第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案.pdf
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1第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案一、看似简单的小试验(30分)
(1)小球1P不可能直接击中A点,证明见详细解答。
(2)小球2P与圆盘开始分离时的角度arcsin(31)47=。
(3)碰撞结束后瞬时小球3P与半圆盘的动能之比为5:
4。
二、组合变形的圆柱体(20分)
(1)3132TsMD=。
(2)在柱B端同时施加3=s的轴向拉伸应力不产生屈服。
(3)圆柱体的体积改变量()21412/VDLE=。
三、顶部增强的悬臂梁(30分)
(1)组合截面中性轴的位置:
10.592Cyh=;(形心为0Cz=,10.592Cyh=)。
(2)使梁B端下表面刚好接触C台面所需的竖向力为33110.4/PFEbhL=。
(3)不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为top22Q110.28/FEbhL=。
(4)梁的剪应力为()223312/CEyyL=,沿梁截面高度的分布图见详细解答。
四、令人惊讶的魔术师(20分)
(1)力学原理:
沿不同方向推动木条时,需要的推力大小不同,木条运动的方式也不同:
沿AB推,推力1F最大,木条平动;垂直AB在不同位置推动木条,木条绕不同的点转动,且推力2F的大小、转动位置均与推力位置有关。
(2)根据滚动小球的号码信息,推力位置位于,1numnum+号小球之间,且22maxmax242nQnumnQ=取整。
(注意,1,1QNorNorN=+均算正确)。
(3)设21/FF=,0,0.414)不可能出现。
当0.414,0.828)时,观众如果故意把2F错报为122F,一定会被魔术师发现。
若0.828,1时,观众故意报错不会被发现。
五、对称破缺的太极图(20分)
(1)xzxzIIII=成立,见详细解答。
(2)在,0xrz=处粘上质量为14m的配重,图形就可以在空中绕Z轴稳定地转动。
2详细解答及评分标准总体原则:
(1)计算题的某一小问,只要最后结果正确且有适当的步骤,就给全分。
(2)如结果不正确,则参考具体的评分标准。
(3)如结果不正确且方法与参考答案不一样,各地自行统一酌情给分。
(4)证明题需要看过程。
一、看似简单的小试验(30分)【解】:
(1)小球出手后开始作抛物线运动,可以证明,在题目所给条件下,小球击中A点之前,一定会和圆盘边缘上其它点碰撞,即小球不可能直接击中A点。
证明:
如果想求出抛物线与圆的交点表达式,会很复杂。
下面采用很简单的方法。
圆盘的边界轨迹为222xyr+=,在A点右边的xrx=+处(设x为一阶小量),圆盘的高度为2221()rxyr+=,2212yrxx=,略去高阶小量,即0.51yx;小球的抛物线轨迹方程一定可以写为2()yaxbc=+的形式(a、b、c与初始条件有关且均为正值)。
在xrx=+处,抛物线的高为22()yarxbc=+。
假设抛物线过A点,则有20()arbc=+。
因此有222()yarbxax=+,略去高阶小量,即2yx。
即在A点之前(xrx=+处),抛物线的高度是1阶小量,而圆盘的高是0.5阶小量,所以圆盘比抛物线高。
因此小球在击中A点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞,不可能直接击中A点。
(2)建立惯性坐标系与初始时刻的Oxy重合。
可以用不同的方法求解。
系统水平方向动量守恒(sin)0mxmxr+=?
(11)结论3分证明方法不限。
结论错误,0分;结论正确且能够证明,3分;结论正确但证明不完善,1分。
1分3系统机械能守恒22221122(2sin)sinmxmxxrrmgrmgr+=?
(12)拆开系统,对小球由水平方向质心运动定理cosmxN=?
(13)由(11)和(12)得到12sinxr=?
,224(1sin)(2sin)gr=?
(14)对(14)中的速度和角速度求导有21122sincosxrr=?
,2222cos(2sin2sin)(2sin)gr+=?
