高等代数试题库.pdf
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高等代数试题库高等代数试题库一、填空题:
一、填空题:
1、在C-1,1中,定义=11)()(dxxgxf,则向量1的长度为_,1与x的夹角为_。
2、二次型f(x1,x2)=x12+4x1x2+3x22的矩阵是_。
3、R3的子空间W=(a,2a,3a)|aR则dimW=_。
4、设n阶矩阵A的特征根为1,2,n,则detA=_,Tr(A)=_。
5、线性变换的属于本征值的特征子空间V=_。
6、设1,2,n是欧氏空间V的一个规范正交基,V中向量在基1,2,n下的坐标可由内积表示为_。
7、R2的线性变换在基1,2下的矩阵为A=4321,则在基1+2,22下的矩阵为_。
8、实二次型f的典范形式由_和_唯一确定。
9、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同。
10、Rn空间中,向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_。
11、数域F上任意一个n维向量空间都与同构。
12、线性相关的充要条件是。
13、线性相关的充要条件是。
14、二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3的矩阵表达式为()321321xxxAxxx,则A=_。
15、设1是线性方程组AX=B的一个解,2是线性方程组AX=0的一个解,则1-2是_的一个解。
16、设n阶可逆矩阵A的特征根为1,2,n,则A-1的特征根为_。
17、设W1、W2是V的两个子空间,则W1与W2的和W1+W2=。
18、二次型f(x1,x2)=()21214321xxxx的矩阵为__。
19、对任意向量空间V,V的平凡子空间是和。
20、线性变换把线性相关向量变成。
21、方程032234=+xxx的有理根为。
22、含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式D0时,该方程组有解。
23、两矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的。
24、设矩阵=300220111,的转置矩阵为T,则T。
25、n阶可逆矩阵必等价于。
26、若阶矩阵的秩为,则的所有阶子式都等于零。
27、零多项式是。
28、若p(x)是不可约多项式,而f(x)是一个任意多项式,则当(p(x),f(x)1时,有。
29、两本原多项式的乘积是多项式。
30、)321)1(nn。
31、设为n阶方阵,则A。
32、设三阶方阵,满足1且710004100031则。
33、若n阶行列式有多于n2-n个为零的元素,则行列式值为。
34、设一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为A和B,则有解的充要条件为35、在实数域上,任意次数多项式都可约。
36、含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式D0时,其方程组有且仅有解。
37、任n个矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的。
38、有理数域多项式存在不可约多项式。
39、n阶可逆矩阵必等价于。
40、零多项式是。
41、若阶矩阵的秩为3,则的所有阶子式都等于零。
42、若p(x)是不可约多项式,而f(x)是一个任意多项式,则当p(x)不能整除f(x)时,有。
43、两本原多项式的乘积是多项式。
44、设为4阶方阵,则A3。
45、)321)1(nn。
46、设三阶方阵,满足1且710004100031则。
47、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r,则其增广矩阵的秩为和。
48、矩阵1112的逆矩阵是_.49、设A为nm矩阵,B是一个矩阵,且BA有意义,则B的列数等于_.50、设向量组12,r?
与12,s?
等价,它们的秩分别为,pq,则p与q的关系是_.51、设n级矩阵A的特征值为12,n?
,则A=_,Tr()_A=.52、二次型()11212222(,)21xfxxxxx=的矩阵为__.53、设12,m?
为n维向量,已知12,m?
线性无关,则m和n的关系是__.54、n维欧氏空间V中向量在标准正交基12,n?
下的坐标是()12,nxxx?
,那么(,)_,_i=.55、在欧氏空间4R中,向量(1,2,2,4),(0,2,2,2)=,那么与的夹角是_,(,)_d=.56、线性变换把线性相关向量变成_向量.57、nR空间中,向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_.58、设A为正交矩阵,则_A=或_.59、设1a,2a不等于零,则12100aa=.60、设A、B均为n级对称矩阵,则AB也是对称矩阵的充要条件是_.61、设A为7级反对称矩阵,则_A=.62、设n级可逆矩阵A的特征值为12,n?
,则1A的特征值是_;()fA的特征值是_;_A=.63、欧氏空间中对称变换的属于不同特征值的特征向量_.64、实对称矩阵的特征值都是_.65、当一个向量组的极大无关组不唯一时,其两个不同的极大无关组所含向量个数_.66、设12,s?
是n维线性空间中s个向量,则当s满足条件_时,12,s?
