浙江大学06-07秋冬《线性代数I》期中考试答案.pdf
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浙江大学2006-2007学年线性代数I期中考试答案123证明:
证明:
(1)对任意的,显然有n?
=,即R。
所以R具有自反性。
(2)对任意的,如果,n?
R,即=,则有=。
从而R。
所以R具有对称性。
(3)对任意的,如果,n?
RR,,则有=,从而R。
所以R具有传递性。
所以R是等价关系。
如果,则2=n的等价类就是在一个直角坐标系中以原点为圆心以为半径的圆上的所有点的集合。
知识点:
知识点:
等价关系的定义,向量模的几何意义。
4证明:
证明:
用反证法。
假设在中是线性相关的,则存在不全为零的SVn,1使得Vvvnn=+011?
。
令Vvvnn+=?
11。
因为是线性映射,所以Wvvvvnnnn+=+=)()()()(1111?
。
又因为V=0,所以W=0)(。
所以Wvvnn=+0)()(11?
。
因为niWwvii,2,1,)(=,所以Wwwnn=+011?
。
因为n,1是不全为零的,所以T在W中线性相关,这与已知矛盾。
所以在V中是线性无关的。
S知识点:
知识点:
线性相关与线性无关的定义,线性映射的定义(或性质)。
5证明:
证明:
(a)令21,是两个实数且有0),(),(21=+dcba。
如果01,则),(),(12dcba=。
所以dbca1212,=,从而有0)(1212=cdcdbcad。
这与已知矛盾。
如果02,同理可证,仍会产生矛盾。
所以不存在不全为零的实数21,使得0),(),(21=+dcba,从而S是线性无关的。
(b)反证法。
假设0=bcad,则有bcad=。
如果0=a,则必有0=b或0=c。
如果0=b,则,从而线性相关,此为矛盾。
故有0),(=ba),(),(dcbaS=0=c,从而),0(),0(dbS=,易知此时也是线性相关的,与已知矛盾。
所以S0a。
同理可证0,0,0dcb。
由以及bcad=0,0,0,0dcba可得),(),(),(dcdbbdbcba=,即可由线性表示,从而是线性相关的,此与已知矛盾。
所以。
),(ba),(dcS0bcad(c)因为0bcad,由(a)得是线性无关的。
又因为,所以是的一组基。
S2dim2|=SS2知识点:
知识点:
线性相关性及线性表示的定义,基与维数的定义6解:
解:
令)2,1,0,1(),0,0,2,1(),1,0,1,1(321=。
由Schmidt正交化过程得)76,1,72,74()1,0,1,1(33)31,0,35,34()314
(2)2,1,0,1(),(),(),(),(),31,0,35,34()1,0,1,1(31)0,0,2,1(),(),(),1,0,1,1(111132222333111122211=是W一组正交基,将之单位化得.105)6,7,2,4(49105)76,1,72,74(,42)1,0,5,4(314)31,0,35,34(,3)1,0,1,1(333222111=所以321,是W的一组单位正交基。
知识点:
知识点:
Schmidt正交化方法,实内积空间的标准内积,向量的模的定义n7证明:
证明:
令)4,1,1(),2,0,1(),3,2(),1,1(2121=。
则易知,21是的一组基,2,21可以扩充为的一组基3,321。
我们定义2211221132:
+?
这儿21,是任意的实数。
因为,21是的一组基,所以对任意的以及任意的2221,21,,存在使得2211,baba2212221111,baba+=+=,从而222111221122122211112211)()()()(bbaababa+=+=+。
根据的定义,我们有)()()()()()()()()(22112212221111222111221122211122112211+=+=+=+=+bababbaabbaa所以是线性映射。
假设也是线性映射且使得32:
2211)(,)(=,即)()(),()(2211=。
因为,21是的一组基,所以对任意的有22)()(=,即=。
所以满足条件的线性映射是唯一的。
因为2132)11,8(+=,所以)16,3,5(32)(3)
(2)32()11,8(212121=+=+=+=。
知识点:
知识点:
线性映射与基的关系,线性映射的定义。
8证明:
证明:
(a)根据题意,对任意的和任意的两个实数3321321),(),(bbbaaa21,,有),(),()3,()3,()33,(),(),(),(321232113213121232131211323122211211323112112221121132312221121132123211bbbaaabbbbbbbaaaaaaabababababababababababbbaaa+=+=+=+=+所以是线性的。
(b)解方程组=+=+=0300zyxzxyx得0=zyx,所以。
又因为30ker=是上的线性变换,所以3是同构映射。
知识点:
知识点:
线性映射的定义,线性映射的核的定义,判断映射同构的等价条件。
9解:
解:
(a)正确。
设有限子集是W的一组基,因为W是V的子空间,所以WBB可以扩充为V的一组基B。
又因为VWdimdim=,所以BB=。
所以。
WV=(b)错。
比如对于实内积空间(内积为标准内积),取,则有2)1,0(),0,1(=vu0),(=vu,但是0u且0v。
(c)正确。
因为是线性映射,所以VdimImdimkerdim=+。
因为Im是W的子空间,所以WdimImdim0dimdimImdimdimkerdim=WVV。
所以0ker。
(d)错。
比如1维复空间C(复数域),我们定义映射babiaCCf2:
+?
这儿是任意实数。
我们可以验证对任意的复数ba,dicbia+,,这儿是实数,有dcba,)()(22)()(dicfbiafdbcadicbiaf+=+=+,但不是线性映射。
因为f)(21)1()(iififiif=。
知识点:
知识点:
(a)基的扩充定理。
(b)向量正交的定义。
(c)线性映射相关的维数公式。
(d)线性映射的定义。
10若从域上的线性空间V到线性空间W的映射满足FWVf:
VvFvfvf=,),()(,则是线性映射?
判断此命题是否正确。
如果正确,给出证明。
如果错误,举出反例。
f解:
这是错误的。
令,易知2=WV0,|),(|),0(2=abababbWV。
定义一个映射,这儿)0,(),(),0(),0(:
acabbWVf?
0,acba。
容易验证Vvvfvf=,),()(。
但是对于,我们有)2,0()0,1()2,1(+=)2,0()0,1()2,1()0,1()2,1(fff+=。
所以不是一个线性映射。
f
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