常见曲线的切点弦方程.pdf
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2OO9年第3期5常见曲线的切点弦方程周顺钿(浙江省杭州高级中学,310003)(本讲适合高中)切点弦方程是解析几何中的热点问题随着导数的引入,它的内涵更加深刻、题型更加丰富本文对切点弦问题进行归纳整理,以飨读者1知识简介
(1)圆的切点弦方程命题1过圆C:
一+Y=r外一点(,Yo)作圆的两条切线MA、fiB则切点弦AB所在的直线方程为X,0x+yoy=r证明:
因为OA上MA,OB上MB,所以,0、A、M、B四点落在以OM为直径的圆(o)+Y(YYo):
0上,它与圆C的公共弦即为AB两圆方程相减,得切点弦AB所在的直线方程为X,0+Yoy=r
(2)椭圆的切点弦方程22命题2过椭圆c:
+=1外一点收稿日期:
20080908修回It期:
20081129(Xo,o)作椭圆的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为+=1口D证明:
设A(l,YI)、B(2,Y2)将方程+=l两边对求导得el,D2x+Y=0于是,切线MA的方程为YYl:
一(X,1),一一一即(一。
)+鲁(),一Y1)=0化简得IMA:
+=1t,特别地,当y。
:
0时,上式也成立同理,+=1口0又M(x。
,Yo)在直线MA、MB上,则+警:
1,X,0X,2+YoY2:
1口O口D这两个等式表示点A()、(,)都(提示:
设六位数为764令=7+4+b=11+b,N=C+0+6贝0abc被8整除,+N=17+a+b+c被9整除。
一f=5+b一口一c被11整除易知17+44,一13肘一,v14故+N=18,27,36,肼一:
一11,0,11穷举得唯一解764280)5用0,l,9组成能被11整除的不含重复数字的十位数求其中的最大数与最小数(提示:
设十位数为A=:
。
令:
l+X3+9C5+7+X9,y=2+4+6+8+l0贝411I(y)而l0、y25,因此,I一YI=0,11,22因为I,2,10是0,1,9的一个排列,所以,l+2+Io=45,即+y:
45而一),与+Y同奇偶,于是,一,是奇数所以,一,=11解得(,Y)=(28,17)或(17,28)进而得A一=9876524130,Am=1024375869)6中等数学在直线+:
1上,也说明此直线即为U切点弦AB所在的直线方程注:
这种通过类比而得到切点弦方程的证明方法通常称为“设而不求”命题1也可用此方法证明(3)双曲线的切点弦方程命题3过双曲线C:
x一=l外一点Ut,M(。
,Y。
)作双曲线的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为一:
1“(,(4)抛物线的切点弦方程命题4过抛物线C:
Y=2px(P0)外一点M(。
,Y。
)作抛物线的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为Y0Y=P(+o)(5)反比例函数的切点弦方程命题5过反比例函数C:
Y=(k0)的图像(等轴双曲线)外一点M(。
,Y。
)作它的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为XOY+Yo=2k(6)nike曲线的切点弦方程命题6过nike曲线C:
Y=+(k0)外一点M(。
,Y。
)作nike曲线的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为(Yo一2x()+0Y2k注:
仿命题2的证明可证命题3、4、5、6对于一般二次曲线,有下面的定理定理对于二次曲线的一般方程+Bxy+F=0,过曲线外一点M(。
,Y。
)作曲线的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为,ltoX+oy+O学坩学0证明:
设A(1,YI)、B(2,Y2)将方程两边对求导得(2Ax+y+D)+(2cr+启+E)y=0于是切线MA的方程为(2Axl+B),t+D)(I)+(2CyI+l+)(YY1)=0化简整理得(2Axl+yI+o)x+(2Cyl+l+E)y一(2Ax+2hlYl+2Cy+l+l+F)=0,即(2Axl+yl+o)x+(2Cyl+觑I+E)y+1+I+F=0,也即(2A+县ly+O)xl+(2Cy+B+E)yl+D+Ey+F=0同理,切线MB的方程为(2Ax+y+o)x2+(2Cy+B+E)y2+F=0又M(。
