自动控制原理课后习题答案.pdf
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1自动控制原理课后习题答案第一章(略)第二章2.1试分别写出图2.68中各无源电路的输入ur(t)与输出uc(t)之间的微分方程。
图2.68习题2.1图解:
(a)11rcuuiR,2()rcCuui,122cuiiR,12122121212ccrrRRRRRCuuCuuRRRRRR(b)11()rcCuui,121ruuiR,1221iiCu,121cuiRu,121211122112121121()()cccrrrRRCCuRCRCRCuuRRCCuRCRCuu(c)11rcuuiR,112()rCuui,1122uiiR,1121cuidtuC,121212222112122221()()cccrrrRRCCuRCRCRCuuRRCCuRCRCuu2.2试证明图2.69(a)所示电路与图2.69(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。
图2.69(b)中Xr(t)为输入,Xc(t)为输出,均是位移量。
(a)(b)图2.69习题2.2图解:
2(a)11rcuuiR,12()rcCuui,12iii,221cuidtiRC,121211122212121122()()cccrrrRRCCuRCRCRCuuRRCCuRCRCuu(b)2121()cBxxKx,1121()()()rcrccBxxKxxBxx,121221212121211212()()cccrrrBBBBBBBBBxxxxxxKKKKKKKKK2.3试分别求出图2.70中各有源电路的输入ur(t)与输出uc(t)之间的微分方程。
(a)(b)(c)图2.70习题2.3图解:
(a)12crruuCuRR,221crrRuRCuuR(b)12crcuuCuRR,221ccrRRCuuuR(c)2111rrcuuuRdtRCR,12crrRCuRCuu2.4某弹簧的力-位移特性曲线如图2.71所示。
在仅存有小扰动的情况下,当工作点分别为x0=-1.2、0、2.5时,试计算弹簧在工作点附近的弹性系数。
3图2.71习题2.4图解:
设力f与位移x的关系为f=g(x)。
取增量方程:
0()xdgxfxdx,x0=-1.2、0、2.50()xdgxdx为工作点处的弹性系数,分别从曲线中量出为30201660,20,80.5122.5设某系统的传递函数为G(s),在初始条件为零时,施加输入测试信号r(t)=t(t0),测得其输出响应为c(t)=1+sint+2e-2t(t0),试确定该系统的G(s)。
解:
21)(ssR,22111)(2ssssC,222533)(23234ssssssssG2.6系统的微分方程组如下:
)(d)(d)(,)(d)(d)()()()(,)()()(d)(d)(,)()()(54435553422311121tcttcTtxKtxKttxtcKtxtxtxtxKtxtxKttxtxtctrtx其中,K1,K2,K3,K4,K5,T均为正常数。
试建立系统r(t)对c(t)的结构图。
解:
42.7系统的微分方程组如下:
ttcttctxKtnNNKtxtxxttxTtxtxtxtxKtxtntctrtxd)(dd)(d)(,)()()(d)(d,)()()()()(,)()()()(225022453452311211其中K0,K1,K2,T均为正常数。
试建立系统结构图。
解:
2.8图2.72是一个模拟调节器的电路图。
试写出输入与输出之间的微分方程,并建立该调节器的结构图。
图2.72习题2.8图解:
(a)11rcuuiR,)(11211dtduCRui,312Rui,dtiCu2221,542RuRuc,rcccuuuRRCRRRuRCCRRR52243152143152.9图2.73是一个转速控制系统,输入量是电压ua,输出量是负载的转速,试写出其输入输出间的微分方程,并画出系统的结构图。
图2.73习题2.9图解:
(a)eaaaaaKdtdiLRiu,aidiKM,BdtdJMd,aeeiaaaeieiauKKKBRBLJRKKKKJL1)1()(12.10某机械系统如图2.74所示。
质量为m、半径为R的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心),假定圆筒在倾角为的斜面上滚动(无滑动),试求出其运动方程和结构图。
图2.74习题2.10图62.11试化简图2.75中各系统结构图,并求传递函数C(s)/R(s)。
(a)(b)(c)图2.75习题2.11图解:
(a)1222132211)(HGHGGGGGGsG(b)211121211)1()(HHHGHHGGsG7(c)14321443232133243211)(HGGGGHGGHGGGHGGGGGGsG2.12已知系统结构如图2.76所示,试将其转换成信号流图,并求出C(s)/R(s)。
(a)(b)图2.76习题2.12图解:
(a)21212211211)(HHGGHGHGGGsG(b)2211211)(HGHGGGsG2.13系统的信号流图如图2.77所示,试用梅逊公式求C(s)/R(s)。
(a)(b)图2.77习题2.13图解:
