(本题10分)设0,0nnba,且11(1,2,.)nnnnabnab+=.证明:
当级数=1nnb收敛时,级数=1nna也收敛.第第12章单元测试题参考答案章单元测试题参考答案1判别下列级数的敛散性(每小题5分,共30分)
(1)=1222)!
(nnn;高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-19-解:
一般项222)!
(nnun=出现了连乘积形式,选用比值审敛法因为=+=+=+22222221)1()1(lim2/)!
()1(2/)!
1(limlimnnnnnnnuunnnnn,所以原级数发散.
(2)=11nnnn解:
注意到11lim=nnn,令1nnunn=,用极限审敛法因为lim1nnnu=,故原级数发散.(3)=12cosnnnan()0a.解:
将一般项放大,考察以放大后的项作为一般项的级数的敛散性,显然nnnnan22cos,对级数=12nnn,令nnnu2=,则12121lim221limlim11+=+nnuunn,0ln1sinlimlim=nunnn,由莱布尼茨判别法,原级数收敛2判别下列级数是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
(每小题5分,共10分)高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-20-
(1)()=+11ln1nnnn;解:
对级数=+11lnnnn,令11lnln
(1)nnunn+=+,用极限审敛法,因为lim1nnnu=,故级数=+11lnnnn发散.对级数()=+11ln1nnnn,因为()()021ln12ln1ln21+=+=+nnnnnnnuunn,所以nu是单调递减数列,又01lnlimlim=+=nnunnn,由莱布尼茨判别法,原级数收敛,即原级数条件收敛.
(2)=2sincosnnn.解:
注意到()nn1cos=,原级数化为()=2sin1nnn,故原级数为交错级数.对正项级数=2sinnn,因为1sinlim=nnn,而级数=2nn发散,由比较审敛法的极限形式,绝对值级数=2sinnn发散.对级数()=2sin1nnn,设nunsin=,因为01sinsin1+=+nnuunn,0sinlimlim=nunnn由莱布尼茨判别法,原级数收敛,即原级数条件收敛.3求下列幂级数的收敛域(每小题5分,共10分)
(1)13
(2)
(1)nnnnxn=+;解:
记3
(2)nnnan+=,111|3
(2)limlim3|13
(2)nnnnnnnnanan+=+,故收敛半径为113R=.高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-21-当113x+=时,3
(2)3
(2)1
(1)12
(1)()()33nnnnnnnnxnnnn+=+收敛;当113x+=时,3
(2)3
(2)1112
(1)()()33nnnnnnnxnnnn+=+发散,故级数的收敛域为:
11133x+,即4233x.
(2)()()=112!
122nnnx.解:
记21
(2)(),(21)!
nnxaxn=21121()
(2)(21)!
limlim0,()(21)!
(2)nnnnnnaxxnxRaxnx+=+,故级数的收敛半径为,R=+收敛域为(,)+.4(本题15分)求幂级数2012!
nnnnxn=+的收敛域,并求其和函数.解:
21212
(1)!
lim2!
(1)1nnnnnnn+=+,故收敛域为(,).令201()()2!
nnnnSxxxRn=+=,则201()()()!
2nnnxSxxRn=+=,201()(,)!
2nnnxStttRtn=+=,则210010()!
(1)!
nnnnnnnnntntSttttnnnn=+=+,令111111()()()()
(1)
(1)!
(1)!
(1)!
(1)!
nnnnttnnnnnttthtttteetnnnn=+20()()
(1)
(1)!
ntttntStthtteteettn=+=+=+22()
(1)()42xxxSxexR=+.高等数学下册单元测试题完全版高等数学(赵)-22-5将341)(2+=xxxf展开成)1(x的幂级数.解:
由于+=+=4118121141)3(21)1(21)(xxxxxf,又()=+00121)1(212111nnnnnnxxx(31x),()=+00141)1(414111nnnnnnxxx(53x),那么()=01)41812121()1()(nnnnnxxf
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