中科大数学分析试题.pdf
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中科大数学分析试题.pdf
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中国科学技术大学2018年硕士学位研究生入学考试试题数学分析?
所有试题答案写在答题纸上,答案写在试卷上无效需使用计算器不使用计算器1.
(1)求极限limx?
x?
arctanx+2;
(2)已知ak为正数数列,且?
k=1sin(akx)k2?
tanx?
.x(1,1)证明:
ak=o(k2),k+.2.设(x)为周期为1的黎曼函数.
(1)求(x)的连续点和间断点的类型;
(2)计算积分10(x)dx.3.已知为R3中的有界域,n为单位向量,求证:
存在以n为法向量的平面平分的体积.4.已知f(x)为周期等于2的奇函数,当x(0,)时,f(x)=1.试利用f的Fourier级数计算n=11(2n1)25.设(x)为有势场F(x,y,z)=(x2y,y2x,z2)下的势函数,求三重积分(x,y,z)dxdydz,其中为x2+y2+z216.已知fC20,1,f(0)=f
(1)=0,且f(x)在x0处取得最小值1,
(1)求f(x)在x=x0处的Lagrange余项的Taylor展开式;
(2)证明:
存在(0,1)使得f()=87.已知Dt=(x,y)R2?
(xt)2+(yt)21,yt,f(t)=Dtx2+y2dxdy,计算f(0)8.已知u(x)C0,1,u(x)C2(0,1),u(x)0,令v(x)=u(x)+x2,0.
(1)证明:
v(x)为(0,1)上的严格凸函数;
(2)证明:
u(x)的最大值于端点处取得.9.已知Br=(x,y)R2?
x2+y2r2,B=B1,u(x,y)C(B)C2(B),u=2ux2+u2y2
(1)当u0.(x,y)B,证明:
u(x,y)在B上的最大值于边界B上达到;考试科目:
数学分析第1页共?
页
(2)当u=0,(x,y)B,证明:
ddr(12rBru(x,y)dS)=0,r(0,1)(3)证明:
u(0)=12rBru(x,y)dS.10.已知u(x,t)具有二阶连读偏导,且满足utt(x,t)=uxx(x,t),记F(t)=2tt(u2t(x,t)+u2x(x,t)dx,证明:
dF(t)dt0.考试科目:
数学分析第2页共?
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