(a)KsssKsG5.05.35.0)(23(b)2142124513211212465143211)1()(HHGGGHGGGGGGHGGHGGGGGGGGsG2.14试梅逊公式求图2.78所示结构图的传递函数C(s)/R(s)。
8(a)(b)图2.78习题2.14图解:
(a)3212521211241)(GGGHGGHGGHGGsG(b)21212121312)(GGGGGGGGsG2.15已知系统结构图如图2.79所示,试写出系统在输入R(s)及扰动N(s)同时作用下输出C(s)的表达式。
图2.79习题2.15图解:
HGGGGGHGGGsNHGGGGGGGHGsRHGGGGGsC3213122124314212231211)()1
(1)()1()(2.16系统的结构如图2.80所示。
(1)求传递函数C1(s)/R1(s),C2(s)/R1(s),C1(s)/R2(s),C2(s)/R2(s);
(2)求传递函数阵G(s),其中,C(s)=G(s)R(s),C(s)=)()(21sCsC,R(s)=)()(21sRsR。
9图2.80习题2.16图解:
(1))
(1)1()()(1187513252532111sGGGGHGHGHGGGGsRsC)
(1)()(218751325765112sGGGGHGHGGGGGsRsC)
(1)()(128751325954321sGGGGHGHGGGGGsRsC)(11)()(2287513251365422sGGGGHGHGHGGGGsRsC)
(2))()()()()(22211211sGsGsGsGsG2.17已知系统结构图如图2.81所示。
(1)试求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s);
(2)若要消除干扰对输出的影响,即C(s)/N(s)=0,试问应如何选取G0(s)。
图2.81习题2.17图10解:
(1))1()()(321321TssKKKKKKsRsC)1()()()(321430321TssKKKsKKsGKKKsNsC
(2)2140)(KKsKsG3.1.已知系统的单位阶跃响应为)0(2.1.0)(16teetctt0021试求:
(1)系统的闭环传递函数(s)=?
(2)阻尼比=?
无自然振荡频率n=?
解:
(1)由c(t)得系统的单位脉冲响应为tteetg10601212)(600706006011210112)()(2sssstgLs
(2)与标准2222)(nnnss对比得:
5.24600n,429.16002703.2.设图3.36(a)所示系统的单位阶跃响应如图3.36(b)所示。
试确定系统参数,1K2K和a。
(a)(b)11图3.36习题3.2图解:
系统的传递函数为22212212112)
(1)()(nnnsKKassKKKassKassKsW又由图可知:
超调量43133pM峰值时间0.1pts代入得221121.01312KKeKnn解得:
213ln;33.0,3.331102n,89.110821nK,98.213.3333.022na,32KK。
3.3.给定典型二阶系统的设计性能指标:
超调量p5%,调节时间st3s,峰值时间1pts,试确定系统极点配置的区域,以获得预期的响应特性。
解:
设该二阶系统的开环传递函数为22nnGsss12则满足上述设计性能指标:
113305.0212npnsptte得:
69.0,1n21n由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示:
3.4.设一系统如图3.37所示。
(a)求闭环传递函数C(s)/R(s),并在S平面上画出零极点分布图;(b)当r(t)为单位阶跃函数时,求c(t)并做出c(t)与t的关系曲线。
图3.37习题3.4图解:
(a)系统框图化简之后有)235)(235(225.25.02)()(2jsjssssssRsC13jsz235,22,11零极点分布图如下:
(b)若rt为单位阶跃函数,1Lrts,则22222222)235(235352)235(35813584351)435(3583584351)435
(2)235)(235(21)(sssssssssssjsjssssCtttc235sin352235cos358358)(大致曲线图略。
3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为222)()(nnnsssRsC2分别在下述参数下确定闭环极点的位置,求系统的单位阶跃响应和调整时间。
(1)=2,n=1s5;
(2)1.2,n=1s5;(3)说明当1.5时,可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。
解:
(1)1,闭环极点3510122,1nns14252025)()()(2sssRsCsWssssRsWsC1252025)()()
(2)32(51)1(121nT)32(512T3463461111)()32(5)32(5211221ttTtTteeTTeTTetc66.18,34.121ss59.13|/|12sstteetc34.1)32(507735.113461)(sts29.2