线性相关.67、数域P上任意一个n维线性空间都与同构.68、二次型f(x1,x2)=()21214321xxxx的矩阵为__.69、设nnAP,()f为A的特征多项式,则()fA0.70、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同.71、设A为mn矩阵,秩()Arn=,则齐次线性方程组0AX=的基础解系含_个解向量.72、在C-1,1中,定义=11dx)x(g)x(f,则向量1的长度为_,1与x的夹角为_。
73、二次型f(x1,x2)=x12+6x1x2+2x22的矩阵是_。
74、R3的子空间W=(a,2a,3a)|aR则dimW=_。
75、线性变换的属于特征根的特征子空间V=_。
76、设1,2,n是欧氏空间V的一个标准正交基,V中向量在基1,2,n下的坐标可由内积表示为_。
77、R2的线性变换在基1,2下的矩阵为A=4321,则在基1+2,22下的矩阵为_。
78、实二次型f的典范形式由_和_唯一确定。
79、若C=AB,则矩阵C的秩与矩阵A、B的秩的关系为_。
80、Rn空间中,向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是,_。
81、设A为n阶可逆矩阵,则|A-1|=_。
82、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同。
83、已知矩阵A、B、C=(cij)mn,满足AC=CB,则A和B分别是_阶和_阶矩阵。
84、二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3的矩阵表达式为()321321xxxAxxx,则A=_。
85、设1是线性方程组AX=B的一个解,2是线性方程组AX=0的一个解,则1-2是_的一个解。
86、设n阶可逆矩阵A的特征根为1,2,n,则A-1的特征根为_。
87、线性变换的属于特征根的特征子空间V=_。
88、在Rn空间中,向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_。
89、R2的线性变换在基1,2下的矩阵为A=4321,则在基1+2,22下的矩阵为_。
90、实二次型f的典范形式由_和_唯一确定。
91、若C=AB,则矩阵C的秩与矩阵A、B的秩的关系为_。
92、二次型f(x1,x2)=()21214321xxxx的矩阵为_。
93、设A为n阶矩阵,且n1,|A|=d,则|A|=_。
94、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同。
95、已知=13210131131001X,则X=_。
96、零次多项式是一个_。
97、p(x)是不可约多项式,f(x)为任意多项式,则p(x)与f(x)的关系为_或。
98、实数域上的不可约多项式只有和。
99、映射的合成不满足_。
100、若n阶行列式有多于n2-n个为零的元素,则其行列式值等于_。
101、nija)(表示的n阶行列式是_项的代数和,其一般项是,符号是_。
102、若一个n元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于r,且rn则该方程组有解。
103、每一个对换都改变排列的。
104、若一个整系数多项f(x)在有理数域上不可约,则f(x)有理根。
105、若是一个整系数多项式f(x)的系数_,则称f(x)是一个本原多项式。
106、一个含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式_时,有且只有一个解。
107、设f(x)=4x4-7x2-5x-1,则f(x)的有理根为。
108、设f(x),g(x)不是零多项式,在f(x)与g(x)的一切公因式中,最大公因式是次数者。
109、当且仅当f(x)是多项式时,任意多项式g(x)与f(x)的最大公因式都是g(x)。
110、设f:
AB,g:
AB都是集合A到B的映射,则f=g是指。
111、排列2k,1,2k-1,2,k+1,k的反序数是。
112、|(aij)n|表示的n阶行列式是_项的代数和,其一般项是_,符号是_。
113、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r,则其增广矩阵的秩为_或_。
114、每一个对换都改变排列的_。
115、设f(x)=x5-x4-2x3+2x2+x-1,则f(x)的典型分解式为。
116、若一个齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数,则该方程组有解。
117、一个含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式_时,有且只有一个解。
118、设f(x)=xn+1,则f(x)重因式。