(15)把(15)代入(13)有()()3224sin6sin2sinmgN+=(16)下面求小球正好脱离圆盘的位置,即求34sin6sin0+=的解。
设sinx=,364yxx=+。
一般情况下三次方程的解不好求,但是本题比较好求。
把x3,2,1,0,1,2,3代入,可以看出x在(3,2)之间、(0,1)之间以及x=2处有三个解(见下图)。
根据三角函数的特点,(0,1)之间的解有意义。
注意到x=2是一个解,所以设3264
(2)
(2)xxxxx+=+,容易求出2=,问题变为求2220xx+=在(0,1)之间的解,为31x=,因此arcsin(31)47=时,小球与圆盘压力为零,正好分离。
(3)为了求出碰撞后的速度,可以用不同的方法。
以碰撞点处的法向n和切向为坐标轴构成xy。
得到速度或角速度,1分得到加速度或角加速度,2分得到压力与角度的正确表达式,3分得到角度的正确表达式,3分1分1分4碰撞前小球的绝对速度在xy坐标系中为T00(sin,cos)xyvvv=。
设碰撞后小球的绝对速度为T(,)nxyxyxyvvv+=。
碰撞时以小球为研究对象,由于圆盘光滑,小球切向速度不变有0cosxyvv+=(17)法向速度满足恢复系数关系,设圆盘以速度u后退运动,在xy坐标系中为()Tcos,sinxyuuu+=。
根据碰撞定义,有0cossinnxyvuev+=(18)同时根据系统水平动量守恒,有cossinnxyxyuvv+=(19)联立(17),(18),(19),解出202sin(cos)1cosnxyvev+=+,02
(1)sincos1cosveu+=+(110)小球的动能:
()()2211122nxyxyTmvmv+=+,半圆盘的动能:
2122Tmu=代入1e=和45=,所以碰撞后瞬时小球的动能与半圆盘的动能之比为12:
5:
4TT=(111)二、组合变形的圆柱体(20分)【解】:
(1)在扭矩作用下,圆柱外表面产生最大剪应力,其值为50%是剪切屈服应力。
由扭转内力和应力公式计算得到3216sTTPMMDW=332TsDM=(2-1)
(2)在圆柱外表面有最大应力,在剪切和轴向拉伸作用下,平面应力状态的主应力表达式为2分,可以带入角度。
如果坐标系选取不同,或符号不同,只要正确即可。
下面类似处理2分1分2分2分3分4分2分52222123114,0,42222=+=+应用第三强度理论(最大剪应力强度理论),有2213max1422=+(2-2)以剪应力2=s和拉伸应力代入(2-2)式,屈服将发生在当拉伸应力达到22max22=+ss(2-3)故,3=s(2-4)(3)根据圆柱扭转变形后截面保持平面的假定,扭转作用不引起体积改变。
仅考虑轴向拉伸作用下的体积改变量,利用功的互等定理,建立另一均匀压强p作用下的圆柱体(考虑小变形)。
圆柱轴向拉伸力为2/4FD=,与另一圆柱的伸长变形()Lp功共轭,由功的互等关系,()()=FLppVF(2-5)式中,()1=LpL。
均匀压强p作用下的圆柱体,三个主应力均为:
123=p轴向伸长应变为()()1123112=+=pEE(2-6)代入(2-5)式,有:
()()12=FpLpVFE,从而得到体积改变量:
()()()212124=FLDLVFEE(2-7)三、紧密结合的复合梁(30分)【解】注意:
计算结果保留小数点后2位即可以。
答案中保留了小数点后3位。
答案如包含中间过程的参数,只要正确,也同样给分。
(1)建立如下坐标系(如果坐标系不同,只要结论正确,不扣分)3分1分2分1分1分2分4分方法不限制,6先计算折算面积和截面几何性质,换算为同样模量1E材料的T形截面,求截面形心的位置,由于截面对称,故0Cz=,仅求Cy。
21221111220.71220.59221.2Chbhbhhhyhhbbh+=+(3-1)
(2)叠合梁粘接共同工作,先计算折算面积和截面几何性质,换算为同样模量1E材料的T形截面,()()()()()()()()3322121121232333111331120.5920.5210.5920.512120.0830.0080.1670.10.20.4580.0910.00.0420.133zbhbhIbhhbhhhbhbhbhbhbh=+=+=+=(3-2)由梁端位移计算:
313pzFLEI=,得到所需的竖向力为:
31113330.4zpEIEbhFLL=(3-3)(3)求此时不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力。
由沿梁长度方向的剪力为常数,有QpFF=,得到梁上表面的剪应力为()()13top121232111111333312230.20.4080.050.28zQczzEISFSELbhhyhbIbIbLEEhhhhLL=+=+=(3-4)乘以梁上表面的面积,即为剪力值:
4分4分1分4分5分1分72toptop11Q20.28EbhFbLL=(3-5)(4)计算剪应力的分布公式:
()()()()()()()22222211133122233(0.592)22QQCCzzQQCCCzzCFSFbyyyyybIbIFFbyyyyyybIIEEyyhyLL=+=+=(3-6)获得剪应力为二次曲线分布,讨论:
在梁的下表面,即Cyy=,有0=在梁的中性轴处有最大剪应力,即0y=,有()21max3110.5921.3220.133QQFhFbhbh=或211max30.53EhL=(3-7)在梁的上表面,即1Cyhy=,有()()()()2221112131122220.59210.6920.133QQCCCzzQQFFyhyhyhIIFhFbhbh=或21130.28EhL=(3-8)四、令人惊讶的魔术师(20分)【解】:
(1)魔术的力学原理:
沿不同方向推动木条时,需要的推力大小不同,木条运动的方式也不同:
沿AB推,推力1F最大,木条平动;垂直AB在不同位置推动木条,木条绕不同1分4分,最后三个等号中的任意一个均可以图2分,定性对即可。
两个结果都可以。
1分1分2分木条平动2分;木条转动时推力与位置有关,2分。
8的点转动,且推力2F的大小、转动位置均与推力位置有关。
(2)设木条质量为M,长度为L,与桌子摩擦因数为。
若沿AB推,木条平动,临界推力为1FMg=(41)(侧视图)建立坐标系Axy,设垂直推AB的力F2与A端距离为a(由对称性,设推力在左半部分),杆绕C点转动,AC距离为。
(俯视图)对均质杆,对桌面压力分布为()MgqxL=,垂直杆推时,由y方向力的平衡和对D点的力矩平衡关系,有20()d()d0LFqxxqxx+=(42)0()()d()()d0Lqxxaxqxxax+=(43)解出222()22Laaa+=+,或22
(2)2
(2)LaL=(44)以已知N个小球平均分配在长度为L的区间(不一定相互紧挨着),分为Q段(注)。
木条绕C点运动时,AC部分小球运动,CB部分小球不动。
如果min1n=,maxnN,maxnN=,则表示作用力在右边;如果min1n=,maxnN=,木条垂直推时受力图,2分1分3分,任意一个均可以1分1分,对A点取矩也可以。
注:
按不同的摆法,N个小球可能把木条平均分为Q段,QN、N1、N1,均可以。
9则表示作用力在中间。
设作用力在左边,则min1n=,杆转动后AC部分n个小球运动,有maxminmax
(1)nnnn=+=(45)则AC长度/nLQ=,把和n代入(44),得22maxmax242nQnumnQ=(,1,1QNorNorN=+)(46)由于小球运动的号码是整数,所以上式还需要取整数。
最后得到作用力的位置在,1numnum+号码的小球之间。
(3)沿AB方向的推力1FMg=;垂直AB推时,从(42)和(43)中还可以解出222
(2)
(2)MgLaLaLFL+=(47)把F1与F2的比值算出来,设2221
(2)
(2)LaLLaFFL+=,可以得到21,10.414,1=(48)即0,21)0,0.414)=是不可能出现的。
因此魔术师根据值的范围就可以肯定观众的数据有否有问题。
若21,222)0.414,0.828)=时,观众故意报错一半就会被发现。
