概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考答案.pdf
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1第四章第四章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理习题习题4.11如果XXPn,且YXPn试证:
PX=Y=1证:
因|XY|=|(XnX)+(XnY)|XnX|+|XnY|,对任意的0,有+2|2|0YXPXXPYXPnn,又因XXPn,且YXPn,有02|lim=+XXPnn,02|lim=+YXPnn,则P|XY|=0,取k1=,有01|=kYXP,即11|=kYXP,故11|lim1|1=0,有+2|2|)()(|0YYPXXPYXYXPnnnn,又因XXPn,YYPn,有02|lim=+XXPnn,02|lim=+YYPnn,故0|)()(|lim=+YXYXPnnn,即YXYXPnn+;
(2)因|XnYnXY|=|(XnX)Yn+X(YnY)|XnX|Yn|+|X|YnY|,对任意的0,有+2|2|0YYXPYXXPXYYXPnnnnn,对任意的h0,存在M10,使得4|1hMXP0,使得8|2hMYP0,当nN1时,81|hYYPn,因|Yn|=|(YnY)+Y|YnY|+|Y|,有4|1|1|22hMYYYPMYPnn0,当nN2时,4)1(2|2hMXXPnmaxN1,N2时,有22441|)1(2|2|22hhhMYPMXXPYXXPnnnn=+0,当nN3时,42|1hMYYPn,有244|2|2|11hhhMXPMYYPXYYPnn=+0,当nmaxN1,N2,N3时,有hhhYYXPYXXPXYYXPnnnnn=+0,存在M0,使得4|hMXP0,当nN1时,41|hXXPn,因|Xn|=|(XnX)+X|XnX|+|X|,则244|1|1|hhhMXPXXPMXPnn=+0,存在0,当|xy|时,有|g(x)g(y)|0,当nN2时,4|hXXPn0,当nmaxN1,N2时,有|1|)()(|0MXMXXXPXgXgPnnn+UUhhhhMXPMXPXXPnn=+0,有0|lim=+caXPnn,故0|lim=+cacXPnn,即cacXPn5试证:
XXPn的充要条件为:
n+时,有0|1|+XXXXEnn3证:
以连续随机变量为例进行证明,设XnX的密度函数为p(y),必要性:
设XXPn,对任意的0,都有0|lim=+XXPnn,对012+,存在N0,当nN时,+1|2XXPn,则+=+=+|)(|1|)(|1|)(|1|1|yynndyypyydyypyydyypyyXXXXE=+=+11|1)()(12|XXPXXPdyypdyypnnyy,故n+时,有0|1|+XXXXEnn;充分性:
设n+时,有0|1|+XXXXEnn,因+=|)(|1|1)(11)(|yyyndyypyydyypdyypXXP+=+|1|1)(|1|1XXXXEdyypyynn,故0|lim=+XXPnn,即XXPn6设D(x)为退化分布:
x时,有x+n0,D(x+n)=1,即1)(lim=+nxDn,则D(x+n)的极限函数是常量函数f(x)=1,有f()=10,故D(x+n)的极限函数不是分布函数;
(2)若x0,有01+nx,11=+nxD,即11lim=+nxDn,若x时,有01+nx,01=+nxD,即01lim=+nxDn,则=+.0,1;0,01limxxnxDn这是在0点处单点分布的分布函数,满足分布函数的基本性质,4故+nxD1的极限函数是分布函数;(3)若x0,有010,当xn1时,有01nx,11=nxD,即11lim=+nxDn,则=+.0,1;0,01limxxnxDn在x=0处不是右连续,故nxD1的极限函数不是分布函数7设分布函数列Fn(x)弱收敛于连续的分布函数F(x),试证:
Fn(x)在(,+)上一致收敛于分布函数F(x)证:
因F(x)为连续的分布函数,有F()=0,F(+)=1,对任意的0,取正整数2k,则存在分点x1x2xk1,使得1,2,1,)(=kikixFiL,并取x0=,xk=+,可得kkikxFxFii,1,2,1,21)()(1=0,当nN时,1,2,1,2|)()(|=kixFxFiinL,且显然有20|)()(|00=xFxFn,20|)()(|=kknxFxF,对任意实数x,必存在j,1jk,有xj1xxj,因2)()()()