119、零多项式是指_。
120、p(x)是不可约多项式,f(x)为任意多项式,若(p(x),f(x)),则。
121、f(x)、g(x)是本原多项式,则f(x)g(x)本原多项式。
122、若是f(x)的k重根,则是f(x)一阶导数的重根。
123、映射的合成不满足__。
124、nija)(表示的n阶行列式是_项的代数和,其一般项是,符号是_。
125、若一个n元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于r,且r0。
6、正交变换在任意基下的矩阵都是正交矩阵。
7、实数域是复数域上向量空间。
8、向量组1,2,n中的向量两两线性无关,则向量组1,2,n也线性无关。
9、已知1,2都是线性变换的属于本征值的本征向量,则1,2的任意线性组合也是的属于本征值的本征向量。
10、设A,B是两个n阶正定矩阵,则A与B必合同。
11、V=|()=中每一个向量都是的属于本征值的本征向量。
13、Fn+1x是Fnx的子空间。
14、设A、B为n阶对称矩阵,则AB为对称矩阵的充要条件为ABBA。
15、相似矩阵有相同的特征向量。
16、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组。
17、实二次型f(x1,x2,xn)=AXX正定的充要条件是A的主子式都大于。
18、对称变换在任意基下的矩阵都是对称矩阵。
19、存在数域F上恰好含有两个向量的向量空间。
20、已知1,2是齐次线性方程组AX=0的两个解,则k11+k22是AX=0的解,其中k1,k2为任意数。
21、任意多项式在数域P上至多有n个根。
22、数域P上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。
23、若n阶行列式D恰有个n元素非零,则D不为024、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
25、设A,B都是可逆方阵,则A+B也是可逆矩阵。
26、初等矩阵都是可逆矩阵。
27、任n个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。
28、数域P上的多项式只有两类,即可约多项式和不可约多项式。
29、齐次线性方程组永远有解。
30、零多项式能整除任意多项式。
31、任意多项式在数域P上至n多有个根。
32、数域P上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。
33、若n阶行列式D恰有个n元素非零,则D不为034、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
35、设A,B都是可逆方阵,则A1+B也是可逆矩阵。
36、齐次线性方程组永远有解37、任n个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。
38、数域P上的多项式只有两类,即可约多项式和不可约多项式。
39、若n阶行列式有多于nn2个为零的元素,则行列式值为0。
40、任何可逆矩阵都等价于单位矩阵。
41、1nR是nR的子空间.42、设,AB为n级矩阵,则有()kkkABAB=,k为大于1的整数.43、若2AE=,则AE=或AE=.E为单位矩阵.44、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组.45、实二次型f(x1,x2,xn)=AXX正定的充要条件是|A|0.46、欧氏空间中对称变换在任意标准正交基下的矩阵都是对称矩阵.47、若12,(3)rr?
线性相关,则其中必有两个向量成比例.48、若12(,)sVL=?
,则V的每一个基都与12,s?
等价.49、设W是n维欧氏空间V的一个子空间,则()WW=.50、n维欧氏空间的正交变换使两个非零向量的夹角保持不变.51、1nPx是nPx的子空间.52、设A为n级矩阵,若对任意n级矩阵B都有ABB=,则必有AE=.53、可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵.54、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组.55、实二次型f(x1,xn)=AXX正定的充要条件是A的主子式大于.56、正定矩阵都是可逆矩阵.57、复数域上两个n级对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩.58、对于欧氏空间V中向量,当且仅当0=时,(,)0=.59、设nnAP,A的特征多项式有n个单根,则A在P上可对角化.60、矩阵A的最小多项式是唯一的.61、R2是R3的子空间。
62、设F2x是数域F上一切次数不超过2的多项式连同零多项式组成的向量空间,则F2x与F2同构。