(2)1.2)1,闭环极点44.056122,1nns252025)()()(2sssRsCsW)44.02.1(511T,)44.02.1(512T144.02.144.02.1144.02.144.02.11111)()44.02.1(5)44.02.1(5211221ttTtTteeTTeTTetc68.244.0561s,32.92sstns2.1)7.12.145.6(51)7.145.6(1(3)答:
1.5时,25.155.7122,1nns。
91.11s,09.132s,15585.6|/|12ss,两个闭环极点的绝对值相差5倍以上,离原点较远的极点对应的暂态分量初值小、衰减快(是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上),因此可以忽略掉。
3.6.设控制系统闭环传递函数为2222)(nnnsssG,试在S平面上绘出满足下列各要求的系统特征方程式根可能位于的区域:
(1)10.707,n2
(2)0.50,4n2(3)0.7070.5,n23.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压,保持励磁电流不变,图3.38习题3.7图1200r/min的稳态转速,而达到该值50%的时间为1.2s,试求电机传递函数。
提示:
注意)()(sVs=asK,其中dtdt)(,单位是rad/s解:
由式)()(sVs=asK可得)11(10)11(11010)()(assaKsasaKsasKsVasKs)1()1(10)(0TtateeaKt02.105.0)1()2.1(ae5.0)1(2.1ae测出电机的稳态转速;另外要记录电动机从静止到速度升为稳态值的50%或63.2%所需的时间,利用转速时间曲线(见图3.38)和所测数据,并假设传递函数为)()()()(assKsVssG可求得K和a的值。
若实测结果是:
加10V电压可得1658.02.12lnasrraK/20min120010016.1102058.0100ak电机传递函数为:
)58.0(16.1)()()()(ssassKsVssG3.8.系统的特征方程式如下,要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性,并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。
(1)022333ssss24
(2)0200.30.023sss2(3)0442234510112sssss(4)025262.61.250.1234ssss答案:
(1)劳斯表如下:
2742372323101234sssss劳斯表第一列元素的符号变化两次,系统有两个正实部根,系统不稳定
(2)劳斯表如下:
2031203.0102.00123ssss劳斯表第一列元素的符号变化两次,系统有两个正实部根,系统不稳定(3)劳斯表如下:
171052338105223620104421121012345ssssss劳斯表第一列元素的符号变化两次,系统有两个正实部根,系统不稳定(4)劳斯表如下:
012342552.02625.1256.21.0sssss劳斯表第一列元素符号没有变化,所以系统有两个正根,系统稳定3.9.有一控制系统如图3.39所示,其中控制对象的传递函数是)1)
(1)(ssssG0.21(0.1采用比例控制器,比例增益为Kp,试利用劳斯判据确定Kp值的范围。
图3.39习题3.9图解:
)12.0)(11.0()(sssKsGp特征方程为:
03.0002.0)(23pKssssD劳斯表如下:
pppKsKsKss01233.0002.03.03.01002.018要使系统稳定只需003.0002.03.0ppKK,解得1500pK。
3.10.某控制系统的开环传递函数为)1)(1()1()()(sTsssKsHsG2试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。
解:
由系统开环传函可知0)1()2
(2)1()12)(1()(23KsKsTTssKsTsssD劳斯表如下:
KsTTKKsKTsKTs012322)1(2212由劳斯准则可知,欲使系统稳定,则第一列元素符号不能改变。
若第一列元素均大于0,即002)1(2020KTKKTT解得0K,TKK)1()1(2当K1时1)1(20KKT,当10K时,0T。
3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为
(1)(1()1()(*5ssssKsG
(2)(1()(*5sssKsG试确定使闭环系统稳定的开环增益的取值范围(注意KK*19解:
(1)0)1(8.02.0)(23KsKsssD劳斯表如下:
KsKsKsKs012304438.012.0解得:
使闭环系统稳定的开环增益的取值范围34K。
(2)08.02.0)(23KssssD由于特征方程出现小于零的系数,可知无论开环增益取何值闭环系统都不稳定。
3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为)/1)(/1()(63sssKsG若要求闭环特征方程的根的实部均小于-,问值应取在什么范围?
