解析二次函数的零点分布问题.pdf
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解析二次函数的零点分布问题.pdf
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34数学通讯2O1O年第5,6期(上半月)辅教导学解析二次函数的零点分布问题徐加生(江苏省金湖县艺术中学,2116oo)已知二次函数的零点分布,求参数范围问题是函数与方程的重要应用问题,也是高考中的热点题型一般情况下,可通过画函数图象、判断特殊点的函数值的情况,布列不等式(组)来解决问题,请看题例分析1二次函数的零点分布在两个区间内例1已知函数厂(z)一z+2(m+3)+2m一14有两个零点且一个大于1,一个小于1,则m的取值范围是解析因为二次函数厂(z)的图象开口向上,有两个零点,且分布在1的两侧,如图1,则只需有厂
(1)0,即1+2(m+3)+2m一140,得m百7点评:
若有厂
(1)0,则可以得到函数方程厂()一0必有根,即可得到二次方程根的判别式一定大于零,故此类情况不需要附加判别式和对称轴来判定了Jl、o、iJI1I3,D图1例l图图2例2图例2已知函数厂()一+2(卅+3)x+2m一14有两个零点且都在区间(1,3)之外,则的取值范围是解析由于二次函数_厂(z)的图象开口向上,有两个零点且分布在区间(一,1和3,+。
)内,如图2,则应有厂
(1)0且厂(3)0,即4m一70且8m+130解联立的不等式组J4一O得:
优I8+130,一萼。
点评:
由于方程,(z)一0的两根分布在区间(1,3)之外,即区间(1,3)必须是方程的根,2(lO)有两个零点,其中一个零点在(1,2)内,则ab的取值范围是解析由a0知二次函数的图象开口向上,设Z7C。
+bx一10的两根为1,z,则zl2一一0,即函数的零点一个为正数,一个为负数因其中一个零点在(1,2)内,故必有f(D0,即有a+610r“0由不等式组n+b1o图3:
一。
图3例3图设abt,则bat,当直线bat过点(0,1)时,一t取最大值,即
(一)=1一t一1,即ab的取值范围是(一1,+。
)点评:
利用平面区域解决函数方程的两个参数的范围问题,体现数学问题的综合性、灵活性,此题内含了对线性规划问题的考查2二次函数的零点分布在一个区间内辅教导学数学通讯2O1O年第5,6期(上半月)35例4已知函数_厂(z)一+(m一2)+5一m有两个零点,且都不大于2,则的取值范围是解析由于函数-厂()一SC。
+(m一2)X+5一m有两个零点,且都在区间(一oo,2内,函数图象的开口向上,如图4,则应满足:
f
(2)=:
4+2(一2)+5一m0且A一(r,z一2)。
一4(5一)0,对称轴z一一m-20且m一2一4r+50,解联立的不等式组一160,得4I一24,Jl,2图4例4图点评:
由于函数_厂(z)的两个零点分布在一个区间内,要使函数图象与32轴有两个交点,则函数在区间(一。
,2上的最小值必须为负值,即必须有0,且对称轴在区间内,再加上端点的函数值为非负,就能框定符合条件的函数图象了例5若方程(1gax)(1gax)一4的所有解都大于1,求n的取值范围解析先将方程化简得(Iga+lgx)(1ga+21gx)一4,即21g。
z+31galgx+lg。
a一40,设lgxt,则有2。
+(31ga)t+lg。
a一40由于原方程有大于1的解,即z1,tlgx0,即方程有两个大于零的解令厂()一2t+(31ga)+lga一4,则厂()有两个大于0的零点0同例4的解法可知,应有:
厂(o)0且一-lga0,且A:
=91ga一8(1g。
a一4)0,即lg。
一40且lga0,lg0,得lgn一2,所以0口0且01()13图6例6图显然_厂(O)一40,所以rf(3)一一3m+100,l一(+1)一160,l0,解不等式组得:
3,即为所求点评:
从问题的表面上看,不是本文所列举的问题,但通过化归处理就转化为函数的零点问题了,这说明了函数零点问题在解决其他问题中的关键作用,应引起足够的重视(收稿日期:
20100304)
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