63、相似矩阵有相同的迹。
64、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组。
65、实二次型f(x1,x2,xn)=AXX正定的充要条件是|A|0。
66、正交变换在任何基下的矩阵都是正交矩阵。
67、若AB=I,则A和B互为逆矩阵。
68、已知1,2都是线性变换的属于特征根的特征向量,则1,2的任意线性组合也是的属于特征根的特征向量。
69、V=|()=中每一个向量都是的属于特征根的特征向量。
70、两个n个对称矩阵A、B之积可交换是AB为对称矩阵的充要条件。
71、相似矩阵有相同的特征向向量。
72、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组。
73、对称变换在任何基下的矩阵都是对称矩阵。
74、设A为n阶上三角阵,则A可逆的充分必要条件是A的主对角上各元素都不为零。
75、已知1,2是齐次线性方程组AX=0的两个解,则k11+k22是AX=0的解,其中k1,k2为任意数。
76、V=|()=中每一个向量都是的属于特征根的特征向量。
77、若n(n2)阶行列式D=0,则D有两行元素成比例。
78、若f)(),.,(),21xfxfxn互素,则f)(),.(),(21xfxfxn一定两两互素。
79、零多项式能整除任意多项式。
80、数域F上多项式只有两类:
可约多项式与不可约多项式。
81、对于线性方程组,只要方程个数等于未知量个数,就可直接用克莱姆法则求解。
82、数域P上的任意一个不可约多项式在复数域内没有重根。
83、n个未知量n个方程的线性方程组增广矩阵的秩等于n,则一定有解。
84、若f(x)=3g(x)=8,则在Fx中f(x)|g(x)。
85、若一个线性方程组是齐次线性方程组,则它一定有解。
86、若一个矩阵的元素全是零,则其秩一定是零。
87、若n(n2)阶行列式D=0,则D有两行(列)的对应元素成比例。
88、多项式f(x)=x4-2x3+2x-3在有理数上不可约。
89、零多项式能被任意多项式整除。
90、若f(x)在F上可分解,则f(x)在F上有根。
91、对于线性方程组,只要方程个数等于未知量个数,就可直接用克莱姆法则求解。
92、数域F上的任意一个不可约多项式在复数域内没有重根。
93、n个未知量n个方程的线性方程组增广矩阵的秩等于n,则一定有解。
94、若f(x)=4g(x)=8,则因为(4,8)=4,所以f(x)与g(x)不互素。
95、若矩阵A的秩为r,则A中任意一个r阶子式都不等于零。
96、若n元线性方程组有无穷多解,则任意n个数均为其解。
97、若n(n2)阶行列式D=0,则D有一行元素全为零。
98、若f)(),.,(),21xfxfxn互素,则f)(),.(),(21xfxfxn一定两两互素。
99、零多项式能整除任意多项式。
100、数域F上多项式只有两类:
可约多项式与不可约多项式。
101、对于线性方程组,只要方程个数等于未知量个数,就可直接用克莱姆法则求解。
102、数域P上的任意一个不可约多项式在复数域内没有重根。
103、n个未知量n个方程的线性方程组增广矩阵的秩等于n,则一定有解。
104、若f(x)=3g(x)=8,则在Fx中f(x)|g(x)。
105、若一个线性方程组是齐次线性方程组,则它一定有解。
106、若一个矩阵的元素全是零,则其秩一定是零。
107、若n(n2)阶行列式D=0,则D有两行(列)的对应元素成比例。
108、多项式f(x)=x4-2x3+2x-3在有理数上不可约。
109、零多项式能被任意多项式整除。
110、若f(x)在F上可分解,则f(x)在F上有根。
111、对于线性方程组,只要方程个数等于未知量个数,就可直接用克莱姆法则求解。
112、数域F上的任意一个不可约多项式在复数域内没有重根。
113、n个未知量n个方程的线性方程组增广矩阵的秩等于n,则一定有解。
114、若f(x)=4g(x)=8,则因为(4,8)=4,所以f(x)与g(x)不互素。
115、若矩阵A的秩为r,则A中任意一个r阶子式都不等于零。
116、若n元线性方程组有无穷多解,则任意n个数均为其解。
三、单项选择题:
三、单项选择题:
1、若把同构的子空间称作一类,则n维向量空间的子空间共分成()。
A、类;B、类;C、n类;D、(n+1)类。
2、A为n阶实对称矩阵且正交,则()。
A、A=I;B、AI;C、A2=I;D、A合同于I。
3、设、是欧氏空间的非零向量,且、的夹角是)21arccos(=,则()。
A、600;B、600;C、2400;D、1200。
4、下列矩阵中,不可对角化的仅是()。
A、0280;B、1111;C、1111;D、3210。
5、二次型q(x1,x2,x3)=x12+5x1x2-3x2x3的秩和符号差是()。
A、r=3,s=1;B、r=1,s=0;C、r=2,s=2;D、r=2,s=0。
6、设1,2,n是n个m维向量,且nm,则此向量组1,2,n必定()。