如果要求实部均小于2,情况又如何?
解:
由反馈系统的开环传函)6)(3(18)61)(31()(sssKsssKsG018189)(23KssssD
(1)令1zs,得:
010183618)1(18)1(9)1()(2323KzzzKzzzzD劳斯表如下:
10186182810186310123KzKzKzz欲使系统稳定,则第一列元素符号不能改变,大于零:
0101801828KK得91495K20
(2)令2zs,得:
08186318)2(18)2(9)2()(2323KzzzKzzzzD如果要求实部均小于2,由特征方程可见,062a,系统稳定的必要条件不成立,无论K取何值,系统都不稳定。
3.13.单位反馈系统的开环传递函数为)(4)(222ssssG
(1)求系统的单位阶跃响应;
(2)输入信号为r(t)=1(t),求系统的误差函数e(t);解:
(1)开环传递函数)22(4)(2ssssG闭环传递函数)2)(2(44)22(4)(22ssssssW单位阶跃响应221)2)(2(4)(232102sKsKsKsKssssC10K,311K3232KK22322322131121322311)(222ssssssssssCttetct2sin322cos32311)(2
(2)不考虑扰动作用)
(1)(ttr)15.0
(2)(2ssssG2101111)(lim0pssrspKesGK3.14.某控制系统的结构图如图3.40所示。
(1)当a=0时,试确定系统的阻尼比,无阻尼自然振荡频率nn和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
图3.40习题3.14图解:
(1)当a=0时,)2(8)(sssG,828)(2sssW,8n,8122n4)(lim0ssGKsv,单位斜坡信号作用时系统的稳态误差25.01vssrKe。
(2)当=0.707时,)82(8)(asssG,8)82(8)(2sassW,8n,an82482222,得25.0a,)4(8)(sssG,2)(lim0ssGKsv,单位斜坡信号作用时系统的稳态误差5.01vssrKe。
(3)此时)2()(KassKsG,KsKasKsW)2()(242)(lim0KaKssGKsvKaKn22222联立上两式解得32K,163a。
(2)当系统具有最佳阻尼比(=0.707)时,确定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
(3)若要保证系统具有最佳阻尼比(=0.707),且稳态误差等于0.25时,确定系统中的a值及前向通道的放大系数应为多少?