(2)(11+222)()()()(1xFxFxFxFjn,且=+0和任意实数x,总存在N0,当nN时,都有|Fn(x)F(x)|0,存在h0,当|yy0|h时,4|)()(|0+yFyFbaXbaX,又设y是满足|yy0|N1时,4|)()(|xFxFXXn,即4|)()(|N1且|yy0|h时,2|)()(|)()(|)()(|00MFX,4)(=+MFMFXXnn,4)()(limN2时,41)(MFnX,4)(MFnX,可得2)
(1)(|MFMFMXPnnXXn,因数列ana,bnb,存在N3,当nN3时,Mhaan4|,4|hbbnmaxN2,N3时,+=+2|)()(|2|)()(|hbbXaaPhbaXbXaPnnnnnnn2|24|42|=+MXPhhXMhPhbbXaaPnnnnn,则+=+2|)()(|2)(000hbaXbXahybaXPybXaPyFnnnnnnnnbXannnU222|)()(|200+hyFhbaXbXaPhybaXPbaXnnnnnn,且+=+2|)()(|22000hbaXbXaybXaPhybaXPhyFnnnnnnnnbaXnU2)(2|)()(|00+yFhbaXbXaPybXaPnnnbXannnnnnn,即22)(22000+N1且|yy0|h时,2)()
(2)(00+yFyFyFbaXbaXbaXn,在区间+hyhy00,2取FaX+b(y)的任一连续点y1,满足|y1y0|maxN1,N2,N3时,+)
(2)(22)(0100yFyFhyFyFbaXbaXbaXbXannnnn,在区间2,00hyhy取FaX+b(y)的任一连续点y2,满足|y2y0|maxN1,N2,N3时,6+)
(2)(22)(0200yFyFhyFyFbaXbaXbaXbXannnnn,即对于FaX+b(y)的任一连续点y0,当nmaxN1,N2,N3时,0,存在h0,当|yy0|h时,4|)()(|0+yFyFaXaX,又设y是满足|yy0|N1时,4|)()(|xFxFXXn,即4|)()(|N1且|yy0|h时,2|)()(|)()(|)()(|00+haYPnn,存在N2,当nN2时,22|haYPn,则+=+2|2)(000haYhyaXPyYXPyFnnnnYXnnU222|200+hyFhaYPhyaXPaXnnn,且+=+2|22000haYyYXPhyaXPhyFnnnnaXnU2)(2|00+yFhaYPyYXPnnYXnnn,即22)(22000+N1且|yy0|h时,2)()
(2)(00+yFyFyFaXaXaXn,在区间+hyhy00,2取FX+a(y)的任一连续点y1,满足|y1y0|maxN1,N2时,+)
(2)(22)(0100yFyFhyFyFaXaXaXYXnnnn,7在区间2,00hyhy取FX+a(y)的任一连续点y2,满足|y2y0|maxN1,N2时,+)
(2)(22)(0200yFyFhyFyFaXaXaXYXnnnn,即对于FX+a(y)的任一连续点y0,当nmaxN1,N2时,0,存在M,使得FX(x)在x=M处连续,且41)(hMFX,4)(hMFX=+,4)()(limhMFMFXXnnN1时,41)(hMFnX,4)(hMFnX,可得2)
(1)(|hMFMFMXPnnXXn,因0PnY,对任意的0,有0|lim=+MYPnn,存在N2,当nN2时,2|hMYPn,则当nmaxN1,N2时,有hMYPMXPMYMXPYXPnnnnnn+|U,故0|lim=+nnnYXP,即0PnnYX11如果XXLn,aYPn,且Yn0,常数a0,试证:
aXYXLnn证:
设y0是FX/a(y)的任一连续点,则对任意的0,存在h0,当|yy0|h时,4|)()(|0/yFyFaXaX,又设y是满足|yy0|N1时,4|)()(|xFxFXXn,即4|)()(|/N1且|yy0|h时,2|)()(|)()(|)()(|0/0/MFX,12)(=+MFMFXXnn,12)()(limN2时,121)(MFnX,12)(MFnX,可得6)
(1)(|MFMFMXPnnXXn,因0aYPn,有02|lim=+haYPnn,存在N30,当nN3时,62|aaYPn,有62|aYPn,且64|2MhaaYPn,可得当nmaxN1,N2,N3时,=2|2)(2hYaaYXPhaYYaXPhaXYXPnnnnnnnnn2|4|2aYMhaaYMXPnnnUU22|4|2+aYPMhaaYPMXPnnn,则+=22)(000/haXYXhyaXPyYXPyFnnnnnnYXnnU22220/0+hyFhaXYXPhyaXPaXnnnnn,且=222000/haXYXyYXPhyaXPhyFnnnnnnaXnU2)(20/0+yFhaXYXPyYXPnnYXnnnnn,即22)(220/0/0/+N1且|yy0|h时,2)()