,Y。
)在直线MA、MB上,则(2Ax0+e,yo+O)xl+(2Cyo+Boco+E)yI+0+o+F=0,(2Axo+o)x2+(2Cyo+Bxo+E)y2+0+o+F:
0这两个等式表示点A(x。
,Y。
)、B(x:
,Y:
)都在直线(2Axo+yo+o)x+(2Cyo+0+E)y+0+o+F=0上,整理得Ax。
+B兰+Cy。
y+D+E+F:
0,也就是说,此直线即为切点弦AB所在的直线方程2例题选讲例1设P、Q为圆周+Y=l上两动点,且满足与圆内一定点A(0,1),PAQ=求过点P和Q的两条切线的交点的轨迹方程2OO9年第3期7(2(XY,浙江省高中数学竞赛(B卷)解法1:
设M(,Y。
)则切点弦PQ所在的直线方程为Xo+YoY=1代入+Y=1得(+yo)x一2x0+1一Y:
0设P(l,Y1)、Q(2,Y2)则2xo1一Y1十X2一i1IX2一10+Yo戈0+),02yo1一Yl+Y2,YlY2。
又PAQ:
,则:
+(y。
一吉)(y一1)=0代人并化简得3+3+4一8=0故交点肼的轨迹方程为3+3y+4y一8=0解法2:
如图1,注意到OP=OQ,MP=MQ,LPAQ=联结OM交于,则OM垂直平分即力图l在RtPAQ中,AR=去PQ=PR在RtOPR中,OR+PR=DP2,即OR+AR=1设M(x。
,Y。
)则切点弦JPQ所在的直线方程为Xo+YoY=1代人+Y:
l得(+,o2)一2x0+1一Y=0设P(,Y)、Q(2,Y2)、R(3,Y3)则I+20一Xo2+yo2Yl+y2y2代人式并化简得2Y01X一孺+,OYoXOYo+咔即3+3,+4yo一8=0故交点的轨迹方程为32+3y+4y一8=0注:
充分利用平面几何的性质,是减少解析几何运算量的有效途径例2过椭圆c:
+YL2:
1上不同两点、的切线互相垂直证明:
两切线交点的轨迹方程为+Y=口+b证明:
设M(。
,Yo)则切点弦AB所在的直线方程为_XoX+:
1代人椭圆C的方程并消去Y得
(一)2=2(一享),ilp(孚+豢Yo)x2-2Xox+a2(1-豢2)-0设A(l,YI)、B(2,Y2)则k:
一,k脚:
一,“yIY2且:
一1,Y1Y2Vxoxt+:
l,X0,X2+:
l,代人得aD口D了XlX2+:
+去(一1(一1-01丁十丁+l卜丁fI卜Ju,nD口n、n、口即兰一(+)+l:
0利用韦达定理代入得(一2)一+(孚+豢)_o化简、整理得+Y:
口+b因此,两切线交点肼的轨迹方程为+Y=口+b例3过点Q(一1,一1)作已知直线z:
8中等数学),=+l的平行线,交双曲线一Y=l千M、N
(1)证明:
Q是线段MN的中点;
(2)分别过点M、N作双曲线的切线Z。
、Z,证明:
三条直线Z、Z。
、Z交于同一点;(3)设P为直线Z上一动点,过P作双曲线的切线PA、船,切点分别为A、B,证明:
点Q在直线AB上(2007,全国高中数学联赛湖北省预赛)证明:
(1):
Y=去(一3)代入双曲线一Y=1,得3+6一25=0设M(l,Y1)、N(2,),2)则l、2是方程的两根,有。
+2:
一2于是,Y+Y2=寺(+26)=一2因此,Q是线段MN的中点
(2)双曲线一Y=1过点M,N的切线方程分别为zl:
等ylY=1,z2:
等一Y2,-1式相力并将1+2:
一2,Yl+Y2=一2代人得直线z:
Y=1+1这说明直线f、fz的交点在直线f:
Y=1+1上,即三直线z、f。
、交于同一点(3)设P(0,Yo)、A(3,Y3)、B(4,Y4)则、的方程分别为:
X3一Y3Y=1,鲁Y4Y=1因为点P在两条直线匕,所以,=l1Y3YoT4Yo0一l,。
一。
这表明,点A、B都在直线等一,。
,=1上,即直线的方程为、等一y。
y=1又y。
=等+l,代入整理得等y)一(y+1)-0显然,无论。
取什么值(即无论P为直线Z匕哪一点),0(一1,一1)都在直线匕例4如图2,设抛物线方程为=2(P0),M为直线Y=一2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分另0为A、一l
(1)求证:
A、B图2三点的横坐标成等差数列
(2)当点M(2,一2p)时,II=410,求此时抛物线的方程(3)是否存在点,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线=2(PO)上,其中,点C满足:
一OA+(0为坐标原点)?
