初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析).pdf
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初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析).pdf
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第1页(共26页)二次根式竞赛培优题(含解析)二次根式竞赛培优题(含解析)一选择题(共一选择题(共5小题)小题)1计算:
=()A3994001B3994002C3994003D39940002计算:
=()ABCD3的结果是()ABCD4的值是()ABC1D5在这1000个二次根式中,与是同类二次根式的个数共有()A3B4C5D6二填空题(共二填空题(共24小题)小题)6.已知实数x1,x2,x3,x1999满足则x1+2x2+3x3+1999x1999的值为7化简=8化简9观察图形,用Si表示第i个三角形的面积,有;,第2页(共26页)若S1+S2+S3+Sn10,则n的最小值为10方程的解是x=11设M=+,N=12+34+56+19931994,则=12计算:
=(其中a0)13的值为14已知:
对于正整数n,有,若某个正整数k满足,则k=15若n为整数,且是自然数,则n=16如果,并且表示为时的值,即,第3页(共26页)表示当时的值,即,那么的值为17若u、v满足v=,则u2uv+v2=18已知a为实数,且与都是整数,则a的值是19使得+=1的一组正整数(a,b,c)为:
20计算20062的结果是21设=22若,则x6+y6的值是23当时,的值为24已知,则k=第4页(共26页)25当1x2时,经化简等于26计算=27已知x=,那么+1的值是28化简:
,得到29=三解答题(共三解答题(共1小题)小题)30计算:
(1);
(2);(3);(4)第5页(共26页)二次根式竞赛培优题(含解析)二次根式竞赛培优题(含解析)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题(共一选择题(共5小题)小题)1计算:
=()A3994001B3994002C3994003D3994000【分析】设1998=a,把被开方数变形后,利用多项式的乘法法则计算后,加上a2再减去a2,前三项结合提取a2,剩下的三项利用完全平方公式化简,接着三项合并后提取2a,整体再利用完全平方公式化简,从而得到被开方数为一个数的完全平方,利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果【解答】解:
设1998=a,则1997199819992000+1=(a1)a(a+1)(a+2)+1=a4+2a3+a2a2a22a+1=a2(a+1)22a(a+1)+1=a(a+1)12,所以=199819991=3994001故选:
A第6页(共26页)【点评】此题考查了二次根式的化简求值,考查了换元的思想,本题的技巧性比较强,要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点,同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征,以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用2计算:
=()ABCD【分析】根据每个加数的特点,推出一般规律为,将所得式子化简,分别取n=1,2,3,40,寻找抵消规律,得出结论【解答】解:
=()=()=()=()分别取n=1,2,3,40得原式=
(1)+()+()+()=
(1)=故选:
B【点评】本题考查了二次根式的化简求值,观察式子的特点,得出一般规律,将一般规律化简代值,再观察抵消规律是解题的关键第7页(共26页)3的结果是()ABCD【分析】把每个加数分母有理化,然后通分计算即可【解答】解:
=()=故选:
D【点评】主要考查二次根式的分母有理化主要利用了平方差公式,所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子4的值是()ABC1D【分析】认真观察式子的特点,总结规律,可发现,据此作答【解答】解:
由题意可知第k项是原式=(+=1=1=故选:
B【点评】此题考查二次根式的化简求值,关键是审清题意,找准规律答题第8页(共26页)5在这1000个二次根式中,与是同类二次根式的个数共有()A3B4C5D6【分析】找到10005x22000中符合x的整数值即可得出答案【解答】解:
由题意得:
与=20,是同类二次根的被开方数一定为5,由此及题意可:
10005x22000,x可取15、16、17、18、19,共5个故选:
C【点评】本题考查同类二次根式的知识,有一定难度,关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足二填空题(共二填空题(共24小题)小题)6已知实数x1,x2,x3,x1999满足则x1+2x2+3x3+1999x1999的值为3998000【分析】由等式可知=x1,=x2,解得x1=x2=x3=x1999=2,由此代入求得数值即可【解答】解:
,=x1,=x2,x1=x2=x3=x1999=2,第9页(共26页)x1+2x2+3x3+1999x1999=2(1+2+3+1999)=2(1999+1)19992=3998000故答案为:
3998000【点评】此题考查二次根式的化简求值,解答此题的关键是找出对应关系,求出x1、x2、x3、x1999的值7化简=2011【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=,然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案【解答】解:
=,原式=2011故答案为2011第10页(共26页)【点评】本题考查了二次根式的性质与化简:
=|a|也考查了平方差公式8化简后2【分析】由于=1,其他根式也可以进行同样的化简,然后合并同类二次根式即可求解【解答】解:
=1+=31=2故答案为:
2【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值,解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的9观察图形,用Si表示第i个三角形的面积,有;,若S1+S2+S3+Sn10,则n的最小值为10第11页(共26页)【分析】利用不等式,结合S1+S2+S3+Sn10,解不等式即可【解答】解:
Si表示第i个三角形的面积,由不等式n,得n=n,而S1+S2+S3+Sn=,S1+S2+S3+Sn10,n10,即n2(n+1)800,n为正整数,n的最小值为9但n=9时,代入S1+S2+S3+Sn10,不符合题意,故n=10【点评】本题考查了二次根式的运用利用均值不等式和不等式的传递性解题10方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化,再通分,注意观察抵消规律【解答】解:
原方程化为:
+=,通分得=,解得x=2011故答案为:
2011【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用关键是将各第12页(共26页)分式的分母有理化,寻找抵消规律11设M=+,N=12+34+56+19931994,则=【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化,再求出N式的值,代入代数式求值即可解答【解答】解:
将M分母有理化可得M=
(1)+()+()+()=1N=12+34+56+19931994=(12)+(34)+(56)+(19931994)=1997=997,=故答案为【点评】本题主要考查分母有理化的方法,正确选择两个二次根式,使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键12计算:
=4(其中a0)【分析】仔细观察会发现有以下规律:
第1项加上第8项等于1,第2项加上第7项等于1,依此类推最后求得的结果4【解答】解:
第一项与最后一项相加得:
+,第13页(共26页)=+,=,=1,同理可得:
第二项与倒数第二项的和也是1;第三项与倒数第三项的和也是1;所以原式=1+1+1+1=4故应填:
4【点评】本题考查了二次根式的加减运算,同时也考查了学生的逻辑思维能力,是一道不错的规律型问题13的值为1998999.5【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系,可用换元法解题,设k=2000,将所求算式转化为关于k的算式,将被开方数配成完全平方式,开平方,再将k的值代入即可【解答】解:
设k=2000,原式=第14页(共26页)=,当k=2000时,原式=1998999.5故本题答案为:
1998999.5【点评】本题考查了二次根式的化简求值,当算式数字较大,并且数字之间有联系时,用换元法解题,可使运算简便14已知:
对于正整数n,有,若某个正整数k满足,则k=8【分析】读懂规律,按所得规律把左边所有的加数写成的形式,把互为相反数的项结合,可使运算简便【解答】解:
,+,即1,解得k=8故答案为:
8【点评】解答此题的关键是读懂题意,总结规律答题15若n为整数,且是自然数,则n=14或7或2或5【分析】设=p,再把等式两边同时乘以4,利用平方差公式把第15页(共26页)等式左边化为两个因式积的形式,列出关于p、n的方程组,求出n的值即可【解答】解:
设=p(P为非负整数),则n2+9n+30=p2,4n2+36n+120=4p2,(2n+9)2+39=4p2,(2p+2n+9)(2p2n9)=39,或或或,解得或或或,n=14或7或2或5故答案为:
14或7或2或5【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简,先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键16如果,并且表示为时的值,即,表示当时的值,即,那么的值为2012.5【分析】根据新定理得f()=,f()=,则f()+f()=1;f()=,f()=,则f()+f()=1,由此得到f()第16页(共26页)+f()=1(n2的整数),所以原式=+【解答】解:
f()=,f()=,f()=,则f()+f()=1,f()=,f()=,则f()+f()=1,f()+f()=1,=+=2012.5故答案为2012.5【点评】本题考查了二次根式的化简求值:
二次根式的化简求值,一定要先化简再代入求值也考查了阅读理解能力17若u、v满足v=,则u2uv+v2=【分析】根号里面的式子大于等于0,从而可得0,0,从而能得出u和v的值,继而可得出答案【解答】解:
由题意得:
0,0,从而=0,2uv=0,u=v,又v=,u=,u2uv+v2=第17页(共26页)故答案为【点评】本题考查二次根式有意义的条件,注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键18已知a为实数,且与都是整数,则a的值是或【分析】由是正整数可得,a是含2的代数式;再由是整数,可得化简后为2的代数式分母有理化后,是1或1,据此确定a的值【解答】解:
是正整数,a是含2的代数式;是整数,化简后为2的代数式分母有理化后,是1或1,a=或故答案为:
或【点评】此题主要考查二次根式的混合运算,要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化19使得+=1的一组正整数(a,b,c)为:
答案不唯一;如(288,8,8),(48,24,8)【分析】由于三个复合二次根式的和为1,则它们的被开方数为完全平第18页(共26页)方数,设任意一个复合二次根式的被开方数为()2(x,y为正整数,xy),然后通过正整数的含义,得到x,y为两个相邻正整数,即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根若第一个化简后是1,则第二个复合二次根式化简后必为,第三个复合二次根式化简后必为,最后求的a,b,c的值【解答】解:
因为几个复合二次根式的和为1,则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数设=x+y2,(x,y为正整数,xy),所以有=x+y,=2a+1=(x+y)2,a=4xy,(xy)2=1,即xy=1则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根若第一个化简后为1,而要消掉,则第二个复合二次根式化简后必为,要消掉,则第三个复合二次根式化简后必为最后正好为=1所以=
(1)2=3=3,则a=8,同理得b=24,c=48故得到一组正整数(a,b,c)为:
8,24,48故答案为8,24,48【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简:
20计算20062的结果是2005【分析】先把“2005200620072008+1=(20052+32005+1)2”化为完第19页(共26页)全平方的形式,再开平方,然后再来求值【解答】解:
2005200620072008+1=2005(2005+3)(2005+1)(2005+2)+1=(20052+32005)(20052+32005+2)+1=(20052+32005)2+2(20052+32005)+1=(20052+32005+1)2=20052+32005+1;20062=20052+32005+120062=(2005+2006)(20052006)+32005+1=2005;故答案为:
2005【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值解答此题的难点是化“2005200620072008+1”为完全平方的形式,并开平方,然后再利用平方差公式求出2005220062=(2005+2006)(20052006)的值21设=【分析】把已知条件的左边相乘得,这样出现了所求代数式,设=z,代入变形所得的等式,逐步变形,消去x、y,即可求得z【解答】解:
据条件式第20页(共26页)令=z,则
(1)式化为:
z+xy+=9,即有9z=xy+,平方得,8118z+z2=x2y2+(x2+1)(y2+4)+2xy
(2),又由z2=x2(y2+4)+y2(x2+1)+2xy,代入
(2)得,8118z=4,所以即=,故答案为:
【点评】此题考查二次根式的化简求值,难度较大,多次利用已知条件求解22若,则x6+y6的值是40【分析】根据题意可求出x2+y2,x2y2,利用平方差公式可求得x4y4,(x2y2)(x4y4)=x6+y6x2y4y2x4,由此可得答案【解答】解:
由题意得:
x2+y2=2+2=4,x2y2=2+
(2)=2,x4y4=(x2+y2)(x2y2)=8,又(x2y2)(x4y4)=x6+y6+x2y4+y2x4,可得:
x6+y6=32x2y2(x2+y2)=32+24=40故答案为:
40【点评】本题考查二次根式的乘除法运算,有一定难度,关键是熟练运用平方差及完全平方公式第21页(共26页)23当时,的值为【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可【解答】解:
原式=,=2005,x,原式=+x,=x,当时,原式=故答案为【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a(a0)的应用24已知,则k=1【分析】先从等式右边进行分母有理化,即原式=2,然后依次循环即可求k的值【解答】解:
由原式可知=+24=2,4+=+2,第22页(共26页)依此类推得:
=+2,k=1故答案为1【点评】本题考查了分母有理化的知识,解题时可从等式右边进行分母有理化,那样会简便些25当1x2时,经化简等于2【分析】先配成完全平方式,再根据二次根式的性质化简计算即可【解答】解:
1x2,=+=+1+1=2故答案为:
2【点评】考查了二次根式的性质,解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式26计算=2010【分析】因为=,=,=,可发现=1+=1+1,=1+=1+,依此类推再把1+1,第23页(共26页)1+相加可得问题答案【解答】解:
原式=+,=1+1+1+1+1+1+,=2010+(1+),=2010+
(1),=2010【点评】本题考查了二次根式的化简,在化简中注意有关数列的规律27已知x=,那么+1的值是2【分析】先根据分母有理化得到x=1,所以x+1=,然后将代数式化为含有(x+1)2的形式,把x+1的值代入求出代数式的值【解答】解:
x=1,x+1=原式=(3x3+10x2+5x+4)=(3x3+6x2+3x)+3x2+(x2+2x+1)+3=3x(x+1)2+3x2+(x+1)2+3=3x2+3x2+2+3=(3x2+6x+3)+2=3(x+1)2+2=(32+2)=2故答案是:
2【点评】本题考查的是二次根式的化简求值,先根据分母有理化把x第24页(共26页)的值化简,得到x+1=,再把代数式化成含有x+1的形式,然后代入代数式可以求出代数式的值28化简:
,得到1【分析】将被开方数的分子、分母提公因式,约分,再开平方,约分即可【解答】解:
原式=()1004=()1004()1004=1【点评】本题考查了二次根式的化简求值,关键是将被开方数的分子、分母提公因式,约分29=3【分析】因为=,代入并通分计算即可【解答】解:
原式=111=3故答案为:
3【点评】此题考查二次根式的混合运算,关键是求=第25页(共26页)三解答题(共三解答题(共1小题)小题)30计算:
(1);
(2);(3);(4)【分析】
(1)设n=1999,从而可将根号里面的数化为完全平方的形式,继而可得出答案
(2)分别将各二次根式配方可得出答案(3)将分子及分母分别化简,然后运用提公因式的知识将分子及分母简化,继而得出答案(4)设=a,=b,=c,从而可将原式化简,继而可得出答案【解答】解:
(1)设n=1999,则原式=n2+3n+1,故原式=20002+1999;
(2)原式第26页(共26页)=+=1+,=1,=31,=2;(3)原式=,=,=+,=;(4)设=a,=b,=c,则原式=+,=,=0【点评】本题考查了二次根式的混合运算,难度较大,注意换元法及完全平方知识的运用
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