(2)(0/0/+yFyFyFaXaXaXn,在区间+hyhy00,2取FX/a(y)的任一连续点y1,满足|y1y0|maxN1,N2,N3时,+)
(2)(22)(0/1/0/0/yFyFhyFyFaXaXaXYXnnnn,9在区间2,00hyhy取FX/a(y)的任一连续点y2,满足|y2y0|maxN1,N2,N3时,)
(2)(22)(0/2/0/0/yFyFhyFyFaXaXaXYXnnnn,即对于FX/a(y)的任一连续点y0,当nmaxN1,N2,N3时,|)()(|0/0/yFyFaXYXnn,故)()(/yFyFaXWYXnn,aXYXLnn12设随机变量Xn服从柯西分布,其密度函数为+0,)arctan
(2)arctan
(1)1(|22nnxdxxnnXPn=+=,则122)arctan(lim2|0|lim=+nXPnnn,故0PnX13设随机变量序列Xn独立同分布,其密度函数为0,令Yn=maxX1,X2,Xn,试证:
PnY证:
对任意的0,P|Yn|=PYn=1PmaxX1,X2,Xn=1PX1PX2PXnn=1,则11lim|lim=+nnnnYP,故PnY14设随机变量序列Xn独立同分布,其密度函数为0,P|Yna|=PaYna+=PminX1,X2,Xna+=1PminX1,X2,Xna+=1PX1a+PX2a+PXna+10nnaaxnaaxdx+=e1e1e1)()(,则1)e1(lim|lim=0,221)Var(|)(|nZZEZPnnn=,则01lim|)(|lim02=+nZEZPnnnn,即0|)(|lim=+nnnZEZP,1)(=nPnZEZ,因nZnYe=,且函数ex是直线上的连续函数,根据本节第3题的结论,可得1ee=PZnnY,故cYPn,其中1e=c为常数16设分布函数列Fn(x)弱收敛于分布函数F(x),且Fn(x)和F(x)都是连续、严格单调函数,又设服从(0,1)上的均匀分布,试证:
)()(11FFPn证:
因F(x)为连续的分布函数,有F()=0,F(+)=1,则对任意的h0,存在M0,使得21)(hMF,2)(hMF0,存在0,当y,y*F(M1),F(M+1)且|yy*|时,|F1(y)F1(y*)|,设y*是F(M),F(M)中任一点,记x*=F1(y*),有x*M,M,不妨设00和任意实数x,总存在N0,当nN时,都有|Fn(x)F(x)|N时,|)()(|xFxFn且|*)(|yxF,有*)(yxFn,即*)(1yFxn,则对任意的0N时,*)(1yFn满足=|*)(*)(|*)(|111yFyFxyFnn,可得对任意的0N时,hMFMFPFFPn1)(),(|)()(|1111由h的任意性可知1|)()(|lim11=0,222)1(3241)Var(1|1+=nnnYYPnn,因1)1(3241lim22=+nnnn,由夹逼准则可得1|lim=+nnYP,故PnkknXknnY+=1)1(218设随机变量序列Xn独立同分布,数学期望、方差均存在,且E(Xn)=0,Var(Xn)=2试证:
E(Xn)=0,Var(Xn)=2试证:
2121PnkkXn=注:
此题与第19题应放在习题4.3中,需用到4.3节介绍的辛钦大数定律证:
因随机变量序列2nX独立同分布,且222)()Var()(=+=nnnXEXXE存在,故2nX满足辛钦大数定律条件,2nX服从大数定律,即2121PnkkXn=19设随机变量序列Xn独立同分布,且Var(Xn)=2存在,令=niiXnX11,=niinXXnS122)(1试证:
22PnS证:
2122112122122121)2
(1)(1XXnXnXXXnXXXXnXXnSniiniiniiniiiniin=+=+=,12设E(Xn)=,Xn满足辛钦大数定律条件,Xn服从大数定律,即PnkkXnX=11,则根据本节第2题第
(2)小问的结论知,22PX,因随机变量序列2nX独立同分布,且2222)()Var()(+=+=nnnXEXXE存在,则2nX满足辛钦大数定律条件,2nX服从大数定律,即22121+=PnkkXn,故根据本节第2题第
(1)小问的结论知,22222122)(1=+=PniinXXnS20将n个编号为1至n的球放入n个编号为1至n的盒子中,每个盒子只能放一个球,记=.,0;,1反之的盒子的球放入编号为编号为iiXi且=niinXS1,试证明:
0)(PnnnSES证:
因nXPi11=,nXPi110=,且ij时,)1(11=nnXXPji,)1(110=nnXXPji,则nXEi1)(=,=nnXi111)Var(,且ij时,)1
(1)(=nnXXEji,)1(11)1
