放缩法在数列不等式证明中的应用.pdf
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放缩法在数列不等式证明中的应用.pdf
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重点辅导“存在存在”类型:
上面的案例,若存在,存在,使得()()成立,用板砖法解释相当于“块板砖”中,因为()的至少存在一个值,()中也至少存在一个值对应相等,这种情况最能显示板砖的法的优势我们可以让代表()的板砖上下移动比如,板砖()从下向上移动至如图时,板砖()的下沿不能高于板砖()的上沿,此时双方均至少存在一个相等的元素(函数值);板砖()从上向下移动至如图时,板砖()的上沿不能低于板砖()的下沿,此时双方均至少存在一个相等的元素(函数值)板砖法研究()()“任意存在”类型:
上面案例,“任意的,在,上总是有()()”相当于“总有一个()小于任意的()”用板砖法解释相当于“块板砖”中,代表()的板砖的底沿要低于代表()的板砖最低沿,位置如图所示“任意任意”类型:
上面的案例,若对于任意的,任意,都有()()成立,用板砖法解释相当于“块板砖”中,代表()的板砖的下沿总比代表()的板砖上沿高,位置如图所示图图图“存在存在”类型:
上面的案例,若存在,存在,使得()()成立,如图,用板砖法解释相当于“块板砖”中,板砖()的下沿不高于板砖()的上沿总之,利用板砖的高低长短,对于上面还没有涉及到的“任意”“存在”问题类型,也可以同样的手段非常容易地解决图形关系搞清楚之后,再把图形中反映的块板砖的最高点的高低与最低点的高低,转义成最大值之间与最小值之间的大小关系,形象生动,可操作,简单易学上述讨论,仅仅为了分别展示板砖对各种情形的适应能力,但是如果我们有了这块板砖,在应用中根本不用记住上述各种情形,只需要根据题目条件,适当地移动板砖的上下位置来判断它们的值域的关系,真是妙不可言(作者单位:
山东省济宁学院附属高中)山东孙梅彦在高考中,对数列求和的考查多种多样,其中证明与数列求和有关的不等式问题是高考热点与难点,解此类问题常用到“放缩法”明析放缩法的技巧,对于同学们熟练解决此类问题大有裨益下面就常用的放缩方法举例分析裂项放缩例设数列的前项和为已知,()求的值;()求数列的通项公式;()证明:
对一切正整数,有();()(过程略)()证明:
由()知,当时,所以原不等式成立当时,所以原不等式亦成立当时,(),此时()()()综上,对一切正整数,有裂项放缩法,就是将分母进行适当放缩,达到裂项,以便于求和时加减相消本例中的无法直接求和,通过对的分母缩ChaoXing重点辅导小得到(),放大后可以求和使得命题得以证明放缩时要根据结论要求把握好尺度本例中从第项放缩才可,若从第项放缩可得()()()(),与相距甚远因此要求放缩到恰到好处,才能取得意想不到的效果另外,此类涉及到倒数求和问题常见的放缩方向可以归纳如下:
(),(),()()(),()()(),()(),槡槡槡(槡槡),(,)等累乘放缩例设,是曲线在点(,)处的切线与轴交点的横坐标()求数列的通项公式;()记,证明()由()得曲线在点(,)处的切线斜率,由直线方程点斜式得切线方程:
()()令得()证明:
由题设和()中的计算结果知()()()当时,当时,因为()()()()()(),所以()综上可得对任意的,均有通过缩小分子,即()()()()来放缩分式,放缩后即可转化为累乘法求积放缩中一定要注意放缩的尺度以及从哪一项开始放缩,本题从第项开始使用放缩公式利用均值不等式例(年陕西卷)设()是等比数列,的各项和,其中,()证明:
函数()()在(,)内有且仅有一个零点(记为),且;()设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为(),比较()与()的大小,并加以证明()证明:
因为()(),(,),(),所以函数()()在(,)上为增函数并且(),(),函数()()在(,)内有且仅有一个零点(记为),又(),从而,所以()由题意,设、分别是满足条件的等差和等比数列,的公差为,则(),且,即()若,则,所以()();若且,则()()()()()()()烐烏烑()个烐烏烑()个槡即,所以()()综上所述,当时,()();当且时,()()本题证明中运用了基本不等式的推广形式(其中,)进行放缩以上是数列与不等式综合题型中的常规放缩技巧,由于放缩法是一种非等价转化,放缩没有确定的准则和程序,放缩目的性很强,需按题意适当放缩本文只是从部分角度来探究放缩法的一些技巧(作者单位:
山东省乳山市第一中学)ChaoXing
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- 放缩法 数列 不等式 证明 中的 应用