若存在,求出所有符合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由证明:
(1)设M(。
,Y。
)则切点弦AB所在的直线方程为o=p(y+Yo)代人抛物线=2并消去Y得一2xo+2po=0设A(l,1)、B(2,Y2)贝4l+2=2xo所以,A、三点的横坐标成等差数列解:
(2)当。
:
2,Y。
=一2p时,l+2=4,24p2,=X0=舌由弦长公式得2(109年第3期9IA8I=1+k(l+2)一4xl2:
+厕又IAI=410,故P=1或P:
2因此,所求抛物线方程为=2y或=4y(3)设D(,Y,)由题意得c(x+,Y+Y),则CD的中点坐标为Q(等,孚)由点Q在直线A上,并注意到点(专丝,专丝)也在直线AB上,代人。
=P(Y+Yo)得XoY3-73若D(,Y)在抛物线上,则;=2py32xo3因此,3=0或3:
2x0,即D(00)或D,警)当o:
0时,l+2:
2xo=0,此时,点M(O,一2p)符合题意当o0时,因为c:
l+2:
2xo,所以,=。
此时,直线CD平行于Y轴,但:
Xo。
#o,与ag_LCD矛盾因此,不存在符合题意的点综上所述,仅存在一点M(O,一2p)符合题意例5如图3,设P(。
,Y。
)为一定点,且Xo0,Yo0,xoYo1过P的动直线与曲线C:
xy=1(0)交于(l,Y1)、8(x,Y)求曲线c在A、B两点处的切线交点M的轨迹方程图3解法1:
设直线AB的方程为YY0=k(xo)(k0,Y村0又由式知E(o,Yo),yME(0,Xo)因此,所求的轨迹是开线段。
+x。
盯=2(o,号),(0,)注:
此题是2007年浙江省高考考试说明样卷理科第21题,目的是考查学生利用参数思想求交点的轨迹,但样卷中没有给出变量的取值范围事实上,点M的轨迹是第一象限的开线段而不是直线例6已知函数f()=+(t0)和点P(1,0),过P作曲线Y=()的两条切线10中等数学PM、PN,切为M、N
(1)设IMNI_g(t),试求函数g(t)的表达式
(2)是否存在t,使得M、,v与A(0,1)三点共线?
若存在,求出t的值;若不存在,说明理由(3)在
(1)的条件下,若对任意的正整数,在区间2,n+64内总存在m+1个实数a1,02,o+t,使得不等式g(01)+g(a2)+g(a)0)外一点P(1,0)的切点弦MN的方程为Y2x+2t代入y:
+(0),得+2txt=0于是,I+2一2t,l2=一t故g(f):
c。
一+(+一:
一丢)=一2I=25+5t(t0)
(2)当M、N与A(0,1)三点共线时,将A(0,1)代入Y=2x+2t,得t=1(3)易知g(t)IXN2,n+】上是增函数,则mg
(2)g(01)+g(n2)+g(0m)g()g(+64)对一切正整数,恒成立,即m16,所以,(n+)+(n+等)】45专又m为正整数,取m属_6当m:
6时,存在t=o2=17,m=2,0m+l=16,对所有的n满足条件,从而,m的最大值为6注:
因为,()=1一,所以,tt十一1,t一即+2tx1一t:
0同理,+2tx2一t=0显然l、2是方程+2txt:
0的两个不同根以下同
(1)第
(2)问也可由:
JlA求得t=去圆锥曲线的切线是解析几何最丰富的内容之一,求常见曲线的切点弦方程通常利用设而不求的方法显然,过相应曲线上一点的切线方程与切点弦方程一致,可看作两切点重合时切点弦的极端情形练习题1设过点(4,2)的圆C:
+Y=10的切线MA、MB与圆切于点A、B求切点A、问的劣弧长(提示:
弦佃所在直线的方程为2+Y=5,圆心到此直线的距离为5,得AOB=90。
,切点A、B间的劣弧长是)2在平面直角坐标系中,椭圆+=1(口60)的焦距为2c,以0为圆心、口为半径作圆M若过P(,0)作圆的两条切线相互垂直,求椭圆的离心率(提示:
弦AB所在的直线方程为:
c易知OAP是等腰直角三角形故e=三:
Xc0s45。
:
)3已知圆C:
+Y:
r和直线Z:
+2009年第3期2y=2r,在Z上有一点,过作圆的两条切线MA、MB求切点弦A曰的中点的轨迹方程(提示:
易知即为直线OM与的交点设M(x。
,Yo)则切点弦所在的直线方程为X,0+YoY=r,z伽:
y=解方程组得XO=,=将M(x。
,YoyoYo)代人孺南竹。
八直线2的方程并整理得2+2y一一2ry:
0(去掉0这一段)4如图4,设点P(。
,Y。
)在直线=m(Ym,0m0,且21解得,一2+或一1故点的轨迹方程为Y一4x:
=1(Y一1或Y2+,3)6已知过点(0,1)的直线Z与曲线C:
,=+(0)交于两个不同点、求曲线c在点、处的切线的交点的轨迹(2007,全国高中数学联赛)(提示:
弦MN所在的直线方程为Z:
(Y。
一2x。
)+oY:
2由Z过点(0,1),代人得。
=2此时,直线Z:
(Y。
一4)+2y=2代入曲线C:
Y=+专(0),得(Yo一2)一2+2=0易知rA=48(Yo一2)0,=0,即2Y。
故曲线C在点、N处两切线交点的轨迹是一条线段:
2(2y),除去两端点)
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