若222,10.828,1=时,观众故意报错一半不会被发现,五、对称破缺的太极图(20分)【解】:
(1)由于惯性矩和惯性积的定义:
2zAIxdA=,2xAIzdA=,xzAIxzdA=(51)直接积分不方便,下面采用简便的方法处理。
为便于后面的分析,可以认为半太极图是这样得到的:
把半圆裁成I、II两部分,再把I旋转后当作III与II拼接。
4分2分,不必考虑区间的开闭。
2分2分10对半圆,因z轴为半圆的对称轴,故有()()0IIIxzxzxzIII=+=,()()IIIxxxIII=+,()()IIIzzzIII=(52)且易知xzII=(半圆)(53)其中()()(),(,)iiixzxzIIIiIII=类似(51)中的定义,只是积分的区域分别为IA和IIA。
从半圆到半太极图的变换,是将I中的点()(),Ixz变为III中的()(),IIIxz,由于变换前后xz,2x,2z的符号均保持不变。
于是有()()IIIIxxII=,()()IIIIzzII=,()()IIIIxzxzII=(54)因此有()()()()0IIIIIIIIxzxzxzxzxzIIIII=+=+(半太极图)(55)()()()()IIIIIIIIxxxxxIIIII=+=+()()()()IIIIIIIIzzzzzIIIII=+=+且有xzII=(半太极图)在太极图中,由坐标旋转变换下的转轴公式:
cos2sin222cos2sin222xzxzxxzxzxzzxzIIIIIIIIIIII+=+=+知:
xzxzIIII=
(2)图形能够绕z轴稳定旋转的前提:
z轴过质心,且为主轴。
第一种解法(简单的解法):
假设图形粘上钢珠后可以绕z轴转动,考虑惯性力的平衡,把对称部分去掉后,只留下钢珠和右边的小圆,且小圆的直径为r,质量为0.5m。
钢珠与小圆之间2分2分2分2分位置2分11的连接为不计质量的杆。
zS1S2Mm/2r/2(x,z)zS1S2Mm/2r/2(x,z)很明显,惯性力与z轴垂直,由惯性力矩平衡,钢珠必在x轴上,即0z=。
由惯性力平衡:
120SS+=211221()Smr=,22SMx=即14Mxmr=,考虑到在AO之间没有地方可以粘钢珠,只有在尖点处(xr=),粘上14Mm=的钢珠,可以绕z轴稳定地转动。
(注:
如果已经得到14Mxmr=,但是最后答案不同,如12xr=,12Mm=,因为这时没有办法用胶水把钢珠粘在这个空档位置,扣2分)第二种解法(重新计算分数):
在不加配重时,对均质半圆有4/(3)Crr=。
采用面积法求重心。
对I部分,质量为14Imm=,质心坐标为T1223(,0,/)CIrrr=;对III部分,质量为IIImm+=,质心坐标为T43(0,0,/)CIIIrr+=;对III部分,质量为14IIImm=,质心坐标为T1223(,0,/)CIrrr=;因此图形的质心为T14(,0,/)ICIIIICIIIIIICIIICmrmrmrrrrm+=(56)设配重质量为M,位置为T(,0,)xz,则图形加配重后新的质心为()T44()(),0,mrMymrMzCmMmMr+=(57)根据z轴过质心的要求,有40mrMx+=(58)类似前面惯性矩的计算方法,太极图形与配重的转动惯量分别为2分X方向位置2分质量3分图2分Z方向位置1122142112214000000OmrJmrmr=,2222200()00OMzMxzJMxzMxzMx=+图形加上配重后,22142221122221400()00OOOmrMzMxzJJJmrMxzMxzmrMx+=+=+z要求是主轴,则0xz=(59)现在同时考虑(58)、(59),以及116,(1,2,.,16)iMmmii=,可以得出40,rzxi=。
注意到在半太极图上的左边尖点(设为A点)到O点之间都没有地方可以加配重,因此只能在0,zxr=(尖点处)加配重,且配重的质量是144Mmm=时,可以绕z轴稳定地转动。
2分位置3分质量3分
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