(1)()()(),Cov(22=nnnnnXEXEXXEXXjijiji,有1)()(1=niinXESE,1)1
(1)1(11),Cov
(2)Var()Var(211=+=+=0,2221)(Var1)()(nnSESnSESEnSESPnnnnnn=,则01lim)()(lim022=+nnSESEnSESPnnnnnn,故0)(PnnnSES13习题习题4.21设离散随机变量X的分布列如下,试求X的特征函数1.02.03.04.03210PX解:
特征函数(t)=eit00.4+eit10.3+eit20.2+eit30.1=0.4+0.3eit+0.2e2it+0.1e3it2设离散随机变量X服从几何分布PX=k=(1p)k1p,k=1,2,试求X的特征函数并以此求E(X)和Var(X)解:
特征函数ititkkititkkitkppppppte)1(1e)1(ee)1(e)(1111=+=+=;因22e)1(1ee)1(1e)1(ee)1(1e)(itititititititpippipppipt=,有)()0(2XiEpipip=,故pXE1)(=;因332e)1(1e)1(1ee)1(e)1(1e2e)1(1e)(ititititititititpppippippiipt+=,有)
(2)2()0(2223XEippppp=,可得222)(ppXE=,故222112)Var(pppppX=3设离散随机变量X服从巴斯卡分布rkrpprkkXP=)1(11,k=r,r+1,试求X的特征函数解:
特征函数+=+=+=rkrkitrkitrrrkrkritkprkkrppprkt)(e)1)(1()1()!
1(e)1(11e)(L+=+=+=rkpxrkrritrkpxrkritititdxxdrpxrkkrpe)1(111e)1()()!
1()e()1()1()!
1()e(Litititpxrritpxrrritpxkkrrritxrrpxdxdrpxdxdrpe)1(e)1(11e)1(1111)1()!
1()!
1()e(11)!
1()e()!
1()e(=+=rititritritpppp=e)1(1ee)1
(1)e(4求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差14
(1))0(,e2)(|1=adtaxFxta;
(2))0(,1)(222+=adtataxFx解:
(1)因密度函数|11e2)()(xaaxFxp=,故+=+=+0)(0)(0)(0)(|1ee2ee2ee2)(aitaitadxdxadxatxaitxaitxaitxaitxaitx222112ataaitaita+=+=;因222222221)(22)()(attatatat+=+=,有)(0)0(1XiE=,故E(X)=0;因32242242222222221)(26)
(2)(22)
(2)(atataattattaatat+=+=,有)(22)0(222641XEiaaa=,可得222)(aXE=,故222202)Var(aaX=;
(2)因密度函数22221)()(axaxFxp+=,则+=dxaxatitx2221e)(,由第
(1)小题的结论知+=+=dxxpatatitx)(e)(12221,根据逆转公式,可得+=dtatadttaxpitxitxxa2221|1e21)(e21e2)(,可得|222ee221eyayaityaaadtat+=+,故|222ee1e)(tataitxaadxaxat+=+=;因=,0,e,0,e)(2tatatatat有aa=+=)00()00(22,即)0(2不存在,故E(X)不存在,Var(X)也不存在5设XN(,2),试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩解:
因XN(,2),有X的特征函数是222e)(ttit=,15则)(e)(2222tittti=,)(e)(e)(222222222+=ttittitit,因)()(3e)(e)(2223222222+=tititttitti,有(0)=e0(i)3+e03i
(2)=i33i2=i3E(X3)=iE(X3),故E(X3)=3+32;又因2222222422)4()(3e)()(6e)(e)(222222+=ttittittititit,有(4)(0)=e0(i)4+e06(i)2
(2)+e034=4+622+34=i4E(X4)=E(X4),故E(X4)=4+622+346试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:
若Xb(n,p),Yb(m,p),且X与Y独立,则X+Yb(n+m,p)证:
因Xb(n,p),Yb(m,p),且X与Y独立,有X与Y的特征函数分别为X(t)=(peit+1p)n,Y(t)=(peit+1p)m,则X+Y的特征函数为X+Y(t)=X(t)Y(t)=(peit+1p)n+m,这是二项分布b(n+m,p)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X+Yb(n+m,p)7试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:
若XP
(1),YP
(2),且X与Y独立,则X+YP(1+2)证:
因XP
(1),YP
(2),且X与Y独立,有X与Y的特征函数分别为)1(e1e)(=ittX,)1(e2e)(=ittY,则X+Y的特征函数为)1)(e(21e)()()(+=ittttYXYX,这是泊松分布P(1+2)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X+YP(1+2)8试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性:
若XGa(1,),YGa(2,),且X与Y独立,则X+YGa(1+2,)证:
因XGa(1,),YGa(2,),且X与Y独立,有X与Y的特征函数分别为11)(=ittX,21)(=ittY,则X+Y的特征函数为)(211)()()(+=ittttYXYX,这是伽马分布Ga(1+2,)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X+YGa(1+2,)9试用特征函数的方法证明2分布的可加性:
若X2(n),Y2(m),且X与Y独立,则X+Y2(n+m)证:
因X2(n),Y2(m),且X与Y独立,有X与Y的特征函数分别为2)21()(nXitt=,2)21()(mYitt=,则X+Y的特征函数为2)21()()()(mnYXYXitttt+=,这是2分布2(n+m)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X+Y2(n+m)10设Xi独立同分布,且XiExp(),i=1,2,n试用特征函数的方法证明:
),(1nGaXYniin=证:
因XiExp(),i=1,2,n,且Xi相互独立,16有Xi的特征函数为11)(=itittiX,则=niinXY1的特征函数为nniXYitttin=1)()(1,这是伽马分布Ga(n,)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知YnGa(n,)11设连续随机变量X的密度函数如下:
+0,+,常记为XCh(,)
(1)试证X的特征函数为expit|t|,且利用此结果证明柯西分布的可加性;
(2)当=0,=1时,记Y=X,试证X+Y(t)=X(t)Y(t),但是X与Y不独立;(3)若X1,X2,Xn相互独立,且服从同一柯西分布,试证:
)(121nXXXn+L与X1同分布证:
(1)根据第4题第
(2)小题的结论知:
若X*的密度函数为221)(*xxp+=,即X*Ch(,0),则X*的特征函数为*(t)=e|t|,且X=X*+的密度函数为22)
(1)(+=xxp,故X的特征函数为X(t)=eit*(t)=eite|t|=eit|t|;若X1Ch(1,1),X2Ch(2,2),且相互独立,有X1与X2的特征函数分别为|111e)(ttiXt=,|222e)(ttiXt=,则X1+X2的特征函数为|)()(21212121e)()()(ttiXXXXttt+=,这是柯西分布Ch(1+2,1+2)的特征函数,故根据特征函数的唯一性定理知X1+X2Ch(1+2,1+2);
(2)当=0,=1时,XCh(1,0),有X的特征函数为X(t)=e|t|,又因Y=X,有Y的特征函数为Y(t)=e|t|,且X+Y=2X,故X+Y的特征函数为X+Y(t)=2X(t)=X(2t)=e|2t|=e|t|e|t|=X(t)Y(t);但Y=X,显然有X与Y不独立;(3)因XiCh(,),i=1,2,n,且Xi相互独立,有Xi的特征函数为|e)(ttiXti=,则)(121nnXXXnY+=L的特征函数为)(ee)()(1|111tntttXttintntinniXniXnY
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- 概率论 数理统计 茆诗松 第二 课后 第四 习题 参考答案
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