A、线性相关;B、线性无关;C、含有零向量;D、有两个向量相等。
7、已知f(x)=x2-2x-1,方阵A的特征根为1,0,-1,则f(A)的特征根为()。
A、-2,-1,2;B、-2,-1,-2;C、2,1,-2;D、2,0,-2。
8、设f(x1,x2,xn)=AXX与g(y1,y2,yn)=BYY都是正定二次型,则下列结论错误的是()。
A、XAX1为正定二次型。
B、XBAX)(+为正定二次型。
C、XBAX)(为正定二次型。
D、XBAX)(1+为正定二次型。
9、设f(x)=g(x)q(x)+r(x),则下列不正确是()、(f(x),g(x)_=(g(x),r(x)B(f(x),q(x)=(q(x).r(x)C、(f(x),r(x)=(f(x),g(x)D、若r(x)=0,则q(x)|f(x)10、A为n
(2)阶方阵,A为其伴随矩阵,则正确的是()A、AA=AB、A1=AAC、A0则A0D、r(A)=1则r(A)=111、若r(A)=r2)阶方阵,A为其伴随矩阵,则正确的是()A、AA=AB、A1=AAC、A0则A0D、r(A)=1则r(A)=116、若r(A)=rn,则n元线性方程组AX=B()A、有无穷多解B、有唯一解C、无解D、不一定17、下列说法正确的是()A、向量组s,21,,若有全不为零的数skkk,21,,使得0.2211=+sskkk,则s,21,线性无关。
B、如果有一组不全为零的数数skkk,21,,使得0.2211+sskkk,则s,21,线性无关C、若向量组s,21,线性相关,则其中每向量都可以由其余向量线性表示。
D、任何n+1个n维向量必线性相关17、设,AB为n级方阵,E为n阶单位矩阵,则222()2ABAABB+=+成立的充要条件是().(A)、A=0或B=0;(B)、EA=或EB=;(C)、BA=;(D)、BAAB=.18、设,AB为n级矩阵,且A可逆,RanBrn=,RanABl=,则有().(A)、lr;(B)、lr;(C)、lr=;(D)、rln.19、设有下列命题:
一个向量组的极大无关组唯一时,该向量组线性无关;一个向量组线性无关时,该向量组的极大无关组唯一;一个向量组线性相关时,该向量组的极大无关组不唯一;一个向量组的极大无关组不唯一时,该向量组线性相关.则(A)、只有、正确;(B)、只有、正确;(C)、只有、正确;(D)、只有、正确.20、设V是P上线性空间,,AB是V的线性变换,且=ABE.那么().=1AB;=BAE;BA不一定等于E;,AB均可逆.(A)、,正确;(B)、,正确;(C)、正确;(D)、正确.21、若12,m?
线性相关,则().(A)、12,()rrm?
线性相关;(B)、12,()rrmm,则此向量组1,2,n必定()。
A、线性相关;B、线性无关;C、含有零向量;D、有两个向量相等。
28、设A为n阶方阵,B是只对换A中第一、二列所得的方阵。
若|A|B|,则有()。
A、|A|可能为零;B、|A|0;C、|A+B|0;D、|A-B|0。
29、设=yxB,A213421,当x与y之间具有关系()时,有AB=BA。
A、2x=y;B、2y=x;C、y=x+1;D、y=x-1。
30、已知f(x)=x2-2x-1,方阵A的特征值为1,0,-1,则f(A)的特征值为()。
A、-2,-1,2;B、-2,-1,-2;C、2,1,-2;D、2,0,-2。
31、若f(x)=g(x)q(x)+r(x),则()A.(f(x),g(x)=(g(x),r(x)B.(f(x),g(x)=(f(x),r(x)C.(f(x),q(x)=(g(x),r(x)D.(f(x),r(x)=(g(x),q(x)32、一个不等于零的n阶行列式中非零元素个数至少为()A、(n-1)2B、nC、n2D、n(n-1)33、设f(x)是三次实系数多项式,则()A、至少有一个有理根B、存在一对非实共轭复根C、有三个实根D、至少有一个实根34、多项式f(x)=4x4-4x3-3x2+2X+1的重因式是()A、2x2-x-1B、x-1C、2x+x-1D、x2+235、若方程组是=+=+=+23213213212592531xxxxxxxxx则该方程组()A、对任意都有解B、仅当=1时有解C、仅当=-2时有解D、仅当1时有解36、设p(x)为Fx中的不可约多项式,f(x),g(x)Fx,则错误命题是()。
A.若p(x)不整除f(x),则(p(x),f(x))=1,B.若(p(x),f(x)1,则p(x)|f(x)C.若p(x)|f(x)g(x)且p(x)不整除f(x),则(p(x),g(x)1D.若p(x)|f(x)g(x),则(f(x),g(x)=137、一个不等于零的n阶行列式中非零元素个数至少为()A、(n-1)2B、nC、n2D、n(n-1)38、多项式f(x)=4x4-4x3-3x2+2X+1的重因式是()A、2
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