223.15已知单位反馈系统闭环传递函数为102.65.11.25234ssssbsbsRsC01)()
(1)求单位斜坡输入时,使稳态误差为零,参数b0,b1应满足的条件;
(2)在
(1)求得的参数b0,b1下,求单位抛物线输入时,系统的稳态误差。
解:
(1)等效单位负反馈开环传递函数012340110)6.2(1.525.1)(bsbsssbsbsG根据单位斜坡输入时,稳态误差为0得:
6.21010bb即开环传递函数为)1.525.1(106.2)(22sssssG
(2)单位抛物线输入时1.510)1.525.1()106.2(lim)(lim222020ssssssGsKass101.5assrKCe图3.41习题3.16图解:
(1)参考作用下的误差传递函数为)()12(411)()(11)(,0)(sRsssRsGsEsNr稳态误差为25.01422lim)(lim22200ssssssssEesrsssr或3.16.系统结构图如图3.41所示。
(1)当r(t)=t,n(t)=t时,试求系统总稳态误差
(2)当r(t)=1(t),n(t)=0时,试求ppt,。
2325.014)12(4lim)(lim00vssrssvKesssssGK扰动作用下的误差传递函数为)()12(411)()(11)(,0)(sNsssNsGsEsRn稳态误差为25.01)422(lim)(lim22200ssssssssEesnsssn系统总误差为0ssnssrsseee
(2)当r(t)=1(t),n(t)=0时,)12(4)(sssG,22222225.02424)
(1)()(nnnssssssSGsGsW解得:
2412n311%1002eep3143211212ntp3.17.设单位反馈控制系统的开环传递函数为)()(10.1100sssG24试求当输入信号r(t)=221tt时,系统的稳态误差。
解:
系统为I型系统100)11.0(100lim)(lim00sssssGKssv,0,apKK02.001avpssKCKBKAe3.18.在许多化学过程中,反应槽内的温度要保持恒定,图3.42(a)、(b)分别为开环和闭环温度控制系统结构图,两种系统正常的K值为1。
(a)(b)图3.42习题3.18图
(1)若)
(1)(ttr,0)(tn两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2各需多长时间?
(2)当有阶跃扰动1.0)(tn时,求扰动对两种系统的温度的影响。
解:
(1)开环:
1101CsRss达到稳态温度值的62.3%需时10T闭环:
10.11CsRss达到稳态温度值的62.3%需时0.1T
(2)开环:
1101CsNss闭环:
110100CsNss各项指标不变。
又解:
can(t)=0.1,加干扰后对系统始终有影响;25cbn(t)=0.1e-10t,加干扰后,当t趋于无穷时,对系统没有影响。
结论:
反馈结构可以消除干扰的影响。
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数1)(sKsG试用解析法绘出K从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图,并判断下列点是否在根轨迹上:
(2,j0),(0+j1),(3+j2)。
解:
根轨迹如习题4-1答案图所示。
(-2,+j0)在根轨迹上;(0,+j1),(-3,+j2)不在根轨迹上。
习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
)12()13()(sssKsG试用解析法给出开环增益K从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解:
解析法:
K=0时:
s=-1/2,0;K=1:
s=-12/2;K=-:
s=-,-1/3。
根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图264-3已知系统的开环传递函数)1()1()()(sssKsHsG,试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图,并确定使系统处于稳定时的K值范围。
解:
分离点:
0.414;会合点:
-2.414;与虚轴交点:
j。
稳定的K值范围:
K1。
根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为2*)4)
(1)(1()(sssKsG
(1)试粗略画出K*由0到的根轨迹图;
(2)分析该系统的稳定性。
解:
稳定性分析:
系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
-10-505-8-6-4-202468RootLocusRealAxisImaginaryAxis27习题4-4答案图4-5设控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2*sssssKsHsG,试绘制系统根轨迹图,并确定使系统稳定的开环增益范围。
解:
渐近线:
=60,180;=-2/3;复数极点出射角55;分离会合点0.46和-2.22;与虚轴交点1.57和2.56;使系统稳定的开环增益为1.46K2.23(即23.4K*35.7)。
习题4-5答案图4-6已知系统的特征方程为0)4()3)
(1)(3)(1(2sKssss试概略绘出K由0时的根轨迹(计算出必要的特征参数)。
解:
渐近线:
=90,=0;分离点2,相应K=1.88;会合点j3.46,相应K=34.14;复数零点入射角90;无论K为何值系统均不稳定。
28习题4-6答案图4-7反馈系统的特征方程为0)160(123234KsKsss作出
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